Olimpíada Brasileira de Matemática 2012 — Nível 3 — Fase 1

Count vowels in the correct answer to this problem

How many vowels does the correct answer to this problem have? Do not count the letter A nor the letter E of the alternatives A) and E).

A) Six B) Five C) Four D) Three E) Two

Topic: Logica Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conta le vocali nella risposta corretta a questo problema

Quante vocali ha la risposta corretta a questo problema? Non contare la lettera A né la lettera E delle alternative A) e E).

**A) ** Sei **B) ** Cinque **C) ** Quattro **D) ** Tre **E) ** Due

src_obm_2012_n3_f1__Q01

Maximize value of cryptarithm fraction with distinct digits

In the expression $\frac{M\times A\times T\times E\times M}{A\times T\times I\times C\times A}$, different letters represent different digits and equal letters represent equal digits. What is the greatest possible value of this expression?

A) 38 B) 96 C) 108 D) 576 E) 648

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Maximizzare il valore della frazione di criptaritmo con cifre distinte

Nell’espressione $\frac{M\times A\times T\times E\times M}{A\times T\times I\times C\times A}$, le lettere diverse rappresentano cifre diverse e le lettere uguali rappresentano cifre uguali. Qual è il valore più grande possibile di questa espressione?

A) 38 B) 96 C) 108 D) 576 E) 648

src_obm_2012_n3_f1__Q02

Minimum interviewees so two answer all four questions identically

In a street survey, each interviewee answered four questions, and could give only one answer to each question. Thus, the same person can give equal or different answers to the questions. What is the minimum number of interviewees that guarantees that at least two people answered all the questions in the same way?

A) 16 B) 17 C) 9 D) 5 E) 33

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Minimum di intervistati quindi due rispondono alle quattro domande identicamente

In un sondaggio stradale, ogni intervistato rispose a quattro domande, e poteva dare solo una risposta a ciascuna domanda. Così la stessa persona può dare le stesse o diverse risposte alle domande. Qual è il numero minimo di intervistati che garantisce che almeno due persone rispondano a tutte le domande nello stesso modo?

A) 16 B) 17 C) 9 D) 5 E) 33

src_obm_2012_n3_f1__Q03

Shaded area in parallelogram ABCD of area 84 divided by grid segments

The sides $AB$ and $DC$ of the parallelogram $ABCD$ were divided into 4 equal segments. The sides $AD$ and $BC$ were divided into 3 equal segments. The division points were connected as indicated in the figure below. If the area of $ABCD$ is 84, determine the shaded area.

A) 1 B) 3 C) 4 D) 7 E) 12

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

L’area ombrata in parallelo ABCD dell’area 84 divisa per segmenti di griglia

I lati $AB$ e $DC$ del parallelo $ABCD$ sono stati suddivisi in 4 segmenti uguali. I lati $AD$ e $BC$ sono stati divisi in 3 segmenti uguali. I punti di divisione sono stati collegati come indicato nella figura seguente. Se la superficie di $ABCD$ è di 84, determinare la superficie ombrata.

A) 1 B) 3 C) 4 D) 7 E) 12

src_obm_2012_n3_f1__Q04

Greatest possible value of a quantity related to year 2012 and OBM edition

In 2012 we are holding the 34th OBM, and $\gcd (2012,34)=2$. Supposing that the OBM has always been held every year, and that it will continue to be held every year, what is the greatest possible value of [the quantity sought, as in the original]?

A) 12 B) 28 C) 38 D) 1978 E) 2012

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Estremalità Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Il massimo valore possibile di una quantità relativa all’anno 2012 e all’edizione OBM

Nel 2012 si tiene il 34° OBM, e $\gcd (2012,34)=2$. Supponendo che l’OBM sia sempre stato tenuto ogni anno, e che continuerà ad essere tenuto ogni anno, qual è il più grande valore possibile della [quantità richiesta, come nell’originale]?

