Olimpíada Brasileira de Matemática 2011 — Nível 3 — Fase 3

Prove every positive integer n has a chapa with exactly n digits

We say that a positive integer is a chapa if it is formed only by non-zero digits and the sum of the squares of its digits is also a perfect square. For example, 221 is a chapa because $2^2+2^2+1^2=9=3^2$ and all its digits are non-zero; 403 is not a chapa because $4^2+0^2+3^2=5^2$ but one of its digits is zero; and 5 is not a chapa because $1^2+2^2=5$ is not a perfect square (note: if all digits of 403 are non-zero then $1^2+2^2=5$ is not a perfect square).

Prove that for every positive integer $n$, there exists a chapa with exactly $n$ digits.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prove che ogni intero positivo n ha un chapa con esattamente n cifre

Diciamo che un intero positivo è un chapa se è formato solo da cifre non zero e la somma dei quadrati delle sue cifre è anche un quadrato perfetto. Ad esempio, 221 è un chapa perché $2^2+2^2+1^2=9=3^2$ e tutti i suoi numeri sono non zero; 403 non è un chapa perché $4^2+0^2+3^2=5^2$ ma una delle sue cifre è zero; e 5 non è un chapa perché $1^2+2^2=5$ non è un quadrato perfetto (nota: se tutti i numeri di 403 non sono zero allora $1^2+2^2=5$ non è un quadrato perfetto).

Prova che per ogni intero positivo $n$, esiste un chapa con esattamente $n$ cifre.

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Find minimum m so every distribution of 2011 stickers among 33 friends is incomplete

An album composed of 2011 stickers is being collected by 33 friends. A distribution among the 33 friends is called incomplete when there exists at least one of the 33 friends who has fewer than $m$ stickers. Determine the minimum value of $m$ with the following property: every distribution of stickers among the 33 friends is such that, for any two friends, both are missing, for each of them, at least $m$ stickers in common.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Principio dei cassetti Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Trova m minimo così ogni distribuzione degli adesivi 2011 tra 33 amici è incompleta

Un album composto da adesivi del 2011 è stato raccolto da 33 amici. Una distribuzione tra i 33 amici si chiama incompleto quando esiste almeno uno dei 33 amici che ha meno di $m$ adesivi. Determinare il valore minimo di $m$ con la seguente proprietà: ogni distribuzione di adesivi tra i 33 amici è tale che, per due amici, entrambi mancano, per ciascuno di loro, almeno $m$ adesivi in comune.

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Convex pentagon area-1: triangles from consecutive vertices satisfy area inequality

Show that for every convex pentagon $P_1{P}_2{P}_3{P}_4{P}_5$ of area 1, there exist two triangles $P_i{P}_{i+1}{P}_{i+2}$ and $P_j{P}_{j+1}{P}_{j+2}$ (where $P_6=P_1$ and $P_7=P_2$), formed by three consecutive vertices of the pentagon, such that $\mathrm{area}(P_i{P}_{i+1}{P}_{i+2})\le \frac{5-\sqrt{5}}{10}\le \mathrm{area}(P_j{P}_{j+1}{P}_{j+2}).$

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Stima, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

area pentagonale convexa-1: i triangoli da vertici consecutivi soddisfano le disuguaglianze di superficie

Mostrare che per ogni pentagono convexo $P_1{P}_2{P}_3{P}_4{P}_5$ dell’area 1, esistono due triangoli $P_i{P}_{i+1}{P}_{i+2}$ e $P_j{P}_{j+1}{P}_{j+2}$ (dove $P_6=P_1$ e $P_7=P_2$), formati da tre vertici consecutivi del pentagono, in modo tale che $\mathrm{area}(P_i{P}_{i+1}{P}_{i+2})\le \frac{5-\sqrt{5}}{10}\le \mathrm{area}(P_j{P}_{j+1}{P}_{j+2}).$

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Do there exist 2011 positive integers with gcd(a_i,a_j)=a_j-a_i for all i<j?

Do there exist 2011 positive integers $a_1<a_2<\cdots <a_{2011}$ such that, for all $1\le i<j\le 2011$, $\gcd (a_i,a_j)=a_j-a_i?$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Esistono numeri interi positivi 2011 con gcd(a_i,a_j) =a_j-a_i per tutti i<j?*

Esistono numeri interi positivi del 2011 $a_1<a_2<\cdots <a_{2011}$ in modo che, per tutti $1\le i<j\le 2011$, $\gcd (a_i,a_j)=a_j-a_i?$

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Acute triangle with orthocenter: angle bisectors of BFC and BHC meet on BC

Let $ABC$ be an acute triangle and $H$ its orthocenter. The lines $BH$ and $CH$ meet $AC$ and $AB$ at $D$ and $E$, respectively. The circumcircle of $ADE$ meets the circumcircle of $ABC$ at $F\ne A$. Prove that the internal bisectors of $\angle BFC$ and $\angle BHC$ meet at a point on segment $BC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo acuto con centro ortografico: bisettieri angolari di BFC e BHC si incontrano su BC

Che $ABC$ sia un triangolo acuto e $H$ il suo centro orto. Le linee $BH$ e $CH$ incontrano $AC$ e $AB$ rispettivamente a $D$ e $E$. La circoncirca di $ADE$ incontra la circoncirca di $ABC$ a $F\ne A$. Prove che i bisettori interni di $\angle BFC$ e $\angle BHC$ si incontrano in un punto del segmento $BC$.

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Cyclic product of differences of 2011 non-negative reals with given sum is bounded

Let $x_1,x_2,x_3,\dots ,x_{2011}$ be non-negative real numbers whose sum is $\frac{2011}{2}$. Prove that $\left|{\prod }_{\text{cyc}}(x_i-x_{i+1})\right|=\left|(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_4)(x_4-x_5)\cdots (x_{2009}-x_{2010})(x_{2010}-x_{2011})(x_{2011}-x_1)\right|\le \frac{3\sqrt{3}}{16}.$

Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Il prodotto ciclico delle differenze dei reali non negativi del 2011 con la somma data è limitato

$x_1,x_2,x_3,\dots ,x_{2011}$ siano numeri reali non negativi la cui somma è $\frac{2011}{2}$. Provare che $\left|{\prod }_{\text{cyc}}(x_i-x_{i+1})\right|=\left|(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_4)(x_4-x_5)\cdots (x_{2009}-x_{2010})(x_{2010}-x_{2011})(x_{2011}-x_1)\right|\le \frac{3\sqrt{3}}{16}.$

src_obm_2011_n3_f3__Q06