Olimpíada Brasileira de Matemática 2011 — Nível 2 — Fase 1

Minimum toll on one-way road map from A to B

The figure beside shows a road map. The numbers written next to the arrows indicate how much one pays, in coins, to travel along that road. All the roads are one-way, in the direction indicated by the arrows. What is the minimum value of the toll one pays leaving city $A$ and arriving at city $B$?

(A) $11$ \quad (B) $14$ \quad (C) $12$ \quad (D) $10$ \quad (E) $15$

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Minimum di pedaggio sulla mappa stradale a senso unico da A a B

La figura accanto mostra una mappa stradale. I numeri scritti accanto alle frecce indicano quanto si paga, in monete, per viaggiare lungo quella strada. Tutte le strade sono a senso unico, nella direzione indicata dalle frecce. Qual è il valore minimo del pedaggio che si paga quando si lascia la città $A$ e si arriva nella città $B$?

(A) $11$ \quad (B) $14$ \quad (C) $12$ \quad (D) $10$ \quad (E) $15$

src_obm_2011_n2_f1__Q01

Width of equal side strips covering 20% of a rectangular plot

Esmeralda’s father bought a rectangular plot of land of $120$ metres in length by $80$ metres in width. Due to environmental laws, he must plant trees on $20\%$ of the land. He decided to use strips, of the same width, along the lateral sides of the land, as the figure shows. What is this width?

(A) $6\text{m}$ \quad (B) $8\text{m}$ \quad (C) $10\text{m}$ \quad (D) $16\text{m}$ \quad (E) $24\text{m}$

Topic: Geometria piana, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

L’ampiezza delle strisce laterali uguali che coprono il 20% di un’area rettangolare

Il padre di Esmeralda ha acquistato un terreno rettangolare di $120$ metri di lunghezza e $80$ metri di larghezza. A causa delle leggi ambientali, deve piantare alberi su $20\%$ della terra. Decise di usare strisce, della stessa larghezza, lungo i lati laterali del terreno, come mostra la figura. Qual è questa larghezza?

(A) $6\text{m}$ \quad (B) $8\text{m}$ \quad (C) $10\text{m}$ \quad (D) $16\text{m}$ \quad (E) $24\text{m}$

src_obm_2011_n2_f1__Q02

Smallest possible sum of hidden faces of three stacked numbered cubes

In the drawing beside, three equal cubes are supported on a table. Each cube has on its faces the numbers $0$, $1$, $3$, $4$, $5$, $9$, where each number appears exactly once. What is the smallest sum that can be obtained over the faces that touch the table or another cube?

(A) $6$ \quad (B) $8$ \quad (C) $9$ \quad (D) $10$ \quad (E) $12$

Topic: Teoria dei Numeri, Geometria solida Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Fonte: apri PDF

La somma più piccola possibile di facce nascoste di tre cubi numerati impilati

Nel disegno di fianco, tre cubetti uguali sono sostenuti su un tavolo. Ogni cubo ha sulle sue facce i numeri $0$, $1$, $3$, $4$, $5$, $9$, dove ogni numero appare esattamente una volta. Qual è la somma più piccola che si può ottenere sui volti che toccano il tavolo o un altro cubo?

(A) $6$ \quad (B) $8$ \quad (C) $9$ \quad (D) $10$ \quad (E) $12$

src_obm_2011_n2_f1__Q03

Value of expression with squares of 20112011 and 20112003

What is the value of the expression $20112011^2+20112003^2-16\times 20112007$?

(A) $2\times 20112007^2$ \quad (B) $2\times 20112003^2$ \quad (C) $2\times 20112007$ \quad (D) $2\times 20112003$ \quad (E) $2\times 20112011^2$

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Valuta dell’espressione con quadrati di 20112011 e 20112003

Qual è il valore dell’espressione $20112011^2+20112003^2-16\times 20112007$?

(A) $2\times 20112007^2$ \quad (B) $2\times 20112003^2$ \quad (C) $2\times 20112007$ \quad (D) $2\times 20112003$ \quad (E) $2\times 20112011^2$

src_obm_2011_n2_f1__Q04

Count triangles of perimeter 7 with integer sides

How many triangles with perimeter $7$ have all sides with integer lengths?

