Minimum total toll paid travelling on a one-way road map from A to B
The figure beside represents a road map. The numbers shown indicate how much a traveler must pay (the pedal/toll) on each stretch of road that arrives at that point. All the roads are one-way, as indicated by the arrows. We want to find the minimum amount of pedal a traveler pays when leaving city and arriving at city . What is this minimum amount?
(A) 11 (B) 9 (C) 12 (D) 10 (E) 15
Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
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Minimum del pedaggio totale pagato per viaggiare su una mappa stradale a senso unico da A a B
La figura accanto rappresenta una mappa stradale. I numeri mostrati indicano quanto un viaggiatore deve pagare (il pedal/toll) per ogni tratto di strada che arriva a quel punto. Tutte le strade sono a senso unico, come indicato dalle frecce. Vogliamo trovare la quantità minima di pedale che un viaggiatore paga quando lascia la città e arriva in città . Qual è l’importo minimo?
(A) 11 (B) 9 (C) 12 (D) 10 (E) 15
Ratio of red painted area to unpainted white area when a painted cube is cut into 27 cubes
A wooden cube, painted red, was sawn into equal smaller cubes, whose faces that were inside are still not painted (the inner faces stay white). What is the ratio between the total painted (red) area and the area of the unpainted (white) surface?
(A) 1:2 (B) 1:1 (C) 2:1 (D) 1:3 (E) 2:3
Topic: Geometria solida, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
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Relazione tra superficie dipinta in rosso e superficie bianca non dipinta quando un cubo dipinto è tagliato in 27 cubetti
Un cubo di legno, dipinto in rosso, è stato taglio in cubetti uguali a quelli più piccoli, le cui facce che erano all’interno non sono ancora dipinte (le facce interne rimangono bianche). Qual è il rapporto tra la superficie totale dipinta (rossa) e la superficie non dipinta (bianca)?
(A) 1:2 (B) 1:1 (C) 2:1 (D) 1:3 (E) 2:3
Most economical way to buy 1.2 kg of CHOCOBM powder from cans of various sizes
In a bakery, a g can of CHOCOBM powdered chocolate costs R$3.00, a g can costs R$5.00 and an g can costs R$8.00. For a recipe one needs kg of CHOCOBM in that bakery. Among the options below, what is the most economical way to buy kg of CHOCOBM in that bakery?
- (A) 6 cans of 200 g
- (B) 1 can of 400 g and 1 can of 800 g
- (C) 1 can of 400 g and 1 can of 800 g
- (D) 2 cans of 200 g and 1 can of 800 g
- (E) 2 cans of 200 g and 2 cans of 400 g
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Stima, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
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Il modo più economico per acquistare 1,2 kg di polvere CHOCOBM da lattine di varie dimensioni
In una panetteria, una lattina g di cioccolato in polvere CHOCOBM costa R$3.00, a g can costs R$5,00 e una lattina g può costare R$8.00. For a recipe one needs kg of CHOCOBM in that bakery. Among the options below, what is the most economical way to buy kg di CHOCOBM in quella panetteria?
- (A) 6 lattine di 200 g
- (B) 1 lata di 400 g e 1 lata di 800 g
- (C) 1 lata di 400 g e 1 lata di 800 g
- (D) 2 lattine di 200 g e 1 lattina di 800 g
- (E) 2 lattine di 200 g e 2 lattine di 400 g
Largest possible N such that any two of 30, 72, N have product divisible by the third
The positive integers , and have the property that the product of any two of them is divisible by the third. What is the largest possible value of ?
(A) 60 (B) 30 (C) (D) 360 (E) 6
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
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N più piccolo possibile in modo che due di 30, 72, N abbiano il prodotto divisibile per il terzo
I numeri interi positivi , e hanno la proprietà che il prodotto di due di essi sia divisibile per il terzo. Qual è il valore più grande possibile di ?
(A) 60 (B) 30 (C) (D) 360 (E) 6
Number of boys in a class of 36 with distinct heights and a stepped comparison rule
In a class of students, all of different heights. The shortest of the boys is taller than just two girls, the second shortest boy is taller than four girls, the third shortest boy is taller than six girls, and so on, observing that each boy is taller than two more girls than the preceding boy. Moreover the tallest boy is taller than all the girls. How many boys are there in this class?
