Number of gold medals given 1:2:3 ratio and 90% medalists
In the final phase of the OBM, students from all over Brazil participated. Following the tradition of international olympiads, the olympiad distributes gold, silver and bronze medals in the proportion , respectively. Knowing that of the total number of students won some of the 3 medals, how many students won a gold medal?
A) 60 \quad B) 120 \quad C) 180 \quad D) 240 \quad E) 300
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF
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Numero di medaglie d’oro assegnate in rapporto 1:2:3 e medaglia del 90%*
Nella fase finale dell’OBM hanno partecipato studenti provenienti da tutto il Brasile. Seguendo la tradizione delle Olimpiadi internazionali, le Olimpiadi distribuiscono medaglie d’oro, d’argento e di bronzo nella proporzione , rispettivamente. Sapendo che del numero totale degli studenti ha vinto alcune delle 3 medaglie, quanti studenti hanno vinto una medaglia d’oro?
A) 60 \quad B) 120 \quad C) 180 \quad D) 240 \quad E) 300
Risposta: C src_obm_2012_n2_f1__Q01
Self-referential: how many vowels are the correct answer
How many vowels does the correct answer to this problem have? Do not count the letter A nor the alternatives A to E.
A) Seis \quad B) Cinco \quad C) Quatro \quad D) Tr^{e}s \quad E) Duas
Topic: Logica Abilita: Lettura attenta, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
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Auto-referenziale: quante vocali sono la risposta corretta
Quante vocali ha la risposta corretta a questo problema? Non contare la lettera A né le alternative A a E.
A) Seis \quad B) Cinco \quad C) Quatro \quad D) Tr^{e}s \quad E) Due
Count of ‘bacium’ numbers (3.5 times an integer) in a range
In a certain context a number is called a bacium if it is an integer that is times another integer. For example, is a bacium, since it is times . How many bacium numbers exist between and ?
A) 61 \quad B) 62 \quad C) 60 \quad D) 66 \quad E) 33
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
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Conte dei numeri di “bascio” (3,5 volte un numero intero) in un intervallo
In un certo contesto un numero è chiamato bacio se è un intero che è volte un altro intero. Ad esempio, è un bacio, poiché è volte . Quanti numeri di bacio esistono tra e ?
A) 61 Quad B) 62 Quad C) 60 Quad D) 66 Quad E) 33
Displacement FP when a land-dividing line is moved on polygon ABCDEF
Jo~{a}o and Maria inherited a piece of land, represented by the polygon . There was a fence separating the land into two parts, made of straight pieces. They divided it again so that the line passes through point , keeping the two regions equal. The angles at , , , and remained equal. Using the dimensions in the figure ( on top and on the right side), what is the displacement ?
A) 5 \quad B) 8 \quad C) 10 \quad D) 12 \quad E) 20
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF
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FP di spostamento quando una linea di divisione del territorio è spostata sul poligono ABCDEF
Jo e Maria hanno ereditato un pezzo di terra, rappresentato dal poligono. C’era una recinzione che separava la terra in due parti, fatta di pezzi dritti. L’hanno ripartita in modo che la linea passi attraverso il punto , mantenendo le due regioni uguali. Gli angoli di , , , e sono rimasti uguali. Utilizzando le dimensioni della figura ( in alto e sul lato destro), qual è il spostamento ?
A) 5 \quad B) 8 \quad C) 10 \quad D) 12 \quad E) 20
Maximum value of cryptarithm fraction (MATEM)/(ATJCA)
In the expression , different letters represent different digits and equal letters represent equal digits. What is the greatest possible value of this expression?
A) 38 \quad B) 96 \quad C) 159 \quad D) 358 \quad E) 648
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
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*Valuta massima della frazione di criptaritmo (MATEM)/(ATJCA) *
Nell’espressione , le lettere diverse rappresentano cifre diverse e le lettere uguali rappresentano cifre uguali. Qual è il valore più grande possibile di questa espressione?
A) 38 \quad B) 96 \quad C) 159 \quad D) 358 \quad E) 648
Painted fraction of figure with six side-2 equilateral triangles and a side-1 hexagon
The figure shows six equilateral triangles with sides of length and a regular hexagon with sides of length . What is the fraction of the total area that is painted?
A) \quad B) \quad C) \quad D) \quad E)
Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF
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Fragzione dipinta con sei triangoli equilaterali laterali-2 e un esagono laterale-1
La figura mostra sei triangoli equilaterali con lati di lunghezza e un esagono regolare con lati di lunghezza . Qual è la frazione della superficie totale che viene dipinta?