(A) $1$ \quad (B) $2$ \quad (C) $3$ \quad (D) $4$ \quad (E) $5$

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Contare i triangoli del perimetro 7 con lati interi

Quanti triangoli con perimetro $7$ hanno tutti i lati con lunghezze interi?

(A) $1$ \quad (B) $2$ \quad (C) $3$ \quad (D) $4$ \quad (E) $5$

src_obm_2011_n2_f1__Q05

Perimeter of hexagon common to two overlapping equilateral triangles

Two equilateral triangles of perimeter $36$ cm are superimposed so that the region common to the two triangles is a hexagon, as the figure beside shows. What is the perimeter of this hexagon?

(A) $12$ cm \quad (B) $16$ cm \quad (C) $18$ cm \quad (D) $24$ cm \quad (E) $36$ cm

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Perimetro di esagono comune a due triangoli equilaterali sovrapposti

Due triangoli parilaterali di perimetro $36$ cm sono sovrapposti in modo che la regione comune ai due triangoli sia un esagono, come mostra la figura accanto. Qual è il perimetro di questo esagono?

(A) $12$ cm \quad (B) $16$ cm \quad (C) $18$ cm \quad (D) $24$ cm \quad (E) $36$ cm

src_obm_2011_n2_f1__Q06

Self-referential product of vowel-count and consonant-count of the correct option

What is the product of the quantity of vowels by the quantity of consonants in the correct alternative? (Do not consider the letters A, B, C, D, E of the alternatives in the count.)

(A) Vinte e quatro. (Twenty-four.) \quad (B) Trinta e seis. (Thirty-six.) \quad (C) Quarenta e dois. (Forty-two.) \quad (D) Quarenta e oito. (Forty-eight.) \quad (E) Cinquenta e seis. (Fifty-six.)

Topic: Logica, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Prodotto autoreferenziale del conteggio vocale e consonante dell’opzione corretta

Qual è il prodotto della quantità di vocali per la quantità di consonanti nell’alternativa corretta? (Non considerare le lettere A, B, C, D, E delle alternative nel conto.)

(A) Vinte e quattro. Quad (B) Trinta e sei. Quarenta e due. Quarenta e otto. Quad (E) Cinquanta e sei. (Piccento sei.)

src_obm_2011_n2_f1__Q07

Number of ways to give 37 centavos change with 1,5,10,25 coins

Luca bought a gibi (comic book) for R$4.63 and paid with a R$5.00 note. In how many ways can he receive his change of R$0.37 in coins of $1$, $5$, $10$ and $25$ centavos? Suppose he has as many coins of each type as needed.

(A) $10$ \quad (B) $12$ \quad (C) $15$ \quad (D) $24$ \quad (E) $25$

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Casi e conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Numero di modi per dare 37 centesimi di cambio con 1,5,10,25 monete

Luca ha comprato un gibi (libro fumetti) per R$4.63 and paid with a R$ 5,00 banconota. In quanti modi può ricevere il suo cambio di R$0.37 in coins of $1$, $5$, $10$ and $25$ centavos? Supponiamo che abbia quante monete di ciascun tipo siano necessarie.

(A) $10$ \quad (B) $12$ \quad (C) $15$ \quad (D) $24$ \quad (E) $25$

src_obm_2011_n2_f1__Q08

Count positive numbers below 30 with exactly two divisors (primes)

How many positive numbers smaller than $30$ have exactly two positive divisors?

(A) $6$ \quad (B) $7$ \quad (C) $8$ \quad (D) $9$ \quad (E) $10$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Contare i numeri positivi inferiori a 30 con esattamente due divisori (prime) *

Quanti numeri positivi più piccoli di $30$ hanno esattamente due divisori positivi?

