Olimpíada Brasileira de Matemática 2012 — Nível 1 — Fase 2

Bus route distance from terminal to terminal

A motorcyclist travels at constant speed along the bus route connecting terminal A to terminal B, following the regular bus line that links the two terminals. She left terminal A heading toward the other terminal, and noticed that every 3 minutes she passed a bus stop. It took her 45 minutes to reach terminal B. She knows that the distance between the terminal and the stop nearest to it, and between any two consecutive stops, is 2 km. What is the distance between the two terminals?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Distanza del percorso dell’autobus dal terminal al terminal

Un motociclista viaggia a velocità costante lungo la rotta dell’autobus che collega il terminal A al terminal B, seguendo la linea di autobus regolare che collega i due terminal. Lasciò il terminal A e si diresse verso l’altro, e notò che ogni 3 minuti passava davanti ad una fermata di autobus. Le ci sono voluti 45 minuti per raggiungere il terminal B. Lei sa che la distanza tra il terminal e la fermata più vicina, e tra due fermate consecutive, è di 2 km. Qual è la distanza tra i due terminali?

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Find ZYX from a cryptarithmetic column addition

In the addition of three 4-digit numbers below, different letters represent different digits. What is the number $\overline{ZYX}$? $\begin{array}{r}XXXX\\ +YYYY\\ ZZZZ\\ YXXZ\end{array}$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Ricerca ZYX da un’aggiunta di colonne aritmetiche *

In aggiunta a tre numeri a 4 cifre di seguito, lettere diverse rappresentano cifre diverse. Qual è il numero $\overline{ZYX}$? $\begin{array}{r}XXXX\\ +YYYY\\ ZZZZ\\ YXXZ\end{array}$

src_obm_2012_n1_f2__Q02

Area of equilateral triangle with same perimeter as regular hexagon of area 240

An equilateral triangle has the same perimeter as a regular hexagon whose area is $240{\text{ cm}}^2$. What is the area of the triangle, in ${\text{cm}}^2$?

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Area di triangolo equilaterale con lo stesso perimetro dell’esagono regolare di area 240

Un triangolo equilaterale ha lo stesso perimetro di un esagono regolare la cui superficie è $240{\text{ cm}}^2$. Qual è l’area del triangolo, in ${\text{cm}}^2$?

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Minimum number of squares when cutting a 24x13 rectangle

Jade wants to cut a rectangular sheet of paper of $24\text{ cm}$ by $13\text{ cm}$ into smaller squares, not necessarily of the same size. What is the minimum number of squares she will obtain?

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Numero minimo di quadrati per la taglia di un rettangolo 24x13

Jade vuole tagliare un foglio rettangolare di carta di $24\text{ cm}$ di $13\text{ cm}$ in quadrati più piccoli, non necessariamente della stessa dimensione. Qual è il numero minimo di quadrati che otterrà?

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Maximum value of expression 1-2+3-4+5-6+7-8+9-10 using parentheses

Using only parentheses as many as needed, but using only the additions and subtractions already indicated, we can make the expression $1-2+3-4+5-6+7-8+9-10$ represent the largest possible number. What is this number?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Valuta massima dell’espressione 1-2+3-4+5-6+7-8+9-10 con parentesi

Utilizzando solo le parentesi quante siano necessarie, ma utilizzando solo le addizioni e le sottrazioni già indicate, possiamo rendere l’espressione $1-2+3-4+5-6+7-8+9-10$ il numero più grande possibile. Che numero è questo?

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Count girls at Esmeralda school after 10%/20% enrollment increase

At Esmeralda school, this year the number of boys increased by $10\%$ and the number of girls increased by $20\%$ compared to last year. There are currently $230$ students, exactly $30$ more than last year. How many girls are there at the school?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare le ragazze alla scuola di Esmeralda dopo un aumento dell’iscrizione del 10%/20%

Nella scuola di Esmeralda, quest’anno il numero di ragazzi è aumentato di $10\%$ e il numero di ragazze è aumentato di $20\%$ rispetto all’anno scorso. Attualmente ci sono studenti $230$, esattamente $30$ in più rispetto all’anno scorso. Quante ragazze ci sono a scuola?

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Dice game: complete table and find scores from partial info

Ana, Beto, and Carlos invented a game in which each of them rolls a die and records the gain (positive points) or double the points of the other two obtained in the roll, at the same time the others note them as losses (negative). The score is reviewed after each roll.

The scores after each roll are recorded for Ana, Beto, and Carlos in the table below, in this order. The last line shows the final score of each. In each new game, they start from zero.

$\begin{array}{cccc}& \text{Ana’s score}& \text{Beto’s score}& \text{Carlos’s score}\\ \text{A rolls 5}& 10& -5& -5\\ \text{B rolls 1}& 9& -3& -6\\ \text{C rolls 1}& & -6& 0\end{array}$

a) Complete the table above with the results from another game in which Beto played first, Carlos second, and Ana last.