A) \quad B) \quad C) \quad D) \quad E)
Find xy given x^3+y^3=5(x+y) and x^2+y^2=4
If and are real numbers such that , and , determine the value of .
A) 4 \quad B) 3 \quad C) 1 \quad D) 0 \quad E)
Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF
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Ricerca xy data x^3+y^3=5(x+y) e x^2+y^2=4
Se e sono numeri reali come , e , determinare il valore di .
A) 4 \quad B) 3 \quad C) 1 \quad D) 0 \quad E)
Risposta: E src_obm_2012_n2_f1__Q07
Holiday date from last digit of 2016^2014 and remainder of 2014^2014 mod 11
To pay tribute to the World Cup and the Olympics in Brazil, Esmeralda, the mayor of the city of Gugul^{a}ndia, decided to create a holiday in her city on day of the month of number , where is the last digit of the number and is the remainder of divided by . Thus, this holiday will be on the day:
A) 8 de mar\c{c}o \quad B) 6 de janeiro \quad C) 4 de janeiro \quad D) 6 de abril \quad E) 6 de mar\c{c}o
Observation: The month of January corresponds to month number , and so on.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
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Data di vacanza dall’ultima cifra del 2016^2014 e del resto del 2014^2014 mod 11
Per rendere omaggio alla Coppa del Mondo e alle Olimpiadi in Brasile, Esmeralda, sindaco della città di Gugul^{a}ndia, ha deciso di creare una vacanza nella sua città il giorno del mese di numero , dove è l’ultima cifra del numero e è il resto di diviso da . Così, questa festa sarà il giorno:
A) 8 di marzo B) 6 di gennaio C) 4 di gennaio D) 6 di aprile E) 6 di marzo
Osservazione: il mese di gennaio corrisponde al numero di mese e così via.
How many times digit 7 repeats in a sequence to form smallest multiple of 77
Fernando writes a sequence of numbers How many times at most does the digit repeat in so that the number we obtain is the smallest multiple of ?
A) 7 \quad B) 11 \quad C) 18 \quad D) 49 \quad E) 77
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
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Quante volte la cifra 7 si ripete in una sequenza per formare il più piccolo multiple di 77
Fernando scrive una sequenza di numeri Quante volte al massimo la cifra si ripete in in modo che il numero che otteniamo sia il più piccolo multiple di ?
A) 7 \quad B) 11 \quad C) 18 \quad D) 49 \quad E) 77
Ways to tile a 4x4 board with one 2x2 square and four L-trominoes
In how many ways can we cover a board with one square of side and four identical pieces of format, each occupying three little squares of the board? The board cannot be rotated, that is, the possibilities shown below must be considered distinct.
A) 2 \quad B) 3 \quad C) 4 \quad D) 5 \quad E) 6
Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
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Medi di tessitura di una lavagna 4x4 con un quadrato 2x2 e quattro tromini L
In quanti modi possiamo coprire una lavagna con un quadrato di lato e quattro pezzi identici di formato , ognuno occupando tre piccoli quadrati della lavagna? La tabella non può essere rotata, vale a dire le possibilità indicate di seguito devono essere considerate diverse.
A) 2 \quad B) 3 \quad C) 4 \quad D) 5 \quad E) 6
Smallest odd number with exactly 10 positive divisors
What is the smallest odd number that has exactly positive divisors including and the number itself?
A) 1875 \quad B) 405 \quad C) 390 \quad D) 330 \quad E) 105
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF
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Il più piccolo numero odd con esattamente 10 divisori positivi
Qual è il più piccolo numero odd che ha esattamente divisori positivi inclusi e il numero stesso?
A) 1875 \quad B) 405 \quad C) 390 \quad D) 330 \quad E) 105
Risposta: B src_obm_2012_n2_f1__Q11
Count of positive integers equal to 3 times their number of divisors
How many positive integers are equal to times their own number of positive divisors?
A) 1 \quad B) 2 \quad C) 3 \quad D) 9 \quad E) infinitely many
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
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Contato di interi positivi pari a 3 volte il loro numero di divisori
Quanti integri positivi sono uguali a volte il proprio numero di divisori positivi?
A) 1 \quad B) 2 \quad C) 3 \quad D) 9 \quad E) infinitamente molti
Mass of one student given the ten pairwise sums of five students
The masses of all pairs among students are kg, kg, kg, kg, kg, kg, kg, kg, kg and kg. What is the mass of one of the students?
A) 52kg \quad B) 51kg \quad C) 49kg \quad D) 48kg \quad E) 46kg
Topic: Algebra, Logica Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
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Massa di uno studente data la somma pari di cinque studenti
Le masse di tutte le coppie tra gli studenti sono kg, kg, kg, kg, kg, kg, kg, kg, kg e kg. Qual è la massa di uno degli studenti?