(A) $6$ \quad (B) $7$ \quad (C) $8$ \quad (D) $9$ \quad (E) $10$

src_obm_2011_n2_f1__Q09

Find angle ADE given angle difference and a perpendicular from bisector foot

In the triangle $ABC$, $m(A\hat{B}C)-m(B\hat{A}C)=50^{\circ }$, the bisector of angle $A\hat{C}B$ intersects side $AB$ at $D$. Let $E$ be the point of $AC$ such that $m(C\hat{D}E)=90^{\circ }$. The measure of angle $A\hat{D}E$ is:

(A) $25^{\circ }$ \quad (B) $30^{\circ }$ \quad (C) $40^{\circ }$ \quad (D) $45^{\circ }$ \quad (E) $50^{\circ }$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Find angle ADE data differenza di angolo e perpendicolare dal piede bisettore

Nel triangolo $ABC$, $m(A\hat{B}C)-m(B\hat{A}C)=50^{\circ }$, il bisettore dell’angolo $A\hat{C}B$ interseca il lato $AB$ a $D$. Il punto $E$ deve essere il punto $AC$ in modo tale che $m(C\hat{D}E)=90^{\circ }$. La misura dell’angolo $A\hat{D}E$ è:

(A) $25^{\circ }$ \quad (B) $30^{\circ }$ \quad (C) $40^{\circ }$ \quad (D) $45^{\circ }$ \quad (E) $50^{\circ }$

src_obm_2011_n2_f1__Q10

Sum of digits of the number subtracted to turn 13/14 into 14/15

Subtracting a same number from the numerator and the denominator of the fraction $\frac{13}{14}$, we obtain the fraction $\frac{14}{15}$. The sum of the digits of this number is:

(A) $1$ \quad (B) $3$ \quad (C) $5$ \quad (D) $7$ \quad (E) $9$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Summa di cifre del numero sottraito per trasformare 13/14 in 14/15

Sottraendo lo stesso numero dal numeratore e dal denominatore della frazione $\frac{13}{14}$, otteniamo la frazione $\frac{14}{15}$. La somma delle cifre di questo numero è:

(A) $1$ \quad (B) $3$ \quad (C) $5$ \quad (D) $7$ \quad (E) $9$

src_obm_2011_n2_f1__Q11

Units digit of product of integers below 2011 not multiples of 5

If we multiply all the positive integers smaller than $2011$ that are not multiples of $5$, what is the units digit of the number obtained?

(A) $2$ \quad (B) $4$ \quad (C) $6$ \quad (D) $8$ \quad (E) $0$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Unita’ di numero di prodotto di numeri interi inferiori al 2011 non multipli di 5

Se moltiplicare tutti gli enti positivi più piccoli di $2011$ che non sono moltipli di $5$, qual è la cifra unità del numero ottenuto?

(A) $2$ \quad (B) $4$ \quad (C) $6$ \quad (D) $8$ \quad (E) $0$

src_obm_2011_n2_f1__Q12

Hypotenuse XY of right triangle from the two medians to the legs

Let $XOY$ be a right triangle with $X\hat{O}Y=90^{\circ }$. Let $M$ and $N$ be the midpoints of the legs $OX$ and $OY$, respectively. Given that $XN=19$ and $YM=22$, determine the measure of segment $XY$.

(A) $24$ \quad (B) $26$ \quad (C) $28$ \quad (D) $30$ \quad (E) $32$

Topic: Geometria piana, Algebra Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ipotenusa XY di triangolo rettangolo dai due mediani alle gambe

Che $XOY$ sia un triangolo rettangolo con $X\hat{O}Y=90^{\circ }$. I punti intermedi $M$ e $N$ siano rispettivamente i punti intermedi $OX$ e $OY$ delle gambe. Dato che $XN=19$ e $YM=22$, determinare la misura del segmento $XY$.

(A) $24$ \quad (B) $26$ \quad (C) $28$ \quad (D) $30$ \quad (E) $32$

src_obm_2011_n2_f1__Q13

Value of n given repeated tear-one-into-n yields 2011 pieces

Safira tore a sheet of paper into $n$ pieces and then took one of those pieces and tore it again into $n$ pieces. She continued this process, that is, on each step she took one of the pieces and tore it into $n$ pieces. Knowing that the final quantity of pieces of paper she obtained is $2011$, into how many pieces did Safira tear the sheet?