(A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) 18 (E) 20
Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Conteggio Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
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Nombre di ragazzi in una classe di 36 con altezza distinta e regola di confronto a gradini
In una classe di studenti , tutte di altezza diversa. Il più corto dei ragazzi è più alto di due ragazze, il secondo più corto è più alto di quattro ragazze, il terzo più corto è più alto di sei ragazze, e così via, osservando che ogni ragazzo è più alto di due ragazze rispetto al ragazzo precedente. Inoltre il ragazzo più alto è più alto di tutte le ragazze. Quanti ragazzi ci sono in questa classe?
(A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) 18 (E) 20
Product of number of vowels and number of consonants in the correct alternative
What is the product of the quantity of vowels by the quantity of consonants in the correct alternative? (Do not consider the letters A, B, C, D, E of the alternatives in the count.)
(A) Twenty and four. (B) Thirty and six. (C) Forty and six. (D) Fifty and one. (E) Fifty and six.
Topic: Logica Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
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Prodotto del numero di vocali e numero di consonanti nella corretta alternativa
Qual è il prodotto della quantità di vocali per la quantità di consonanti nell’alternativa corretta? (Non considerare le lettere A, B, C, D, E delle alternative nel conto.)
(A) Ventiquattro. (B) Trenta e sei. (C) Quarantasei. (D) Cinquanta e uno. (E) Cinquanta e sei.
Greatest value of ab/(a+b) for reals with 0<a<=1 and 0<b<=1
Being and reals such that and , the greatest value that can take is
(A) 0 (B) (C) (D) (E) 1
Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
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Migliore valore di ab/(a+b) per i reali con 0<a<=1 e 0<b<=1
Essendo e reali tali che e , il valore più grande che può assumere è
(A) 0 (B) (C) (D) (E) 1
Percentage of total flights cancelled given volcano (10%) then rain (20% of rest)
Due to a volcanic eruption, of all the flights of an airport were cancelled. Of the remaining flights, were cancelled due to rain. What percentage of the total flights of this airport were cancelled?
(A) 28% (B) 30% (C) 35% (D) 38% (E) 70%
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
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*Percentuale dei voli totali cancellati a causa del vulcano (10%) e della pioggia (20% del riposo) *
A causa di un’eruzione vulcanica, di tutti i voli di un aeroporto sono stati cancellati. Dei voli rimanenti, sono stati cancellati a causa della pioggia. Qual è la percentuale dei voli totali di questo aeroporto che sono stati cancellati?
(A) 28% (B) 30% (C) 35% (D) 38% (E) 70%
Value of 20112011^2 + 20112003^2 - 1620112007^2
What is the value of the expression ?
(A) (B) (C) (D) (E)
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
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Valore del 20112011^2 + 20112003^2 - 1620112007
Qual è il valore dell’espressione ?
(A) (B) (C) (D) (E)
Number of distinct ways to give R$59.63… change in coins of 1,5,10,25 cents
Luca bought a thing costing R$59.63 and gave an R$100.00 bill to pay. The cashier wants to give the change using as few -cent coins as possible, having coins of 1, 5, 10 or 25 cents. In how many distinct ways can the cashier give the change using only coins of 1, 5, 10 or 25 cents?
(A) 10 (B) 12 (C) 15 (D) 24 (E) 30
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
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Numero di modi distinti per dare R$59.63… variazione delle monete di 1,5,10,25 cent*
Luca ha comprato una cosa che costava 100 dollari per pagare. Il cassiere vuole dare il cambio utilizzando il minor numero possibile di monete centesimi, con monete di 1, 5, 10 o 25 centesimi. In quanti modi distinti il cassiere può dare il cambio utilizzando solo monete di 1, 5, 10 o 25 centesimi?
(A) 10 (B) 12 (C) 15 (D) 24 (E) 30
How many positive integers smaller than 30 have exactly four divisors
How many positive integers smaller than have exactly four positive divisors?
(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
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Quanti numeri interi positivi minori di 30 hanno esattamente quattro divisori
Quanti integri positivi più piccoli di hanno esattamente quattro divisori positivi?
(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10
Measure of angle ADE in a triangle where angle B - angle C = 50 deg, with bisector and a right angle
In a triangle , , and the bisector from intersects the side at point . If is the point of side such that , the measure of angle is:
(A) 25° (B) 30° (C) 40° (D) 45° (E) 50°
Topic: Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF
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Medimento dell’angolo ADE in un triangolo in cui angolo B - angolo C = 50 gradi, con bisettore e angolo retto
In un triangolo , , e il bisettore di incrocia il lato al punto . Se è il punto laterale tale che , la misura dell’angolo è:
(A) 25° (B) 30° (C) 40° (D) 45° (E) 50°
Minimum number of banknotes exchanged so three girls end with equal amounts of money
Esmeralda has banknotes of two reais, Rosa has banknotes of five reais and Nelly has banknotes of ten reais. What is the smallest possible number of banknotes that the three girls must exchange among themselves so that each one ends with the same amount of money?