A) 52 kg \quad B) 51 kg \quad C) 49 kg \quad D) 48 kg \quad E) 46 kg
Distance traveled by a golf/soccer ball following a semicircular path
The great artilleryman Tornado is about to make the most beautiful shot of his career. He is in front of the goal, and plans that the ball, on leaving, will travel metres in a straight line up to a point, and then describe a semicircle, arriving metres of altitude over the solid ground at the goal. What is the distance traveled until the ball enters the goal?
A) 3 \quad B) 3.5 \quad C) 4 \quad D) 4.5 \quad E) 5
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF
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Distanza percorsa da una palla da golf/calcio seguendo un percorso semicircolare
Il grande artigliere Tornado sta per fare il colpo più bello della sua carriera. Si trova davanti al gol e prevede che la palla, al partire, percorrerà metri in linea retta fino a un punto, e quindi descriverà un semicircolo, raggiungendo metri di altitudine sul terreno solido al gol. Qual è la distanza percorsa fino a quando la palla entra nel gol?
A) 3 \quad B) 3.5 \quad C) 4 \quad D) 4.5 \quad E) 5
Number of distinct distances between points in a 4x4 grid
How many distinct distances are possible between two distinct points of the grid shown below? The points are distributed in rows and columns equally spaced from one another by one unit.
A) 4 \quad B) 6 \quad C) 9 \quad D) 11 \quad E) 16
Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Conteggio, Coordinate Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF
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Numero di distanze distinte tra punti in una griglia 4x4
Quante distanze distinte sono possibili tra due punti distinti della griglia mostrata di seguito? I punti sono distribuiti in righe e colonne spaziate tra loro per un’unità.
A) 4 \quad B) 6 \quad C) 9 \quad D) 11 \quad E) 16
Risposta: C src_obm_2012_n2_f1__Q15
Minimum cake pieces for equal sharing among either 4 or 6 people
Esmeralda is organizing her birthday party and, because of an error in the distribution of the invitations, she does not know whether or people will be present. So she plans to leave the cake cut into some pieces so that, whether or people come, each of them will receive the same quantity of whole pieces of cake, with no piece needing to be cut further. What is the smallest number of pieces to reach this objective?
A) 24 \quad B) 10 \quad C) 8 \quad D) 7 \quad E) 6
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
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Minimum pezzi di torta per parità di condivisione tra 4 o 6 persone
Esmeralda sta organizzando la sua festa di compleanno e, a causa di un errore nella distribuzione degli inviti, non sa se saranno presenti persone o . Quindi ha intenzione di lasciare la torta tagliata in alcuni pezzi in modo che, se o persone vengono, ognuno di loro riceverà la stessa quantità di pezzi interi di torta, senza che nessun pezzo abbia bisogno di essere tagliato ulteriormente. Qual è il numero minimo di pezzi per raggiungere questo obiettivo?
A) 24 \quad B) 10 \quad C) 8 \quad D) 7 \quad E) 6
Shaded area in parallelogram with sides divided into 4 and 3 parts
The sides and of the parallelogram were divided into equal segments. The sides and were divided into equal segments. The division points were connected as the figure below indicates. The area of is . Determine the shaded area.
A) 1 \quad B) 3 \quad C) 4 \quad D) 7 \quad E) 12
Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF
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L’area oscurata in parallelo con lati divisi in 4 e 3 parti
I lati e del parallelo sono stati suddivisi in segmenti uguali . I lati e sono stati divisi in segmenti uguali . I punti di divisione sono stati collegati come indica la figura seguente. La superficie di è . Determina la zona ombrata.
A) 1 \quad B) 3 \quad C) 4 \quad D) 7 \quad E) 12
Count of axis-parallel squares in a 4x2012 grid generalizing 4x4 case
Renan drew a board, as shown in the figure below, and counted all the squares with sides parallel to the sides of the board, with vertices chosen among the vertices of the little squares of the board, and obtained squares. What number would Renan have obtained if he had done the same with a board ?
A) 30180 \quad B) 32175 \quad C) 20110 \quad D) 25190 \quad E) 8048
Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
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Conto dei quadrati paralleli all’asse in una griglia 4x2012 che generalizza il caso 4x4
Renan disegnò una tavola , come mostrato nella figura di seguito, e contò tutti i quadrati con lati paralleli ai lati della tavola, con vertici scelti tra i vertici dei piccoli quadrati della tavola, e ottenne i quadrati . Che numero avrebbe ottenuto Renan se avesse fatto lo stesso con una lavagna ?