(A) $15$ \quad (B) $26$ \quad (C) $28$ \quad (D) $33$ \quad (E) $36$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Ricorsione, Fattorizzazione Abilita: Modellizzazione, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Valuta di n data ripetuta lacrima-one-in-n rendimenti 2011 pezzi

Safira strappò un foglio di carta in pezzi $n$ e poi prese uno di questi pezzi e lo strappò di nuovo in pezzi $n$. Ha continuato questo processo, cioè a ogni passo ha preso uno dei pezzi e lo ha strappato in pezzi $n$. Sapendo che la quantità finale di fogli di carta che ha ottenuto è $2011$, in quanti pezzi Safira ha strappato il foglio?

(A) $15$ \quad (B) $26$ \quad (C) $28$ \quad (D) $33$ \quad (E) $36$

src_obm_2011_n2_f1__Q14

Largest subset of {1..20} with no element double of another

What is the largest quantity of numbers from the set $\{1,2,3,\dots ,20\}$ that we can choose such that none of them is the double of another?

(A) $10$ \quad (B) $11$ \quad (C) $12$ \quad (D) $13$ \quad (E) $14$

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Sottoinsieme più grande di {1..20} senza elemento doppio di un altro

Qual è la quantità più grande di numeri dell’insieme $\{1,2,3,\dots ,20\}$ che possiamo scegliere in modo che nessuno di loro sia il doppio di un altro?

(A) $10$ \quad (B) $11$ \quad (C) $12$ \quad (D) $13$ \quad (E) $14$

src_obm_2011_n2_f1__Q15

Identify the figure not drawable in one stroke without retracing

Topazio drew the figures shown below, except for one, lifting the pencil from the paper exactly once and never passing over the same line twice. Which of the figures below is the one he did NOT draw?

Topic: Combinatoria, topic_combinatoria, Geometria piana Metodo: Grafi, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Identificare la figura che non può essere disegnata in un solo tratto senza ritrattare

Topazio disegnò le figure riportate di seguito, tranne una, sollevando la matita dalla carta esattamente una volta e non superando mai la stessa linea due volte. Quale di queste figure è quella che non ha disegnato?

src_obm_2011_n2_f1__Q16

Angle BAC given D,E on BC with BD=BA, CE=CA and angle DAE=40

In the triangle $ABC$, the points $D$ and $E$ belong to side $BC$ and are such that $BD=BA$ and $CE=CA$. Given that $m(D\hat{A}E)=40^{\circ }$, how much, in degrees, does angle $B\hat{A}C$ measure?

(A) $80$ \quad (B) $90$ \quad (C) $100$ \quad (D) $110$ \quad (E) $120$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Angolo BAC dato D,E su BC con BD=BA, CE=CA e angolo DAE=40

Nel triangolo $ABC$, i punti $D$ e $E$ appartengono al lato $BC$ e sono tali che $BD=BA$ e $CE=CA$. Dato che $m(D\hat{A}E)=40^{\circ }$, quanto in gradi misura l’angolo $B\hat{A}C$?

(A) $80$ \quad (B) $90$ \quad (C) $100$ \quad (D) $110$ \quad (E) $120$

src_obm_2011_n2_f1__Q17

Maximum problems answered scoring +4/-1/0 for total 52 over 24

In a test of multiple choice with $24$ problems, each one can be answered earning one of the following scores: $4$ points if the answer is correct, $-1$ point if the answer is incorrect and $0$ points if the answer is left blank. Knowing that a student received exactly $52$ points, what is the maximum number of problems they could have answered?

(A) $14$ \quad (B) $15$ \quad (C) $16$ \quad (D) $17$ \quad (E) $18$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Casework accurato, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Problemi massimi risposti punteggiando +4/-1/0 per un totale di 52 su 24

In un test di scelta multipla con problemi $24$, ciascuno di essi può essere risposto ottenendo uno dei seguenti punteggi: $4$ punti se la risposta è corretta, $-1$ punti se la risposta è errata e $0$ punti se la risposta è lasciata in bianco. Sapendo che uno studente ha ricevuto esattamente $52$ punti, quale è il numero massimo di problemi che avrebbe potuto rispondere?

