Olimpíada Brasileira de Matemática 2011 — Nível 1 — Fase 2

Area of inner rectangle with vertices on sides of outer rectangle

In the figure, the vertices of rectangle $PQRS$ lie on the sides of rectangle $ABCD$. Given $AP=3$ cm, $AS=4$ cm, $SC=6$ cm, and $CR=8$ cm, what is the area of rectangle $PQRS$, in cm${}^2$?

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Area di rettangolo interno con vertici sui lati del rettangolo esterno

Nella figura, i vertici del rettangolo $PQRS$ si trovano sui lati del rettangolo $ABCD$. Dato $AP=3$ cm, $AS=4$ cm, $SC=6$ cm e $CR=8$ cm, qual è la superficie del rettangolo $PQRS$, in cm${}^2$?

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Find face-sum opposite to face-sum 8 on a labeled cube

At each vertex of a cube, Esmeralda writes a number. She then computes the sum of the four numbers at the vertices of each face. She finds that the six face-sums are $8$, $10$, $11$, $12$, $13$, and $e$. The face with sum $x$ is opposite to the face with sum $8$. What is the value of $x$?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Ricerca la somma facciale opposta alla somma facciale 8 su un cubo etichettato

A ogni vertice di un cubo, Esmeralda scrive un numero. Quindi calcola la somma dei quattro numeri alle vertici di ciascuna faccia. Trova che le sei somme facciali sono $8$, $10$, $11$, $12$, $13$ e $e$. La faccia con somma $x$ è opposta alla faccia con somma $8$. Qual è il valore di $x$?

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Max red-tribe members in circle where 48 of 100 say right neighbor is liar

Two tribes live on an island: the green tribe and the red tribe. Members of one tribe always tell the truth, and members of the other tribe always lie. One day, $100$ people gathered in a circle, and a reporter asked each one: “Is your neighbor to the right a liar?” It was verified afterwards that $48$ people had answered “yes”. At most, how many people from the red tribe (the liars) could be in the circle?

Topic: Logica, Combinatoria Metodo: Casework, Invarianti Abilita: Casework accurato, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Il massimo dei membri della tribù rossa in circolo dove 48 su 100 dicono che il vicino giusto è un bugiardo

Due tribù vivono su un’isola: la tribù verde e la tribù rossa. I membri di una tribù dicono sempre la verità, e i membri dell’altra tribù mentono sempre. Un giorno, le persone si sono radunate in un cerchio e un giornalista ha chiesto a ciascuno: “Il tuo vicino a destra è un bugiardo?” Quante persone della tribù rossa (i bugiardi) potrebbero essere nel cerchio?

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Total mass of a 4x4x4 cube built from small cubes weighted by neighbor count

With small cubes of the same size, a $4\times 4\times 4$ large cube was built. The small cubes are made of different materials: a small cube that has exactly $3$ face-neighbors (cubes sharing a face with it) weighs $10$ grams; one with $4$ face-neighbors weighs $8$ grams; one with $5$ face-neighbors weighs $6$ grams; and one with $6$ face-neighbors weighs $4$ grams. What is the total mass of the large cube, in grams?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Massa totale di un cubo 4x4x4 costruito a partire da piccoli cubi ponderati per conto del vicino

Con piccoli cubetti della stessa dimensione, è stato costruito un grande cubo $4\times 4\times 4$. I piccoli cubetti sono fatti di materiali diversi: un piccolo cubetto che ha esattamente $3$ vicini facciali (cubi che condividono un volto con esso) pesa $10$ grammi; uno con $4$ vicini facciali pesa $8$ grammi; uno con $5$ vicini facciali pesa $6$ grammi; e uno con $6$ vicini facciali pesa $4$ grammi. Qual è la massa totale del grande cubo, in grammi?

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Count 3-digit numbers with no zero digit having at least two equal digits

How many $3$-digit numbers that contain no zero digit have at least two equal digits?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Conta i numeri a 3 cifre senza cifre zero con almeno due cifre uguali

Quanti numeri $3$ di cifre che non contengono cifre zero hanno almeno due cifre uguali?

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Count brothers of 60 that are less than 1000

We say two or more numbers are \textit{brothers} when they have exactly the same prime factors. For example, $10=2\times 5$ and $20=2^2\times 5$ are brothers, since $2$ and $5$ are their only prime factors. The number $60$ can have brothers less than $1000$. How many brothers less than $1000$ does $60$ have?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Conta fratelli di 60 anni che sono inferiori a 1000

Diciamo che due o più numeri sono fratelli quando hanno esattamente gli stessi fattori primi. Ad esempio, $10=2\times 5$ e $20=2^2\times 5$ sono fratelli, poiché $2$ e $5$ sono i loro unici fattori primari. Il numero $60$ può avere fratelli inferiori a $1000$. Quanti fratelli hanno meno di $1000$ $60$?