A) 30180 \quad B) 32175 \quad C) 20110 \quad D) 25190 \quad E) 8048
Sum of values of m so roots of x^2-mx+m+5=0 are legs of a right triangle with hypotenuse 5
On calculating the roots of the second-degree equation , Samuca noticed that they are the legs of a right triangle with hypotenuse of length . What is the sum of the possible values of ?
A) 2 \quad B) 12 \quad C) 7 \quad D) 10 \quad E) 8
Topic: Algebra, Geometria piana Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF
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Summa dei valori di m così radici di x^2-mx+m+5=0 sono gambe di un triangolo rettangolo con ipotenuza 5
Nel calcolare le radici dell’equazione di secondo grado , Samuca notò che sono le gambe di un triangolo rettangolo con ipotenusa di lunghezza . Qual è la somma dei possibili valori di ?
A) 2 \quad B) 12 \quad C) 7 \quad D) 10 \quad E) 8
Count integers in (23456,65432) with odd digit product not a multiple of 7
How many numbers exist between and such that the product of their digits is an odd number that is not a multiple of ?
A) 128 \quad B) 256 \quad C) 512 \quad D) 1024 \quad E) 2048
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
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Contare i numeri interi in (23456,65432) con prodotto a numeri unici non multiplo di 7
Quanti numeri esistono tra e in modo tale che il prodotto delle loro cifre sia un numero impar che non è un multiple di ?
A) 128 \quad B) 256 \quad C) 512 \quad D) 1024 \quad E) 2048
Area of a square with an inscribed semicircle whose center lies on a diagonal
In the figure of radius we have a semicircle inscribed in a square in such a way that its center passes through one of the diagonals of the square. What is the area of the square?
A) \quad B) \quad C) \quad D) \quad E)
Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF
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Area di un quadrato con un semicircolo inciso il cui centro si trova su una diagonale
Nella figura del raggio abbiamo un semicircolo inciso in un quadrato in modo tale che il suo centro passi attraverso una delle diagonali del quadrato. Qual è l’area della piazza?
A) \quad B) \quad C) \quad D) \quad E)
Largest power of 2 dividing 2011^2012 - 1
What is the largest power of that divides ?
A) 2 \quad B) 4 \quad C) 8 \quad D) 16 \quad E) 32
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
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Migliore potenza di 2 divisione 2011^2012 - 1
Qual è la maggiore potenza di che divide ?
A) 2 \quad B) 4 \quad C) 8 \quad D) 16 \quad E) 32
Year in which the gcd of year and OBM edition is maximized
In we are holding edition of the OBM, and . Supposing that the OBM is always held every year, in which year will the largest possible value for the of the year and the edition of the OBM held in that year occur?
A) 12 \quad B) 28 \quad C) 38 \quad D) 1978 \quad E) 2012
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
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Anno in cui è massimizzata l’edizione GCD dell’anno e OBM
In abbiamo l’edizione dell’OBM e . Supponendo che l’OBM si svolga sempre ogni anno, in quale anno si verificherà il più grande valore possibile per il dell’anno e l’edizione dell’OBM tenuta in quell’anno?
A) 12 \quad B) 28 \quad C) 38 \quad D) 1978 \quad E) 2012
Measure of angle PBQ given right angle ABC and angle AFD=40 degrees
In the figure that follows, the angle is right, is a line over the segments and at and , respectively; the lines and cut at ; and are the orthogonal projections of and onto the line , respectively. Knowing that the angle between the lines and is , the measure of , in degrees, is:
A) 110 \quad B) 120 \quad C) 130 \quad D) 140 \quad E) 160
Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF
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Meditazione dell’angolo PBQ dato angolo retto ABC e angolo AFD=40 gradi
Nella figura che segue, l’angolo è corretto, è una linea sopra i segmenti e rispettivamente a e ; le linee e tagliate a ; e sono le proiezioni ortogonali di e sulla linea , rispettivamente. Sapendo che l’angolo tra le linee e è , la misura di , in gradi, è:
A) 110 \quad B) 120 \quad C) 130 \quad D) 140 \quad E) 160
Largest subset of {1..25} with no two elements whose product is a perfect square
How many elements has the largest subset of that does not contain two distinct numbers whose product is a perfect square?
A) 15 \quad B) 16 \quad C) 17 \quad D) 18 \quad E) 19
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Grafi, Estremalità, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
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Sottoinsieme più grande di {1..25} senza due elementi il cui prodotto è un quadrato perfetto
Quanti elementi hanno il più grande sottoinsieme di che non contiene due numeri distinti il cui prodotto è un quadrato perfetto?
A) 15 \quad B) 16 \quad C) 17 \quad D) 18 \quad E) 19