Olimpíada Brasileira de Matemática 2010 — Nível 3 — Fase 3

Find all real functions satisfying f(a+b)=f(ab) for irrational a,b

Find all functions $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ such that $f(a+b)=f(ab)$ for all irrational $a,b$.

Topic: Insiemi e funzioni, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le funzioni reali che soddisfano f(a+b)=f(ab) per a,b irrazionale

Trova tutte le funzioni $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ in modo tale che $f(a+b)=f(ab)$ per tutte le $a,b$ irrazionali.

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Polynomial with real coefficients: find n,k with k having n digits and more than P(n) divisors

Let $P(x)$ be a polynomial with real coefficients. Prove that there exist positive integers $n$ and $k$ such that $k$ has $n$ digits and more than $P(n)$ positive divisors.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Estremalità, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Polinomio con coefficienti reali: trovare n,k con k con n cifre e più di P(n) divisori

Lasciate che $P(x)$ sia un polinomio con coefficienti reali. Prove che esistono integri positivi $n$ e $k$ in modo tale che $k$ abbia numeri $n$ e più di $P(n)$ divisori positivi.

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Largest shadow (orthogonal projection area) of a unit-edge solid cube

What is the largest shadow that a solid cube of edge length $1$ can cast in direct overhead sunlight?

Remark: The “largest shadow of a figure in direct overhead sunlight” is understood as the largest possible area of the orthogonal projection of the figure onto a plane.

Topic: Geometria solida, Geometria piana Metodo: Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF

L’ombra più grande (area di proiezione ortogonale) di un cubo solido di bordo unitario

Qual è l’ombra più grande che un cubo solido di lunghezza di bordo $1$ può gettare alla luce solare diretta?

*Nota: * “La più grande ombra di una figura nella luce solare diretta aerea” è intesa come la più grande area possibile della proiezione ortogonale della figura su un piano.

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Convex quadrilateral: perpendiculars at midpoints meet on diagonal iff diagonals are perpendicular

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral, and let $M$ and $N$ be the midpoints of sides $CD$ and $AD$, respectively. The line perpendicular to $AB$ passing through $M$ and the line perpendicular to $BC$ passing through $N$ meet at a point $P$. Prove that $P$ lies on diagonal $BD$ if and only if diagonals $AC$ and $BD$ are perpendicular.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilaterale convex: le perpendicolari nei punti di metà si incontrano su diagonali se le diagonali sono perpendicolari

Che $ABCD$ sia un quadrilaterale convesso, e che $M$ e $N$ siano rispettivamente i punti medi dei lati $CD$ e $AD$. La linea perpendicolare a $AB$ che attraversa $M$ e la linea perpendicolare a $BC$ che attraversa $N$ si incontrano in un punto $P$. Dimostra che $P$ si trova sulla diagonale $BD$ se e solo se le diagonali $AC$ e $BD$ sono perpendicolari.

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Find all n for which n points (no 3 collinear) can be colored so every triangle has no obtuse angle

Determine all values of $n$ for which there exists a set $S$ of $n$ points, with no three collinear, having the following property: it is possible to color all points of $S$ so that every angle determined by three points of $S$ — whether all three of the same color or of three different colors — is non-obtuse. The number of available colors is unlimited.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Colorazione, Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le n per le quali n punti (nessun 3 collineari) possono essere colorati in modo che ogni triangolo non abbia un angolo obtuso

Determinare tutti i valori di $n$ per i quali esiste un insieme $S$ di punti $n$, senza tre colineari, che hanno la seguente proprietà: è possibile colorare tutti i punti di $S$ in modo che ogni angolo determinato da tre punti di $S$ , sia che siano tutti e tre dello stesso colore o di tre diversi colori , non sia obtusoso. Il numero di colori disponibili è illimitato.

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Find all positive integer pairs (a,b) with 3^a = 2b^2 + 1

Find all pairs $(a,b)$ of positive integers such that $3^a=2b^2+1.$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le coppie di integri positivi (a,b) con 3^a = 2b^2 + 1

Trova tutte le coppie $(a,b)$ di integri positivi tali che $3^a=2b^2+1.$

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