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
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*Minimum di banconote scambiate in modo che tre ragazze finiscano con quantità uguali di denaro *
Esmeralda ha banconote di due reais, Rosa di cinque reais e Nelly di dieci reais. Qual è il minor numero possibile di banconote che le tre ragazze devono scambiare tra loro in modo che ognuna finisca con la stessa quantità di denaro?
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9
First nonzero digit after the decimal point of 1/5^10
What is the first digit different from zero after the comma in the decimal representation of the fraction ?
(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 5 (E) 7
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
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Prima cifra non-zero dopo il punto decimale di 1/5^10
Qual è la prima cifra diversa da zero dopo la virgola nella rappresentazione decimale della frazione ?
(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 5 (E) 7
Logic puzzle: maximum number of ET-nerds Bruberson spoke with among four speakers
On Planet Nerdia there exist three species of nerd: ET-nerds, UFO-nerds and OVNI-nerds. The first always tells the truth, the second always lies, and the third sometimes lies, sometimes tells the truth. Certainly Bruberson, a member of one of these species, meets four nerds and they say:
: “Today is cloudy.” : “The nerd who just finished speaking is lying.” : “Today is not cloudy.” : “The first nerd to speak or I am an ET-nerd.”
With how many ET-nerds did Bruberson speak, at most?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
Topic: Logica Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
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Il puzzle logico: il numero massimo di ET-nerds con cui Bruberson ha parlato tra i quattro altoparlanti
Sul pianeta Nerdia esistono tre specie di nerd: nerd ET, nerd UFO e nerd UFO. Il primo dice sempre la verità, il secondo mente sempre, e il terzo a volte mente, a volte dice la verità. Certamente Bruberson, un membro di una di queste specie, incontra quattro nerd e dicono:
: “Oggi è nuvoloso”. : “Il nerd che ha appena finito di parlare sta mentendo”. : “Oggi non è nuvoloso”. : “Il primo nerd a parlare o io sono un nerd ET”.
Con quanti nerd extraterrestri ha parlato Bruberson, al massimo?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
Ratio AB:AF after two folds of an isosceles paper triangle
A piece of paper has the form of an isosceles triangle of sides cm and cm and is partially filled (shaded gray). Folding the vertex over the side , vertex comes to coincide with a point of side ; folding again, point comes to rest over point of side . What is the ratio ?
(A) (B) (C) (D) (E)
Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF
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Ratio AB:AF dopo due pieghe di un triangolo di carta con le stesse stelle
Un pezzo di carta ha la forma di un triangolo di uguali pollice di lati cm e cm ed è parzialmente riempito (grigio ombrato). Se si piega il vertice sul lato , il vertice coincide con un punto del lato ; se si piega di nuovo, il punto si riposa sul punto del lato . Qual è il rapporto ?
(A) (B) (C) (D) (E)
Largest n such that (2011)! is divisible by (n!)^3
The largest positive integer such that is divisible by is:
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Fattorizzazione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
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Il più grande di questi (2011)! è divisibile da (n!)
Il più grande intero positivo tale che sia divisibile per è:
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7
Broken calculator: max number of square-root presses until a number smaller than 2 appears
Esmeralda’s calculator is broken: when one presses the button , the calculator does, instead of the square root, the following operation: it takes the square root (as it should) and then divides by the number of digits before the comma. Esmeralda types a number with digits in the calculator and starts to press the button repeatedly. How many times, at most, does Esmeralda press the button until reaching, for the first time, a number smaller than 2?
(A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 8 (E) 9
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Casework Abilita: Stima, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
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Calcolatore rotto: numero massimo di presse a radice quadrata fino a quando non appare un numero inferiore a 2
La calcolatrice di Esmeralda è rotta: quando si premono il pulsante , la calcolatrice fa, invece della radice quadrata, la seguente operazione: prende la radice quadrata (come dovrebbe) e poi divide per il numero di cifre prima della virgola. Esmeralda inserisce nel calcolatore un numero con e inizia a premere il pulsante ripetutamente. Quante volte, al massimo, Esmeralda premere il pulsante fino a raggiungere, per la prima volta, un numero inferiore a 2?
