Olimpíada Brasileira de Matemática 2011 — Nível 3 — Fase 2

Smallest positive integer m so the quadratic has an integer solution

The second-degree equation $x^2-5x+m=2011$ has at least one integer solution. What is the smallest positive integer value of $m$?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Il più piccolo intero positivo m quindi il quadratico ha una soluzione di intero

L’equazione di secondo grado $x^2-5x+m=2011$ ha almeno una soluzione di un intero. Qual è il valore intero positivo più piccolo di $m$?

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Count anagrams of FELICIDADE that are alternated (consonant/vowel)

A sequence of letters, with or without meaning, is called $alternated$ when it is formed by alternating consonants and vowels. For example, EZEQAF, MATEMATICA, LEGAL and ANIMADA are alternated words, whereas DSOIUF, OLIMPIADA and ORDINARIO are not. How many anagrams of the word FELICIDADE (including the word FELICIDADE itself) are alternated sequences?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Conta gli anagrammi di FELICIDADE alternati (consonante/vocale) *

Una sequenza di lettere, con o senza significato, viene chiamata $alternated$ quando è formata da consonanti e vocali alternati. Ad esempio, EZEQAF, MATEMATICA, LEGAL e ANIMADA sono parole alternate, mentre DSOIUF, OLIMPIADA e ORDINARIO non lo sono. Quanti anagrammi della parola FELICIDADE (compresa la parola FELICIDADE stessa) sono sequenze alternate?

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Acute triangle, foot of altitude from A; distances to B and orthocenter equal 10; approximate area

The interior angle at vertex $A$ of an acute triangle $ABC$ measures $75$ degrees. The altitude relative to vertex $A$ touches side $BC$ at point $D$. The distances from $D$ to vertex $B$ and to the orthocenter of the triangle are equal to $10$ cm. What is the area of triangle $ABC$, approximated to the nearest integer? If necessary, use $\sqrt{3}\approx 1,732$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo acuto, piede d’altitudine da A; distanze da B e centro orto pari a 10; superficie approssimativa

L’angolo interno alla vertica $A$ di un triangolo acuto $ABC$ misura $75$ gradi. L’altitudine relativa al vertice $A$ tocca il lato $BC$ al punto $D$. Le distanze da $D$ alla verticale $B$ e all’ortocentro del triangolo sono uguali a $10$ cm. Qual è l’area del triangolo $ABC$, approssimato al numero intero più vicino? Se necessario, utilizzare $\sqrt{3}\approx 1,732$.

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Largest possible gcd of two distinct numbers in {1,…,2011}

What is the largest possible value of the greatest common divisor of two distinct numbers belonging to the set $\{1,2,3,\dots ,2011\}$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità Abilita: Riconoscimento di pattern, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Gcd più piccolo possibile di due numeri distinti in {1,…,2011}

Qual è il più grande valore possibile del più grande divisore comune di due numeri distinti appartenenti all’insieme $\{1,2,3,\dots ,2011\}$?

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Odd function on nonzero reals with a squared-sum identity; find nearest integer to f(33)

Let $f$ be a function from the nonzero reals to the nonzero reals such that \begin{itemize} \item $(f(x)+f(y)+f(z){)}^2=(f(x){)}^2+(f(y){)}^2+(f(z){)}^2$ for all nonzero reals $x,y,z$ such that $x+y+z=0$; \item $f(-x)=-f(x)$ for every nonzero real $x$; \item $f(2011)=1$. \end{itemize} Find the integer nearest to $f(33)$.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Funzione Odd su reali non-zero con un’identità di somma quadrata; trovare il numero intero più vicino a f(33)

Che $f$ sia una funzione dai reali non-zero ai reali non-zero tale che \begin{itemize} \item $(f(x)+f(y)+f(z){)}^2=(f(x){)}^2+(f(y){)}^2+(f(z){)}^2$ per tutti i reali non-zero $x,y,z$ tale che $x+y+z=0$; \item $f(-x)=-f(x)$ per ogni reale non-zero $x$; \item $f(2011)=1$. \end{itemize} Trova il numero intero più vicino a $f(33)$.

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Triangle ABC with angle A=45°; circle on diameter BC meets AB, AC at D, E; distance from midpoint of BC to line DE

In triangle $ABC$, the angle $B\hat{A}C$ measures $45^{\circ }$. The circle with diameter $BC$ cuts the sides $AB$ and $AC$ at $D$ and $E$, respectively. Given that $DE=10$, find the distance from the midpoint $M$ of $BC$ to the line $DE$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo ABC con angolo A=45°; cerchio sul diametro BC incontra AB, AC a D, E; distanza dal punto medio del BC alla linea DE

Nel triangolo $ABC$, l’angolo $B\hat{A}C$ misura $45^{\circ }$. Il cerchio di diametro $BC$ taglia rispettivamente i lati $AB$ e $AC$ a $D$ e $E$. Dato che $DE=10$, trovare la distanza dal punto medio $M$ di $BC$ alla linea $DE$.

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Find all real solutions of a cyclic system 2y=x+1/x, etc.

Find all real solutions $(x,y,z)$ of the system [ \begin{cases} 2y = x + \dfrac{1}{x} \ 2z = y + \dfrac{1}{y} \ 2x = z + \dfrac{1}{z} \end{cases} ]

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova tutte le soluzioni reali di un sistema ciclico 2y=x+1/x, ecc..

Trova tutte le soluzioni reali $(x,y,z)$ del sistema [ \begin{cases} 2y = x + \dfrac{1}{x} \ 2z = y + \dfrac{1}{y} \ 2x = z + \dfrac{1}{z} \end{cases} ]

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Integer-coeff polynomial: P(x)=2011 has roots 1 and t, P(x)=0 has an integer root; find all t

Let $P(x)$ be a polynomial with integer coefficients. It is known that $P(x)=2011$ has at least two distinct integer roots equal to $1$ and $t$, and that $P(x)=0$ has at least one integer root. Determine all possible values of $t$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Polinomio integrale-coeff: P(x) = 2011 ha radici 1 e t, P(x) = 0 ha una radice integrale; trova tutti t

Che $P(x)$ sia un polinomio con coefficienti interi. È noto che $P(x)=2011$ ha almeno due radici di numeri interi distinte uguali a $1$ e $t$, e che $P(x)=0$ ha almeno una radice di numeri interi. Determinare tutti i possibili valori di $t$.

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Proper colorings of a disk split into n cyclic sectors with k colors

Esmeralda has a circle of cardboard divided into $n$ circular sectors, numbered from $1$ to $n$, in clockwise order. In how many ways can Esmeralda paint the cardboard, painting each sector with a single color, having $k$ colors available, so that any two neighboring circular sectors (that is, sectors that share a segment in common, a border) have different colors? Note that this implies that the sectors numbered $1$ and $n$ must have different colors.

Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione, Inclusione-esclusione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Correcte colorazioni di un disco diviso in n settori ciclici con k colori

Esmeralda ha un cerchio di cartone diviso in settori circolari $n$, numerati da $1$ a $n$, in ordine orario. In quanti modi Esmeralda può dipingere il cartone, dipingendo ogni settore con un unico colore, avendo $k$ colori disponibili, in modo che due settori circolari vicini (cioè settori che condividono un segmento in comune, un confine) abbiano colori diversi? Si noti che ciò implica che i settori numerati $1$ e $n$ devono avere colori diversi.

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