A) 12 B) 28 C) 38 D) 1978 E) 2012

src_obm_2012_n3_f1__Q05

Count 3-digit numbers ABC with ABC + BCA + CAB = AAA times 10

The digits $A$, $B$, $C$ are nonzero and form the numbers $\overline{ABC}$, $\overline{BCA}$ and $\overline{CAB}$ such that $\overline{ABC}+\overline{BCA}+\overline{CAB}=\overline{AAA}\times 10$. How many numbers $\overline{ABC}$ exist?

A) 6 B) 8 C) 9 D) 15 E) none

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare i numeri a 3 cifre ABC con ABC + BCA + CAB = AAA × 10

Le cifre $A$, $B$, $C$ non sono zero e formano i numeri $\overline{ABC}$, $\overline{BCA}$ e $\overline{CAB}$ in modo tale che $\overline{ABC}+\overline{BCA}+\overline{CAB}=\overline{AAA}\times 10$. Quanti numeri $\overline{ABC}$ esistono?

**A) ** 6 **B) ** 8 **C) ** 9 **D) ** 15 **E) ** nessuno

src_obm_2012_n3_f1__Q06

Ways to tile 4x4 board with one 2x2 square and four L-pieces

In how many ways can we cover a $4\times 4$ board with a square of side 2 and four identical L-shaped pieces, each occupying three cells of the board? The board cannot be rotated, that is, all the possibilities shown below must be considered distinct.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Casse di tessitura 4x4 con un quadrato 2x2 e quattro pezzi L

In quanti modi possiamo coprire una lavagna $4\times 4$ con un quadrato di lato 2 e quattro pezzi identici a forma di L, ognuno occupando tre celle della lavagna? Il tabellone non può essere rotato, cioè tutte le possibilità indicate di seguito devono essere considerate separate.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

src_obm_2012_n3_f1__Q07

Evaluate expression given x^2 = 2x + 1

If $x^2=2x+1$, then $(x+1{)}^{-1}$ is equal to

A) $x+2$ B) $x-3$ C) $x-1$ D) $2x+5$ E) $3x+5$

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Evaluare espressione data x^2 = 2x + 1

Se $x^2=2x+1$, allora $(x+1{)}^{-1}$ è uguale a

A) $x+2$ B) $x-3$ C) $x-1$ D) $2x+5$ E) $3x+5$

src_obm_2012_n3_f1__Q08

Count convex quadrilaterals with AB=BC=CD=1, integer angles, angle condition

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral such that $AB=BC=CD=1$ and $m(A\hat{B}D)=m(A\hat{C}B)$. Knowing that the angle measures, in degrees, are integers, determine how many quadrilaterals $ABCD$ can be constructed satisfying the above conditions.

A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24

Topic: Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Geometria Fonte: apri PDF

Conta i quadrilaterali convexi con AB=BC=CD=1, angoli interi, condizione angolare

Il $ABCD$ deve essere un quadrilaterale convex tale che $AB=BC=CD=1$ e $m(A\hat{B}D)=m(A\hat{C}B)$. Sapendo che le misure di angolo, in gradi, sono numeri interi, determinano quanti quadrilaterali $ABCD$ possono essere costruiti soddisfacendo le condizioni di cui sopra.

A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24

src_obm_2012_n3_f1__Q09

Find intermediate student mass from pairwise sums of 5 students

The masses of all possible pairs that can be formed from 5 students are 89 kg, 92 kg, 93 kg, 94 kg, 95 kg, 96 kg, 96 kg, 97 kg, 98 kg, 100 kg and 101 kg. What is the mass of the student of intermediate mass?

A) 52 kg B) 51 kg C) 49 kg D) 48 kg E) 46 kg

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Ricerca la massa degli studenti intermedi da somme in coppia di 5 studenti

Le masse di tutte le possibili coppie che possono essere formate da 5 studenti sono 89 kg, 92 kg, 93 kg, 94 kg, 95 kg, 96 kg, 96 kg, 97 kg, 98 kg, 100 kg e 101 kg. Qual è la massa dello studente di massa intermedia?

