Olimpíada Brasileira de Matemática 2011 — Nível 2 — Fase 2

Real a,b are roots of x²+ax+b=0; find a−b

Let $a$ and $b$ be non-zero real numbers such that the equation $x^2+ax+b=0$ has $a$ and $b$ as solutions. Determine $a-b$.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Real a,b sono radici di x2+ax+b=0; trovare a−b

Lasciate che $a$ e $b$ siano numeri reali non zero in modo tale che l’equazione $x^2+ax+b=0$ abbia $a$ e $b$ come soluzioni. Determinare $a-b$.

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Count two-digit composites formed from distinct digits among 2,3,4,5,6

How many composite two-digit numbers can be formed using distinct digits chosen from $\{2,3,4,5,6\}$?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare composti a due cifre formati da cifre distinte tra 2,3,4,5,6

Quanti numeri compositi a due cifre possono essere formati utilizzando cifre distinte scelte da $\{2,3,4,5,6\}$?

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Right triangle; angle bisectors meet BC; find AB given AD,AE

Triangle $ABC$ is right-angled at $B$. The internal and external bisectors of angle $\widehat{BAC}$ meet line $BC$ at points $D$ and $E$, respectively. Given that $AD=360$ and $AE=480$, determine the length of side $AB$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo retto; bisettieri angolari incontrano BC; trovare AB con AD,AE

Il triangolo $ABC$ è angolato a destra a $B$. I bisettori interni ed esterni dell’angolo $\widehat{BAC}$ incontrano la linea $BC$ rispettivamente nei punti $D$ e $E$. Dato che $AD=360$ e $AE=480$, determinare la lunghezza del lato $AB$.

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Count two-digit numbers whose 4th power ends in 01

The number $7$, when raised to the fourth power, ends in $01$: $7^4=2401$. How many two-digit numbers, when raised to the fourth power, end in $01$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare i numeri a due cifre la cui quarta potenza termina in 01

Il numero $7$, sollevato alla quarta potenza, termina in $01$: $7^4=2401$. Quanti numeri a due cifre, sollevati alla quarta potenza, finiscono in $01$?

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Equilateral triangle ABC with point D; given angles, find angle BAD

In the figure below, triangle $ABC$ is equilateral, angle $\widehat{BDC}=30^{\circ }$, and angle $\widehat{ACD}=70^{\circ }$. Determine, in degrees, the measure of angle $\widehat{BAD}$.

Topic: Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo equilaterale ABC con punto D; angoli dati, trovare angolo BAD

Nella figura seguente, il triangolo $ABC$ è equilaterale, l’angolo $\widehat{BDC}=30^{\circ }$ e l’angolo $\widehat{ACD}=70^{\circ }$. Determinare, in gradi, la misura dell’angolo $\widehat{BAD}$.

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Computer screen: starting from 5, reach 19 or 2011 via a−b operations

Initially, the number $5$ is displayed on a computer screen. At any moment, the number on the screen can be replaced by any number of the form $a-b$, where $a$ and $b$ are positive integers such that $a+b=n$, with $n$ being the current number on the screen.

(a) Show how to obtain the number $19$ by performing such operations.

(b) Is it possible to obtain the number $2011$? Do not forget to justify your answer.

Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Invarianti, Backward Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Screen del computer: a partire dal 5, raggiungendo il 19 o il 2011 tramite operazioni a−b

Inizialmente, il numero $5$ viene visualizzato su uno schermo del computer. In qualsiasi momento, il numero sullo schermo può essere sostituito da qualsiasi numero del modulo $a-b$, dove $a$ e $b$ sono integri positivi come $a+b=n$, con $n$ il numero corrente sullo schermo.

a) Indicare come ottenere il numero $19$ eseguendo tali operazioni.

b) È possibile ottenere il numero $2011$? Non dimenticate di giustificare la vostra risposta.

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Positive reals a(b+c)=152, b(c+a)=162, c(a+b)=170; find abc

Let $a$, $b$, $c$ be positive real numbers such that $a(b+c)=152,b(c+a)=162,c(a+b)=170.$ Determine the value of $abc$.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Rei reali positivi a(b+c) = 152, b(c+a) = 162, c(a+b) = 170; trovare abc

$a$, $b$, $c$ siano numeri reali positivi tali che $a(b+c)=152,b(c+a)=162,c(a+b)=170.$ determinino il valore di $abc$.

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Count ordered pairs (a,b) of positive integers with a+b+gcd(a,b)=33

How many ordered pairs $(a,b)$, with $a$ and $b$ positive integers, satisfy $a+b+\gcd (a,b)=33?$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Congruenze, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare le coppie ordinate (a,b) di integri positivi con a+b+gcd(a,b)=33

Quante coppie ordinate $(a,b)$, con $a$ e $b$ integri positivi, soddisfano $a+b+\gcd (a,b)=33?$

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Quadrilateral ABCD; trisection points form XYZT; show area is constant, find it

In a convex quadrilateral $ABCD$, the points $X$ and $Y$ divide side $AB$ into three equal segments, while the points $Z$ and $T$ divide side $DC$ into three equal segments (see figure below). If the area of quadrilateral $ABCD$ is $60$, show that the area of quadrilateral $XYZT$ does not depend on the shape of quadrilateral $ABCD$, and calculate that area.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

ABCD quadrilaterale; punti di trisezione formano XYZT; mostra area è costante, trovalo

In un quadrilaterale convex $ABCD$, i punti $X$ e $Y$ dividono il lato $AB$ in tre segmenti uguali, mentre i punti $Z$ e $T$ dividono il lato $DC$ in tre segmenti uguali (vedi figura seguente). Se l’area del quadrilaterale $ABCD$ è $60$, indicare che l’area del quadrilaterale $XYZT$ non dipende dalla forma del quadrilaterale $ABCD$ e calcolare tale area.

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