Olimpíada Brasileira de Matemática 2012 — Nível Universitário — Fase 1

Max of |sin²x · sin 2x| and product inequality

a) Determine the maximum possible value of $|{\sin }^2(x)\cdot \sin (2x)|$ for $x\in \mathbb{R}$.

b) Prove that for every positive integer $k$, if $x=\frac{2\pi r}{2^k-1}$ with $r\in \mathbb{Z}$, then ${\prod }_{j=0}^{k-1}|\sin (2^{j}x)|=|\sin (x)\cdot \sin (2x)\cdots \sin (2^{k-1}x)|\le {\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^k.$

Topic: Algebra, Trigonometria Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

*Max di sin 2x e disuguaglianza di prodotto *

**a) ** Determinare il valore massimo possibile di $|{\sin }^2(x)\cdot \sin (2x)|$ per $x\in \mathbb{R}$.

**b) ** Dimostra che per ogni intero positivo $k$, se $x=\frac{2\pi r}{2^k-1}$ con $r\in \mathbb{Z}$, allora ${\prod }_{j=0}^{k-1}|\sin (2^{j}x)|=|\sin (x)\cdot \sin (2x)\cdots \sin (2^{k-1}x)|\le {\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^k.$

src_obm_2012_nu_f1__Q01

Properties of f(x)=(e^x−1)^(1/x) for x>0

Consider the function $f(x)={\left(e^x-1\right)}^{1/x}$, defined for $x>0$.

a) Show that $f(x)$ is strictly increasing.

b) Let $V(y)$ be defined by $V(y)=x$ if and only if $f(x)=y$. Given $0<a<b<c$, real numbers, consider the equation $a^b+b^a=c^c$. Express $x$ in terms of $a$, $b$, and $c$ using elementary functions and $V$.

Topic: Insiemi e funzioni, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Proprietà di f(x)=(e^x−1)^(1/x) per x>0

Considera la funzione $f(x)={\left(e^x-1\right)}^{1/x}$, definita per $x>0$.

**a) ** Mostra che $f(x)$ sta aumentando rigorosamente.

**b) ** $V(y)$ deve essere definito da $V(y)=x$ se e solo se $f(x)=y$. Dato $0<a<b<c$, numeri reali, si considera l’equazione $a^b+b^a=c^c$. Esprimere $x$ in termini di $a$, $b$ e $c$ usando funzioni elementari e $V$.

src_obm_2012_nu_f1__Q02

Polynomial divisibility condition via g(x)^m

Let $f(x)$ and $g(x)\in \mathbb{R}[x]$ be non-constant polynomials, and $m$, $n$ positive integers. Show that $y^n-f(x)$ divides $y^n-g(x)$ in $\mathbb{R}[x,y]$ if and only if $m$ divides $n$ and $g(x)=f(x{)}^{n/m}$.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Condizione di divisibilità polinomica via g(x) ^ m

Lasciate che $f(x)$ e $g(x)\in \mathbb{R}[x]$ siano polinomi non costanti e $m$, $n$ interi positivi. Indicare che $y^n-f(x)$ divide $y^n-g(x)$ in $\mathbb{R}[x,y]$ se e solo se $m$ divide $n$ e $g(x)=f(x{)}^{n/m}$.

src_obm_2012_nu_f1__Q03

Find smallest k with x_k > y_2012 for two sequences

Let $(x_n)$ and $(y_n)$ be two sequences defined by $x_1=2$, $y_1=2012$, $x_{n+1}=(x_n)!$, and $y_{n+1}=(y_n)!$, for all $n\ge 1$. Determine the smallest positive integer $k$ such that $x_k>y_{2012}$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Ricorsione, Estremalità Abilita: Lettura attenta, Riconoscimento di pattern, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Trova la k più piccola con x_k > y_2012 per due sequenze

Le sequenze $(x_n)$ e $(y_n)$ siano due sequenze definite da $x_1=2$, $y_1=2012$, $x_{n+1}=(x_n)!$ e $y_{n+1}=(y_n)!$ per tutte le $n\ge 1$. Determinare il numero intero positivo più piccolo $k$ tale che $x_k>y_{2012}$.

src_obm_2012_nu_f1__Q04

Count matrices M_i with A^4 = M_i among three given matrices

Let $M_1=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$, $M_2=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$, $M_3=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$. For each of the matrices $M_i$ ($i=1,2,3$), determine how many matrices $A$ exist such that $A^4=M_i$.

Topic: Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Contare matrici M_i con A^4 = M_i tra tre matrici date

In questo caso, si deve indicare il valore di $M_1=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$, $M_2=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$, $M_3=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$. Per ciascuna delle matrici $M_i$ ($i=1,2,3$), determinare quante matrici $A$ esistono in modo tale che $A^4=M_i$.

src_obm_2012_nu_f1__Q05

Values of a for which parabola-sequence region has infinite area

Consider the parabola formed by the points $(x,x^2)$, $x\in \mathbb{R}$, and the sequence $(x_n{)}_{n\ge 0}$ given by $x_n=n^{\alpha }$, where $\alpha >0$ is a fixed real constant. Consider the region formed by the points that lie to the right of the vertical axis ($x=0$), below the parabola, and above the tangent lines to the parabola at the points $(x_n,x_n^2)$, $n\ge 0$. For which values of $\alpha$ does this region have infinite area?

Topic: Geometria analitica, Algebra Metodo: Telescoping, Disuguaglianze Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Valori di a per i quali la regione della sequenza di parabole ha una superficie infinita

Considera la parabola formata dai punti $(x,x^2)$, $x\in \mathbb{R}$ e la sequenza $(x_n{)}_{n\ge 0}$ data da $x_n=n^{\alpha }$, dove $\alpha >0$ è una costante reale fissa. Si consideri la regione formata dai punti che si trovano a destra dell’asse verticale ($x=0$), sotto la parabola e sopra le linee tangenti alla parabola nei punti $(x_n,x_n^2)$, $n\ge 0$. Per quali valori di $\alpha$ questa regione ha una superficie infinita?

src_obm_2012_nu_f1__Q06