Olimpíada Brasileira de Matemática 2012 — Nível 3 — Fase 3

Amoeba colour dynamics; count possible states in test tube

When two red amoebas meet, they transform into a single blue amoeba; when a red amoeba meets a blue amoeba, the two transform into three red amoebas; when two blue amoebas meet, they transform into four red amoebas. A test tube initially contains $a$ blue amoebas and $v$ red amoebas.

Determine, as a function of $a$ and $v$, all possible quantities of amoebas in the test tube and the number of amoebas of each colour for each such quantity.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Dinamica del colore Amoeba; contare gli stati possibili nel tubo di prova

Quando due amebe rosse si incontrano, si trasformano in una sola ameba blu; quando un ameba rosso incontra un ameba blu, i due si trasformano in tre amebe rosse; quando due amebe blu si incontrano, si trasformano in quattro amebe rosse. Un tubo di prova contiene inizialmente $a$ amoebas blu e $v$ amoebas rosse.

Determinare, in funzione di $a$ e $v$, tutte le possibili quantità di amoeba nel tubo di prova e il numero di amoeba di ogni colore per ciascuna di tali quantità.

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Excentres, midpoints of sides, and incircle concurrency in scalene triangle

Given a triangle $ABC$, let $A$ be the circumcentre relative to vertex $A$ and let $O$ be the point of intersection of the external bisectors of $\angle B$ and $\angle C$. Let $I_A$, $I_B$, $I_C$ be the excentres of scalene triangle $ABC$ relative to $A$, $B$, $C$, respectively, and let $X$, $Y$, $Z$ be the midpoints of $I_A{I}_B$, $I_A{I}_C$, $I_B{I}_C$, respectively. The incircle of triangle $ABC$ touches the sides $BC$, $CA$, $AB$ at points $D$, $E$, $F$, respectively. Prove that the lines $DX$, $EY$, and $FZ$ meet at a common point belonging to triangle $ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Centri, punti di centro dei lati e concomitanza incircolare nel triangolo scaleno

Dato un triangolo $ABC$, $A$ deve essere il circoncentro relativo alla vertica $A$ e $O$ deve essere il punto di intersezione dei bisettori esterni di $\angle B$ e $\angle C$. Che $I_A$, $I_B$, $I_C$ siano gli eccentri del triangolo scaleno $ABC$ rispetto rispettivamente a $A$, $B$, $C$, e che $X$, $Y$, $Z$ siano i punti medi di $I_A{I}_B$, $I_A{I}_C$, $I_B{I}_C$, rispettivamente. L’incircolo del triangolo $ABC$ tocca rispettivamente i lati $BC$, $CA$, $AB$ nei punti $D$, $E$ e $F$. Prova che le linee $DX$, $EY$ e $FZ$ si incontrano in un punto comune appartenente al triangolo $ABC$.

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Smallest n such that last 2012 decimal digits of n^n equal 1

What is the smallest natural number $n$ for which there exists a natural number $k$ such that the last $2012$ digits of $n^k$ in decimal representation are all equal to $1$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Nello più piccolo di tale entità che le ultime cifre decimali di n^n del 2012 siano uguali a 1

Qual è il numero naturale $n$ più piccolo per il quale esiste un numero naturale $k$ tale che gli ultimi numeri $2012$ di $n^k$ nella rappresentazione decimale siano tutti uguali a $1$?

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Existence of positive integers with n^2 as sum of prime-power terms

Determine whether there exist positive integers $n$, $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_{2012}$, all greater than or equal to $2$, such that $n^2=a_1^2+a_2^3+a_3^5+\cdots +a_i^{p_i}+\cdots +a_{2012}^{p_{2012}},$ where $p_i$ is the $i$-th prime (i.e., $p_1=2$, $p_2=3$, $p_3=5$, $\dots$).

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, method_casework Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Esistenza di integri positivi con n^2 come somma di termini di potenza primaria

Determinare se esistono integri positivi $n$, $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_{2012}$, tutti più grandi o uguali a $2$, in modo tale che $n^2=a_1^2+a_2^3+a_3^5+\cdots +a_i^{p_i}+\cdots +a_{2012}^{p_{2012}},$ in cui $p_i$ è il primo primo di $i$ (cioè $p_1=2$, $p_2=3$, $p_3=5$, $\dots$).

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Count colourings of n×n grid with 4 colours, no monochromatic 2×2 square side

In how many ways can the cells of an $n\times n$ board be coloured with $4$ colours such that no two cells sharing a side have the same colour, and in every $2\times 2$ square formed by four cells in consecutive rows and columns all four colours appear?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Ricorsione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conteggio di coloranti di n ×n griglia con 4 colori, senza monocromatiche 2×2 lato quadrato

In quanti modi le celle di una scheda $n\times n$ possono essere colorate con colori $4$ in modo tale che nessuna delle due celle che condividono un lato abbia lo stesso colore, e in ogni quadrato $2\times 2$ formato da quattro celle in righe e colonne consecutive appaiono tutti e quattro i colori?

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Find all surjective functions f: R+ → R+ satisfying a functional equation

Find all surjective functions $f$ from the positive reals to the positive reals such that $2x\cdot f(f(x))=(f(f(x))+x)\cdot f(x)$ for every positive real $x$.

(Note: A function $f$ from $A$ to $B$ is surjective if the image of $f$ is all of $B$, i.e., for every $y\in B$ there exists $x\in A$ such that $f(x)=y$.)

Topic: Equazioni funzionali, Insiemi e funzioni Metodo: Simmetria, Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le funzioni soggettive f: R+ → R+ che soddisfa un’equazione funzionale

Trovare tutte le funzioni surgetive $f$ dai reali positivi ai reali positivi in modo tale che $2x\cdot f(f(x))=(f(f(x))+x)\cdot f(x)$ per ogni reale positivo $x$.

(Nota: Una funzione $f$ da $A$ a $B$ è sorgettivo se l’immagine di $f$ è tutta $B$, cioè per ogni $y\in B$ esiste $x\in A$ tale che $f(x)=y$.)

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