A) 52 kg B) 51 kg C) 49 kg D) 48 kg E) 46 kg

src_obm_2012_n3_f1__Q10

Compute f(2012) from recursive base-3 functional equations

Let $N=\{0,1,2,\dots \}$ and consider the function $f:N\to N$ such that $f(0)=1$, $f(1)=2$, $f(2)=0$, and for every natural $n\ge 1$ satisfies the following conditions:

i) $f(3n)=3f(n)+1$;

ii) $f(3n+1)=3f(n)+2$;

iii) $f(3n+2)=3f(n)$.

Then $f(2012)$ is equal to

A) 101 B) 102 C) 103 D) 104 E) 105

Topic: Insiemi e funzioni, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Calcolo f(2012) dalle equazioni funzionali ricorsive di base-3

Consideriamo $N=\{0,1,2,\dots \}$ e consideriamo la funzione $f:N\to N$ tale che $f(0)=1$, $f(1)=2$, $f(2)=0$, e per ogni $n\ge 1$ naturale soddisfi le seguenti condizioni:

i) $f(3n)=3f(n)+1$;

ii) $f(3n+1)=3f(n)+2$;

iii) $f(3n+2)=3f(n)$.

Quindi $f(2012)$ è uguale a

A) 101 B) 102 C) 103 D) 104 E) 105

src_obm_2012_n3_f1__Q11

Find angle PBQ given right angle ABC and angle between CD, AE equal to 40 degrees

In the figure to follow, the angle $A\hat{B}C$ is right, a line $r$ cuts the segments $\overline{AB}$ and $\overline{BC}$ at $D$ and $E$ respectively; let $F$ be the intersection point of the segments $\overline{CD}$ and $\overline{AE}$, and $P$ and $Q$ are the orthogonal projections of $A$ and $C$ onto the line $r$, respectively.

Given that the angle between the lines $\overline{CD}$ and $\overline{AE}$ is $m(A\hat{F}D)=40^{\circ }$, the measure of $P\hat{B}Q$, in degrees, is

A) 110 B) 120 C) 130 D) 140 E) 160

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Find angle PBQ dato angolo retto ABC e angolo tra CD, AE pari a 40 gradi

Nella figura che segue, l’angolo $A\hat{B}C$ è corretto, una linea $r$ taglia i segmenti $\overline{AB}$ e $\overline{BC}$ rispettivamente a $D$ e $E$; lasciamo che $F$ sia il punto di intersezione dei segmenti $\overline{CD}$ e $\overline{AE}$, e $P$ e $Q$ sono le proiezioni ortogonali di $A$ e $C$ sulla linea $r$, rispettivamente.

Poiché l’angolo tra le linee $\overline{CD}$ e $\overline{AE}$ è $m(A\hat{F}D)=40^{\circ }$, la misura di $P\hat{B}Q$, in gradi, è

A) 110 B) 120 C) 130 D) 140 E) 160

src_obm_2012_n3_f1__Q12

Birth year of someone born Feb 29 on a Sunday given Feb 29 2012 was Wednesday

Leap years have one more day, February 29, which occurs every 4 years. Esmeralda was born on February 29 on a Sunday. Knowing that February 29, 2012 fell on a Wednesday, in which year was Esmeralda born?

A) 1972 B) 1976 C) 1980 D) 1984 E) 1988

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

L’anno di nascita di qualcuno nato il 29 febbraio in una domenica data il 29 febbraio 2012 era mercoledì

Gli anni bisesti hanno un altro giorno, il 29 febbraio, che si verifica ogni 4 anni. Esmeralda è nata il 29 febbraio in una domenica. Sapendo che il 29 febbraio 2012 è un mercoledì, in quale anno è nata Esmeralda?