(A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 8 (E) 9
Number of integers n>1 such that 2011 is a sum of n distinct positive integers
There exist 3 values of integers such that can be written as a sum of distinct positive integers:
How many values of integers exist for which it is possible to express 2011 as a sum of distinct positive integers?
(A) 59 (B) 60 (C) 61 (D) 62 (E) 63
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
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Numero di integri n>1 tale che il 2011 sia la somma di n diversi integri positivi
Esistono 3 valori di interi in modo che possa essere scritto come somma di diversi interi positivi:
Quanti valori di integri esistono per i quali è possibile esprimere il 2011 come somma di diversi integri positivi?
(A) 59 (B) 60 (C) 61 (D) 62 (E) 63
Largest subset of {1,…,20} containing no element equal to double another
What is the largest quantity of numbers of the set that we can choose so that no two of them, and , satisfy (none is the double of another)?
(A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) 14
Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
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Sottoinsieme più grande di {1,…,20} che non contiene elemento pari al doppio di un altro
Qual è la quantità più grande di numeri dell’insieme che possiamo scegliere in modo che nessuno di loro, e , soddisfi (nessuno è il doppio di un altro)?
(A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) 14
Area of triangle AMN in a triangle ABC of area 60 with cevians and midpoint
Let be a triangle. Point belongs to side and is such that . Let be the point where meets … and let be the midpoint of and the intersection of and . If the area of … is the area of … what, in degrees, is the angle ?
(A) 15 (B) 22,5 (C) 30 (D) 37,5 (E) 45
Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF
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Area del triangolo AMN in un triangolo ABC di area 60 con ceviani e punto medio
Lasciate che sia un triangolo. Il punto appartiene al lato ed è tale che . sia il punto in cui incontra … e sia il punto medio di e l’intersezione di e . Se la superficie di … è la superficie di … Qual è, in gradi, l’angolo ?
(A) 15 (B) 22,5 (C) 30 (D) 37,5 (E) 45
Value of (1-sqrt2)^2011 given (1+sqrt2)^2011 = a + b sqrt2 with integer a,b
Being and integers such that , is equal to
(A) (B) (C) (D) (E)
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Simmetria, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
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Valuta di (1-sqrt2)^2011 data (1+sqrt2)^2011 = a + b sqrt2 con numero intero a,b
Essendo e integri tali che , è uguale a
(A) (B) (C) (D) (E)
Smallest a with a<=b<=c positive integers and 1/a+1/b+1/c = 1/2011
If , and are positive integers such that and , what is the smallest value possible of ?
(A) 2011 (B) 2012 (C) 2013 (D) 2014 (E) 2011-2012
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
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La minima a con a<=b<=c numeri interi positivi e 1/a+1/b+1/c = 1/2011
Se , e sono integri positivi come e , qual è il valore più piccolo possibile di ?
(A) 2011 (B) 2012 (C) 2013 (D) 2014 (E) 2011-2012
Distinct vertices marked by three regular polygons (8,12,18 sides) inscribed in a circle sharing a vertex
Three regular polygons, of , and sides respectively, are inscribed in the same circumference and have a vertex in common. The vertices of the three polygons are marked on the circumference. How many distinct vertices are marked?
(A) 20 (B) 24 (C) 26 (D) 28 (E) 30
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Inclusione-esclusione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF
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Verti vertici segnati da tre poligoni regolari (8,12,18 lati) incisi in un cerchio che condivide un vertice
Tre poligoni regolari, rispettivamente dei lati , e , sono incisi nella stessa circonferenza e hanno un vertice in comune. I vertici dei tre poligoni sono segnati sulla circonferenza. Quanti vertici distinti sono segnati?
(A) 20 (B) 24 (C) 26 (D) 28 (E) 30
Length BE for E the intersection of the diagonals of a cyclic quadrilateral
Let be an inscribed quadrilateral (whose vertices belong to a circumference) with , , and . Being the intersection of the diagonals and , the length of the segment is:
(A) (B) (C) (D) (E)
Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF
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Lunghezza BE per E l’intersezione dei diagonali di un quadrilaterale ciclico
Il deve essere un quadrilaterale inciso (le cui vertici appartengono a una circonferenza) con , , e . Essendo l’intersezione delle diagonali e , la lunghezza del segmento è:
(A) (B) (C) (D) (E)