Olimpíada Brasileira de Matemática 2011 — Nível 2 — Fase 3

Magic-sum 3x3 grid with multiples of 3

In a $3\times 3$ table we write the numbers $1$ to $9$, one in each cell. We then compute the sum of the numbers in each row, in each column, and in each diagonal, obtaining $8$ sums in total (the three rows, three columns, and two diagonals). For example, in the table below all $8$ numbers are multiples of $3$.

$\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}$

Is it possible that none of the $8$ sums is a multiple of $3$? Remember to justify your answer.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Griglia di somma magica 3x3 con moltipli di 3

In una tabella $3\times 3$ scriviamo i numeri $1$ a $9$, uno in ogni cella. Quindi calcoliamo la somma dei numeri in ogni riga, in ogni colonna e in ogni diagonale, ottenendo somme $8$ in totale (le tre righe, tre colonne e due diagonali). Ad esempio, nella tabella di seguito tutti i numeri $8$ sono moltipli di $3$.

$\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}$

È possibile che nessuna delle somme $8$ sia un multiple di $3$? Ricorda di giustificare la tua risposta.

src_obm_2011_n2_f3__Q01

Convex quadrilateral midpoints form isosceles triangle

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral such that $AD=DC$, $AC=AB$, and $\angle ADC=\angle CAB$. Let $M$ and $N$ be the midpoints of $\overline{AD}$ and $\overline{AB}$, respectively. Prove that triangle $MNC$ is isosceles.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

I punti medi quadrilaterali convex formano triangolo isosceles

Il $ABCD$ deve essere un quadrilaterale convex tale che $AD=DC$, $AC=AB$ e $\angle ADC=\angle CAB$. $M$ e $N$ siano rispettivamente i punti intermedi di $\overline{AD}$ e $\overline{AB}$. Prova che il triangolo $MNC$ è uguale.

src_obm_2011_n2_f3__Q02

Game: Jade recovers product of Esmeralda’s 2011-number list

Esmeralda and Jade play a game. Esmeralda makes a list of $2011$ positive integers, but does not show it to Jade. Jade may ask Esmeralda any question of the form: “What is the GCD or the LCM of any subset of the numbers on the list with more than one element?” (for example, “What is the GCD of the $1$st, $2$nd, and $2000$th numbers on the list?”, or “What is the LCM of all $2011$ numbers on the list?”). Jade may ask as many questions as she wishes, obtaining correct answers from Esmeralda (Esmeralda is generous and also tells Jade the LCM of every subset of her numbers). Jade can then apply any of the four basic arithmetic operations (addition, subtraction, multiplication, division) to the numbers she has obtained from Esmeralda. Can Jade always find a strategy to determine the product of all $2011$ numbers on Esmeralda’s list? Justify your answer.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Astrazione, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Gioco: Jade recupera il prodotto della lista numero 2011 di Esmeralda

Esmeralda e Jade giocano a un gioco. Esmeralda fa un elenco di numeri interi positivi $2011$, ma non lo mostra a Jade. Jade può porre a Esmeralda qualsiasi domanda del modulo: “Qual è il GCD o l’LCM di qualsiasi sottoinsieme dei numeri dell’elenco con più di un elemento?” (ad esempio, “Qual è il GCD dei numeri $1$st, $2$nd, e $2000$th dell’elenco?”, o “Qual è il LCM di tutti i numeri $2011$ dell’elenco?”). Jade può porre quante domande vuole, ottenendo risposte corrette da Esmeralda (Esmeralda è generosa e dice anche a Jade l’LCM di ogni sottoinsieme dei suoi numeri). Jade può quindi applicare una qualsiasi delle quattro operazioni aritmetiche di base (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione) ai numeri ottenuti da Esmeralda. Jade può sempre trovare una strategia per determinare il prodotto di tutti i numeri $2011$ della lista di Esmeralda? Giustifica la tua risposta.

src_obm_2011_n2_f3__Q03

Max count of positive integers with all distinct-element subset sums not divisible by any perfect square

Esmeralda wrote a list of positive integers on a sheet of paper. Renan noticed that all the numbers on the list, and all sums of any quantity of distinct numbers from the list, are not divisible by any perfect square different from $1$. What is the maximum number of numbers on Esmeralda’s list?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conto massimo di interi positivi con tutte le somme del sottogruppo di elementi distinti non divisibili da qualsiasi quadrato perfetto

Esmeralda scrisse una lista di numeri interi positivi su un foglio di carta. Renan notò che tutti i numeri dell’elenco, e tutte le somme di qualsiasi quantità di numeri distinti dall’elenco, non sono divisibili da alcun quadrato perfetto diverso da $1$. Qual e’ il numero massimo della lista di Esmeralda?

src_obm_2011_n2_f3__Q04

Equilateral triangle of side 2√3 covers at least 16 of 1000 points in unit square

Inside a square of side $16$ are placed $1000$ points. Show that it is possible to place an equilateral triangle of side $2\sqrt{3}$ in the plane so that it covers at least $16$ of these points.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Principio dei cassetti, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Il triangolo equilaterale del lato 2√3 copre almeno 16 punti su 1000 in unità quadrata

All’interno di un quadrato laterale $16$ sono posizionati punti $1000$. Mostrare che è possibile posizionare un triangolo equilaterale di lato $2\sqrt{3}$ nel piano in modo che copra almeno $16$ di questi punti.

src_obm_2011_n2_f3__Q05

No 2k-digit natural N satisfies I(N)=I(N) and P(N)=P(N) symmetry

For any natural number $N$ with $2k$ digits, define $I(N)$ as the $k$-digit number obtained by writing the digits of $N$ of odd order from left to right, and $P(N)$ as the $k$-digit number obtained by writing the digits of $N$ of even order from left to right. For example, $I(249035)=405$ and $P(249035)=293$. Prove that it is not possible to find a natural number $N$ of $2k$ digits such that $N=I(N)\cdot P(N)$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Non N naturale a 2 k cifre soddisfa la simmetria I(N)=I(N) e P(N)=P(N

Per qualsiasi numero naturale $N$ con cifre $2k$, definire $I(N)$ come il numero $k$ di cifre ottenuto scrivendo le cifre di $N$ di ordine odd da sinistra a destra e $P(N)$ come il numero $k$ di cifre ottenuto scrivendo le cifre di $N$ di ordine pari da sinistra a destra. Ad esempio, $I(249035)=405$ e $P(249035)=293$. Prove che non è possibile trovare un numero naturale $N$ di cifre $2k$ come $N=I(N)\cdot P(N)$.

src_obm_2011_n2_f3__Q06