A) 1972 B) 1976 C) 1980 D) 1984 E) 1988

src_obm_2012_n3_f1__Q13

Similarity ratio between two square-based pyramids sharing apex V

Consider a pyramid $VABCD$ with square base. Let $P$ be the center of the base $ABCD$ and $X$, $Y$, $Z$, $W$ the midpoints of the lateral sides; $VXYZW$ is a pyramid similar to $VABCD$, with the diagonals of the base $XZ$ and $YW$ parallel to $BC$ and $CD$ respectively. The ratio of similarity between the two pyramids is

A) $1:(\sqrt{2}+1)$ B) $1:3$ C) $1:2$ D) $1:\sqrt{2}$ E) $1:(2\sqrt{2}+3)$

Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quindico di somiglianza tra due piramidi a base quadrata che condividono l’apice V

Considera una piramide $VABCD$ con base quadrata. Il $P$ deve essere il centro della base $ABCD$ e $X$, $Y$, $Z$, $W$, i punti medi dei lati laterali; $VXYZW$ è una piramide simile a $VABCD$, con le diagonali della base $XZ$ e $YW$ parallele rispettivamente a $BC$ e $CD$. Il rapporto di somiglianza tra le due piramidi è

A) $1:(\sqrt{2}+1)$ B) $1:3$ C) $1:2$ D) $1:\sqrt{2}$ E) $1:(2\sqrt{2}+3)$

src_obm_2012_n3_f1__Q14

Ways to light lamps in 10 circles so consecutive circles differ in color

A luminous panel is formed by 10 large circles. Inside each large circle there are four lamps: one yellow, one green, one red and one blue. We light one lamp of each large circle so that two consecutive large circles do not have the same color lit. In how many ways can this be done, knowing that it is allowed for non-consecutive lamps to have the same color lit?

A) $(2^{10}-1{)}^4$ B) $(2^4-1{)}^{10}$ C) $2^{10}-1$ D) $2^4-1$ E) $2^{10}-2^4$

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

I percorsi per accendere le lampade in 10 cerchi in modo che i cerchi consecutivi differiscano di colore

Un pannello luminoso è formato da 10 grandi cerchi. All’interno di ogni grande cerchio ci sono quattro lampade: una gialla, una verde, una rossa e una blu. Accendiamo una lampada di ogni grande cerchio in modo che due grandi cerchi consecutivi non abbiano lo stesso colore illuminato. In quanti modi si può fare questo, sapendo che è consentito che le lampade non consecutive abbiano lo stesso colore illuminato?

A) $(2^{10}-1{)}^4$ B) $(2^4-1{)}^{10}$ C) $2^{10}-1$ D) $2^4-1$ E) $2^{10}-2^4$

src_obm_2012_n3_f1__Q15

Difference of max and min product of two nonneg integers summing to 2012

The sum of two non-negative integers is 2012. The difference between the greatest and the smallest possible values of the product of these numbers is

A) $1006^2$ B) $1005^2$ C) $1005\cdot 1007$ D) $1005\cdot 1006$ E) $1006\cdot 1007$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Differenza tra il prodotto massimo e il prodotto min di due integri non negativi sommando al 2012

La somma di due numeri interi non negativi è 2012. La differenza tra i valori più grandi e più piccoli possibili del prodotto di questi numeri è

A) $1006^2$ B) $1005^2$ C) $1005\cdot 1007$ D) $1005\cdot 1006$ E) $1006\cdot 1007$

src_obm_2012_n3_f1__Q16

Compare probabilities of nearest vertex for random point in 6-8-10 triangle

Triangle $ABC$ has sides $AB=6$, $AC=8$ and $BC=10$. A point $X$ is chosen at random in the interior of triangle $ABC$. Let $p_A$, $p_B$, $p_C$ be the probabilities that $X$ is closest to vertex $A$, $B$ or $C$ respectively. Then

A) $p_A>p_B=p_C$ B) $p_A>p_B>p_C$ C) $p_A>p_C>p_B$ D) $p_A<p_B=p_C$ E) $p_A=p_B=p_C$

Topic: Probabilità, Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Compari le probabilità del vertice più vicino per un punto casuale nel triangolo 6-8-10

Il triangolo $ABC$ ha lati $AB=6$, $AC=8$ e $BC=10$. Un punto $X$ è scelto a caso all’interno del triangolo $ABC$. $p_A$, $p_B$, $p_C$ siano le probabilità che $X$ sia la più vicina al vertice $A$, $B$ o $C$ rispettivamente. Allora…