(A) $14$ \quad (B) $15$ \quad (C) $16$ \quad (D) $17$ \quad (E) $18$

src_obm_2011_n2_f1__Q18

Max presses of broken sqrt (sqrt or /100) to first get below 2

Esmeralda’s calculator is broken: when one presses the button x​, the calculator does, by chance, one of these two operations: it takes the square root (as it should) or it divides the number by $100$ (as it should not). Esmeralda entered the number $201120112011$ on the calculator and started pressing the button x​ repeatedly. How many times, at most, would Esmeralda press the button until appearing, for the first time, a number smaller than $2$?

(A) $2$ \quad (B) $4$ \quad (C) $5$ \quad (D) $8$ \quad (E) $9$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Stima, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Maxime presse di squart rotto (sqrt o /100) per prima scendere al di sotto di 2

La calcolatrice di Esmeralda è rotta: quando si pulsa il pulsante x​, la calcolatrice fa, per caso, una di queste due operazioni: prende la radice quadrata (come dovrebbe) o divide il numero per $100$ (come non dovrebbe). Esmeralda ha inserito il numero $201120112011$ sulla calcolatrice e ha iniziato a premere il pulsante x​ ripetutamente. Quante volte, al massimo, Esmeralda avrebbe premuto il pulsante fino a far apparire, per la prima volta, un numero inferiore a $2$?

(A) $2$ \quad (B) $4$ \quad (C) $5$ \quad (D) $8$ \quad (E) $9$

src_obm_2011_n2_f1__Q19

Count 3-colorings of a house-shaped figure with adjacent-different rule

Renan wants to paint the little squares of the figure beside, using at most three different colors, in such a way that two squares possessing a common side have different colors. How many distinct paintings can Renan make?

(A) $3^4$ \quad (B) $246$ \quad (C) $178$ \quad (D) $150$ \quad (E) $120$

Topic: Combinatoria Metodo: Colorazione, Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conteggi 3 colori di una figura a forma di casa con regola adiacente diversa

Renan vuole dipingere i piccoli quadrati della figura accanto, utilizzando al massimo tre colori diversi, in modo tale che due quadrati che possiedono un lato comune abbiano colori diversi. Quante dipinti distinti può fare Renan?

(A) $3^4$ \quad (B) $246$ \quad (C) $178$ \quad (D) $150$ \quad (E) $120$

src_obm_2011_n2_f1__Q20

Max ET-nerds among four nerds making truth/lie statements

On Planet Nerdia, there exist three species of nerds: ET-nerds, UFO-nerds and OVNI-nerds. The first species always tells the truth, the second always lies, and the third always tells the truth and then lies, or first lies and then tells the truth. A certain day, Bruberson, a nerd very friendly with everyone, meets four nerds. They say:

$X$: “Today is sunny.” $Y$: “The nerd $Z$ is going to lie.” $Z$: “Today is not sunny.” $W$: “The first nerd lied to us; we are all ET-nerds.”

With how many ET-nerds did Bruberson speak at most?

(A) $0$ \quad (B) $1$ \quad (C) $2$ \quad (D) $3$ \quad (E) $4$

Topic: Logica Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Max ET-nerds tra quattro nerds che fanno dichiarazioni di verità/buonezza

Sul pianeta Nerdia, esistono tre specie di nerds: nerds ET, nerds UFO e nerds UFO. La prima specie dice sempre la verità, la seconda mente sempre, e la terza dice sempre la verità e poi mente, o prima mente e poi dice la verità. Un certo giorno, Bruberson, un nerd molto amichevole con tutti, incontra quattro nerd. Dicono:

$X$: “Oggi è sole. ” $Y$: “Il nerd $Z$ mentirà. ” $Z$: “Oggi non è sole. ” $W$: “Il primo nerd ci ha mentito; siamo tutti nerd ET”.

Con quanti nerd extraterrestri ha parlato Bruberson al massimo?