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Units digit of partial sums of squares; find units digit for n=2011

The sequence $1,5,4,0,5,\dots$ is formed by the units digits of the successive partial sums of squares: $1^2=1$ $1^2+2^2=5$ $1^2+2^2+3^2=14$ $1^2+2^2+3^2+4^2=30$ $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55$ $⋮$ $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+\cdots =\dots$

a) Write the sequence of units digits of the first ten sums $1^2,1^2+2^2,\dots ,1^2+2^2+\cdots +10^2$, obtained in the manner described above.

b) What is the units digit of $1^2+2^2+\cdots +2011^2$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Invarianti Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Unità di numeri di somma parziale di quadrati; trovare unità di numeri per n=2011

La sequenza $1,5,4,0,5,\dots$ è costituita dalle cifre di unità delle successive somme parziali di quadrati: $1^2=1$ $1^2+2^2=5$ $1^2+2^2+3^2=14$ $1^2+2^2+3^2+4^2=30$ $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55$ $⋮$ $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+\cdots =\dots$

a) Scrivere la sequenza di cifre di unità delle prime dieci somme $1^2,1^2+2^2,\dots ,1^2+2^2+\cdots +10^2$, ottenuta nel modo sopra descritto.

b) Qual è la cifra di unità di $1^2+2^2+\cdots +2011^2$?

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Selo (proper-divisor pair) of integers: compute, invert, and minimize

The \textit{selo} (seal) of a positive integer $n$ is defined as the ordered pair $\mathrm{par}(x;y)$, where $x$ is the number of positive divisors of $n$ that are strictly less than $n$, and $y$ is the sum of those divisors. For example, the positive divisors of $10$ that are less than $10$ are $1$, $2$, and $5$, so the selo of $10$ is $(3;8)$. The selo of the number $1$ is $(1;1)$.

a) What is the selo of $9$?

b) Which number has selo $(2;3)$?

c) Are there numbers whose selo is $(6;m)$? What is the smallest possible value of $m$?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Selo (pari di divisori corretti) di numeri interi: calcolare, invertere e ridurre al minimo

Il \textit{selo} (seal) di un intero positivo $n$ è definito come la coppia ordinata $\mathrm{par}(x;y)$, dove $x$ è il numero di divisori positivi di $n$ strettamente inferiori a $n$, e $y$ è la somma di tali divisori. Ad esempio, i divisori positivi di $10$ che sono inferiori a $10$ sono $1$, $2$ e $5$, quindi il selo di $10$ è $(3;8)$. Il selo del numero $1$ è $(1;1)$.

a) Qual è il selo di $9$?

b) Quale numero ha selo $(2;3)$?

c) Esistono numeri il cui selo è $(6;m)$? Qual è il minimo valore possibile di $m$?

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Maximum squares on geoplane with one continuous string (4x4 and 5x5)

By tying a piece of string on a geoplane (a board of nails arranged in a square grid), Diamantino can form squares \textit{without passing the string over any nail more than once}. He can form two squares at once with a single piece of string as shown. (The figure shows a simplified portion of the geoplane; the squares are obtained from two of the nails.)

a) In the portion of the geoplane shown (a $4\times 4$ grid of $16$ nails), draw the greatest number of equal squares that Diamantino can obtain using a single piece of string. Mark the arrows as in the example to indicate how the string is laid.

b) Diamantino claims he can obtain $11$ squares on his own geoplane. Show that you can also obtain the same quantity on the $5\times 5$ grid of nails shown below. Do not forget to mark the arrows on the drawing.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio, Casework, Invarianti Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

*Quadrati massimi su un geoplano con una corda continua (4x4 e 5x5) *

Legando un pezzo di corda su un geoplano (una tavola di chiodi disposta in una griglia quadrata), Diamantino può formare quadrati \textit{senza passare la corda su qualsiasi chiodo più di una volta}. Può formare due quadrati contemporaneamente con un solo pezzo di corda come mostrato. (La figura mostra una parte semplificata del geoplano; i quadrati sono ottenuti da due delle unghie.)

a) Nella parte del geoplano mostrata (una griglia $4\times 4$ di unghie $16$), disegnare il maggior numero di quadrati uguali che Diamantino può ottenere utilizzando un singolo pezzo di corda. Segnalare le frecce come nell’esempio per indicare come la corda è disposta.

b) Diamantino sostiene di poter ottenere $11$ quadrati sul proprio geoplano. Mostrare che è possibile ottenere la stessa quantità anche sulla griglia $5\times 5$ di unghie mostrata sotto. Non dimenticate di segnare le frecce sul disegno.

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