A) $p_A>p_B=p_C$ B) $p_A>p_B>p_C$ C) $p_A>p_C>p_B$ D) $p_A<p_B=p_C$ E) $p_A=p_B=p_C$

src_obm_2012_n3_f1__Q17

Ways for clown to distribute 21 balls to 5 children under constraints

At a children’s party, the clown Macaxeira will distribute 21 balls to 5 children playing a game. Macaxeira must make the distribution satisfying the following conditions:

1. Each child can receive only whole balls (no fractions);

2. Each child must receive at least one ball;

3. The number of balls received decreases according to height, that is, no child receives a number of balls larger than another child who is taller.

Supposing the children all have different heights, in how many ways can this distribution be made?

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Medi per il clown di distribuire 21 palle a 5 bambini sotto vincoli

In una festa per bambini, il clown Macaxeira distribuirà 21 palle a 5 bambini che giocano a un gioco. Macaxeira deve effettuare la distribuzione soddisfacendo le seguenti condizioni:

1. Ogni bambino può ricevere solo palle intere (nessuna frazione);

2. ogni bambino deve ricevere almeno una palla;

3. Il numero di palle ricevute diminuisce a seconda dell’altezza, cioè nessun bambino riceve un numero di palle più grande di un altro bambino più alto.

Supponiamo che tutti i bambini abbiano altezze diverse, in quanti modi si possa fare questa distribuzione?

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

src_obm_2012_n3_f1__Q18

Count 3-element subsets of {1,…,25} containing two whose product is a perfect square

How many subsets with three distinct elements of $\{1,2,3,\dots ,25\}$ contain two distinct numbers whose product is a perfect square?

A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare i sottogruppi di 3 elementi di {1,…,25} contenenti due il cui prodotto è un quadrato perfetto

Quanti sottoinsiemi con tre elementi distinti di $\{1,2,3,\dots ,25\}$ contengono due numeri distinti il cui prodotto è un quadrato perfetto?

A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19

src_obm_2012_n3_f1__Q19

Evaluate sum of (n+1)^2/n! in terms of e

The number $e$, one of the most important constants in Mathematics, can be defined by $e={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots$ where $0!=1$ and $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n$ for $n\ge 0$.

Then the number ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(n+1{)}^2}{n!}=\frac{1^2}{0!}+\frac{2^2}{1!}+\frac{3^2}{2!}+\frac{4^2}{3!}+\cdots$ is equal to

A) $2e$ B) $4e$ C) $5e$ D) $5e^2$ E) $(e+1{)}^2$

Topic: Algebra Metodo: Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Valuta la somma di (n+1)^2/n! in termini di e

Il numero $e$, una delle costanti più importanti in matematica, può essere definito da $e={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots$ dove $0!=1$ e $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n$ per $n\ge 0$.

Quindi il numero ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(n+1{)}^2}{n!}=\frac{1^2}{0!}+\frac{2^2}{1!}+\frac{3^2}{2!}+\frac{4^2}{3!}+\cdots$ è uguale a

A) $2e$ B) $4e$ C) $5e$ D) $5e^2$ E) $(e+1{)}^2$

src_obm_2012_n3_f1__Q20

Largest power of 2 dividing 2011^2012 - 1

What is the greatest power of 2 that divides $2011^{2012}-1$?

A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Migliore potenza di 2 divisione 2011^2012 - 1

Qual è la maggiore potenza di 2 che divide $2011^{2012}-1$?

A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32

src_obm_2012_n3_f1__Q21

Side of Morley triangle of isosceles right triangle with legs 2

The theorem of Morley states that, by drawing the lines that divide each interior angle of a triangle into three equal angles, we obtain an equilateral triangle called the Morley triangle of $ABC$, as highlighted in detail in the figure to follow.

What is the measure of the side of the Morley triangle of an isosceles right triangle whose legs measure 2?