(A) $0$ \quad (B) $1$ \quad (C) $2$ \quad (D) $3$ \quad (E) $4$

src_obm_2011_n2_f1__Q21

First decimal digit of 1/5^12

What is the first digit after the decimal point in the decimal representation of the fraction $\frac{1}{5^{12}}$?

(A) $1$ \quad (B) $2$ \quad (C) $4$ \quad (D) $5$ \quad (E) $7$

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prima cifra decimale di 1/5^12

Qual è la prima cifra dopo il punto decimale nella rappresentazione decimale della frazione $\frac{1}{5^{12}}$?

(A) $1$ \quad (B) $2$ \quad (C) $4$ \quad (D) $5$ \quad (E) $7$

src_obm_2011_n2_f1__Q22

Number of ways to arrange 2011 bullets in equal rows leaving 2 over

Esmeralda has $2011$ bullets (candies) and wants to arrange them into rows, each row with the same quantity of bullets, in such a way that the number of rows is one more than the quantity of bullets in each row, leaving over $2$ bullets. How many possibilities are there? (See warnings: this statement is partly garbled in the source.)

(A) $1$ \quad (B) $2$ \quad (C) $5$ \quad (D) $7$ \quad (E) $11$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Numero di modi per organizzare i proiettili 2011 in righe uguali lasciando 2 sopra

Esmeralda ha $2011$ proiettili (caramelle) e vuole organizzarli in righe, ciascuna fila con la stessa quantità di proiettili, in modo che il numero di righe sia un altro rispetto alla quantità di proiettili in ogni riga, lasciando tra di loro $2$ proiettili. Quante possibilita’ ci sono? (Vedi avvertenze: questa affermazione è parzialmente distorta nella fonte.)

(A) $1$ \quad (B) $2$ \quad (C) $5$ \quad (D) $7$ \quad (E) $11$

src_obm_2011_n2_f1__Q23

Length CQ where circle through B,A,D of parallelogram meets CD

A circumference passing through the vertices $B$, $A$, $D$ of the parallelogram $ABCD$ meets segment $CD$ at $Q$. Knowing that $m(B\hat{A}D)=60^{\circ }$ and $AD=10$, what is the size of segment $CQ$?

(A) $10$ \quad (B) $20$ \quad (C) $\frac{5\sqrt{3}}{2}$ \quad (D) $10\sqrt{3}$ \quad (E) $15$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Lunghezza CQ in cui il cerchio attraverso B,A,D del parallelo incontra CD

Una circonferenza che attraversa i vertici $B$, $A$, $D$ del parallelo $ABCD$ incontra il segmento $CD$ a $Q$. Sapendo che $m(B\hat{A}D)=60^{\circ }$ e $AD=10$, quale è la dimensione del segmento $CQ$?

(A) $10$ \quad (B) $20$ \quad (C) $\frac{5\sqrt{3}}{2}$ \quad (D) $10\sqrt{3}$ \quad (E) $15$

src_obm_2011_n2_f1__Q24

Minimum sum of six pairwise-adjacent sums on a hexagon labelled 1-6

Rosa wrote the numbers from $1$ to $6$ at the vertices of the hexagon below, one at each, then added the numbers at each pair of adjacent vertices and wrote each result next to the corresponding side. The numbers written next to the sides were all different. What is the minimum value of the sum of these six obtained numbers?

(A) $69$ \quad (B) $58$ \quad (C) $59$ \quad (D) $61$ \quad (E) $57$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Minimum somma di sei somme coppie adiacenti su un esagono etichettato 1-6

Rosa scrisse i numeri da $1$ a $6$ alle vertici dell’esagono sottostante, uno a ciascuno, poi aggiunse i numeri a ciascuna coppia di vertici adiacenti e scrisse ogni risultato accanto al lato corrispondente. I numeri scritti accanto ai lati erano tutti diversi. Qual è il valore minimo della somma di questi sei numeri ottenuti?

(A) $69$ \quad (B) $58$ \quad (C) $59$ \quad (D) $61$ \quad (E) $57$

src_obm_2011_n2_f1__Q25