$\begin{array}{cccc}& \text{Ana’s score}& \text{Beto’s score}& \text{Carlos’s score}\\ & & 6& \\ & & & 5\\ 5& & & \end{array}$

b) In the table on the side, only the die values in a game of six rolls were recorded. Write below the table the final score of each.

$\begin{array}{ccc}\text{A rolls}& \text{B rolls}& \text{C rolls}\\ & 3& \\ & 1& \\ & & 4\\ 5& & \\ & & 6\\ & & 4\end{array}$

$\text{Ana’s score:}\text{Beto’s score:}\text{Carlos’s score:}$

Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework, Invarianti Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Gioco di disco: completa la tabella e trova i punteggi da informazioni parziali

Ana, Beto e Carlos hanno inventato un gioco in cui ognuno di loro ruota un dado e registra il guadagno (punti positivi) o raddoppia i punti degli altri due ottenuti nel rollo, allo stesso tempo gli altri li notano come perdite (negative). Il punteggio viene rivisto dopo ogni rollo.

I punteggi dopo ogni rollo sono registrati per Ana, Beto e Carlos nella tabella qui sotto, in questo ordine. L’ultima riga mostra il punteggio finale di ciascuno. In ogni nuova partita, partono da zero.

$\begin{array}{cccc}& \text{Ana’s score}& \text{Beto’s score}& \text{Carlos’s score}\\ \text{A rolls 5}& 10& -5& -5\\ \text{B rolls 1}& 9& -3& -6\\ \text{C rolls 1}& & -6& 0\end{array}$

a) Completa la tabella di cui sopra con i risultati di un’altra partita in cui Beto ha giocato per primo, Carlos per secondo e Ana per ultimo.

$\begin{array}{cccc}& \text{Ana’s score}& \text{Beto’s score}& \text{Carlos’s score}\\ & & 6& \\ & & & 5\\ 5& & & \end{array}$

b) Nella tabella laterale sono stati registrati solo i valori dei die in una partita di sei rulli. Scrivi al di sotto della tabella il punteggio finale di ciascuno.

$\begin{array}{ccc}\text{A rolls}& \text{B rolls}& \text{C rolls}\\ & 3& \\ & 1& \\ & & 4\\ 5& & \\ & & 6\\ & & 4\end{array}$

$\text{Ana’s score:}\text{Beto’s score:}\text{Carlos’s score:}$

src_obm_2012_n1_f2__Q07

Area and perimeter of figures made of unit-square diamonds in a sequence

Rubinho built a sequence of $10$ figures, each formed by small squares (rhombus-shaped tiles) of side $1$ cm, as shown. Figure 2, for example, has area $5{\text{ cm}}^2$ and perimeter $12\text{ cm}$.

a) What is the area of Figure 5?

b) What is the perimeter of Figure 10?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Ricorsione, Induzione Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

L’area e il perimetro delle figure realizzate in diamanti unitari quadrati in sequenza

Rubinho costruì una sequenza di figure $10$, ciascuna formata da piccoli quadrati (piastrelle a forma di rombo) di lato $1$ cm, come mostrato. La figura 2, ad esempio, ha superficie $5{\text{ cm}}^2$ e perimetro $12\text{ cm}$.

a) Qual è l’area della figura 5?

b) Qual è il perimetro della figura 10?

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Diamantino’s digit-sum reduction game: trace, max 3-digit, count under 2012

Diamantino plays with numbers of two or more digits, transforming them into single-digit numbers in the following way: he adds the two rightmost digits and replaces those two digits with the result, repeating the process until he gets what he wants. For example, starting from $367$ he writes $313$, then writes $34$, and finishes writing $7$.

a) Starting with the number $2012$, what number will Diamantino obtain?

b) What is the largest three-digit number that Diamantino can transform into $1$?

c) Diamantino wrote all numbers less than $2012$, with two or more digits, that can be transformed into $9$. How many numbers did he write?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Ricorsione, Casework, Conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Il gioco di riduzione della somma dei numeri di Diamantino: traccia, massimo 3 cifre, conteggio sotto il 2012

Diamantino gioca con numeri di due o più cifre, trasformandoli in numeri a una cifra nel seguente modo: aggiunge le due cifre più a destra e sostituisce quelle due cifre con il risultato, ripetendo il processo finché non ottiene ciò che vuole. Ad esempio, partendo da $367$ scrive $313$, poi scrive $34$, e finisce scrivendo $7$.

a) A partire dal numero $2012$, quale numero riceverà Diamantino?

b) Qual è il numero a tre cifre più grande che Diamantino può trasformare in $1$?

c) Diamantino ha scritto tutti i numeri inferiori a $2012$, con due o più cifre, che possono essere trasformati in $9$. Quanti numeri ha scritto?

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