A) $2\sqrt{2}-\sqrt{6}$ B) $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ C) $\sqrt{6}-2$ D) $2-\sqrt{3}$ E) $2\sqrt{3}-\sqrt{6}$

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Side del triangolo Morley di triangolo rettangolo con gambe 2

Il teorema * di Morley* afferma che, disegnando le linee che dividono ogni angolo interno di un triangolo in tre angoli uguali, otteniamo un triangolo equilaterale chiamato il triangolo Morley di $ABC$, come evidenziato in dettaglio nella figura seguente.

Qual è la misura del lato del triangolo di Morley di un triangolo rettangolo di uguali pollici le cui gambe misurano 2?

A) $2\sqrt{2}-\sqrt{6}$ B) $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ C) $\sqrt{6}-2$ D) $2-\sqrt{3}$ E) $2\sqrt{3}-\sqrt{6}$

src_obm_2012_n3_f1__Q22

Largest attractive number below 2012 built from sums of 1,3,13,31

For Mariazinha, there exist only some numbers that she considers attractive: 1, 3, 13 and 31. A number, however, will only be considered attractive if it can be expressed as a sum of one or more of these attractive numbers. For example, $1+3+3+13+31=51$ is quite attractive. If some attractive numbers are summed in order to make up 2012, what is the largest attractive number (smaller than 2012)?

A) 68 B) 70 C) 71 D) 99 E) 2011

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Il numero più grande di attrazioni al di sotto del 2012 costruito da somme di 1,3,13,31

Per Mariazinha esistono solo alcuni numeri che lei ritiene attraenti: 1, 3, 13 e 31. Un numero, tuttavia, sarà considerato attraente solo se può essere espresso come la somma di uno o più di questi numeri attraenti. Ad esempio, $1+3+3+13+31=51$ è piuttosto attraente. Se si sommano alcuni numeri attraenti per comporre il 2012, quale è il numero più attraente (minore del 2012)?

A) 68 B) 70 C) 71 D) 99 E) 2011

src_obm_2012_n3_f1__Q23

Number of real solutions to cyclic system with 1/x^2 etc

How many real solutions does the system have? $\{\begin{array}{l}x+y=\frac{1}{z^2}\\ y+z=\frac{1}{x^2}\\ z+x=\frac{1}{y^2}\end{array}$

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) infinitely many

Topic: Algebra Metodo: Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Numero di soluzioni reali di sistema ciclico con 1/x^2 ecc

Quante soluzioni reali ha il sistema? $\{\begin{array}{l}x+y=\frac{1}{z^2}\\ y+z=\frac{1}{x^2}\\ z+x=\frac{1}{y^2}\end{array}$

**A) ** 0 **B) ** 1 **C) ** 2 **D) ** 3 **E) ** infinitamente molti

src_obm_2012_n3_f1__Q24

Product of all entries in a 100x100 table of gcd(i,j) values

Esmeralda drew a table with 100 rows and 100 columns and wrote, in row $i$ and column $j$ of the table, $\gcd (i,j)$. For example, she wrote $\gcd (4,6)=2$ in row 4, column 6, and she wrote $\gcd (15,10)=5$ in row 15, column 10. What is the product of all the numbers in the table?

A) $100{!}^{99}$ B) $100{!}^{100}$ C) $100{!}^{101}$ D) $\text{mmc}(1,2,3,\dots ,100{)}^{99}$ E) $\text{mdc}(1,2,3,\dots ,100{)}^{99}$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Doppio conteggio, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Produzione di tutte le voci in una tabella di 100x100 di valori gcd(i,j) *

Esmeralda disegnò una tabella con 100 righe e 100 colonne e scrisse, nella riga $i$ e nella colonna $j$ della tabella, $\gcd (i,j)$. Ad esempio, ha scritto $\gcd (4,6)=2$ nella riga 4, colonna 6, e ha scritto $\gcd (15,10)=5$ nella riga 15, colonna 10. Qual è il prodotto di tutti i numeri della tabella?

A) $100{!}^{99}$ B) $100{!}^{100}$ C) $100{!}^{101}$ D) $\text{mmc}(1,2,3,\dots ,100{)}^{99}$ E) $\text{mdc}(1,2,3,\dots ,100{)}^{99}$

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