Olimpíada Brasileira de Matemática 2013 — Nível 1 — Fase 1

Compute double of: 24 plus triple of 13 minus quadruple of 15

What is the double of $24$ plus the triple of $13$ minus the quadruple of $15$?

(A) $24$ \quad (B) $26$ \quad (C) $27$ \quad (D) $37$ \quad (E) $38$

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Computo doppio di: 24 più triplo di 13 meno quadruplo di 15

Qual è il doppio di $24$ più il triplo di $13$ meno il quadruplo di $15$?

(A) $24$ \quad (B) $26$ \quad (C) $27$ \quad (D) $37$ \quad (E) $38$

src_obm_2013_n1_f1__Q01

Count the triangles in the figure

How many triangles are there in the figure below?

(A) $3$ \quad (B) $4$ \quad (C) $5$ \quad (D) $6$ \quad (E) $7$

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conta i triangoli nella figura

Quanti triangoli ci sono nella figura qui sotto?

(A) $3$ \quad (B) $4$ \quad (C) $5$ \quad (D) $6$ \quad (E) $7$

src_obm_2013_n1_f1__Q02

Liters of juice extractable from two 5 kg bags of oranges

A market sells oranges only in bags of $5$ kg each. Of each kilogram of orange, $55\%$ is juice. Moreover, $1$ kg of juice corresponds to $900$ ml of juice. Thus, how many liters of juice can we extract from two bags of oranges?

(A) $4.5$ \quad (B) $4.8$ \quad (C) $4.95$ \quad (D) $5$ \quad (E) $5.1$

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Liter di succo estrattibili da due sacchetti di arance da 5 kg

Un mercato vende arance solo in borse di $5$ kg ciascuna. Di ogni chilogrammo di arancione, $55\%$ è succo. Inoltre, $1$ kg di succo corrisponde a $900$ ml di succo. Quindi, quanti litri di succo possiamo estrarre da due sacchetti di arance?

(A) $4.5$ \quad (B) $4.8$ \quad (C) $4.95$ \quad (D) $5$ \quad (E) $5.1$

src_obm_2013_n1_f1__Q03

How many more equal blocks are needed to complete a parallelepiped

Esmeralda is building a parallelepiped using smaller equal blocks. To finish her task, how many blocks does Esmeralda still need to place?

(A) $12$ \quad (B) $14$ \quad (C) $16$ \quad (D) $18$ \quad (E) $20$

Topic: Geometria solida Metodo: Conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quanti blocchi uguali sono necessari per completare un parallelepiped

Esmeralda sta costruendo un parallelepiped usando blocchi uguali più piccoli. Per finire il suo compito, quanti blocchi ha ancora bisogno di mettere Esmeralda?

(A) $12$ \quad (B) $14$ \quad (C) $16$ \quad (D) $18$ \quad (E) $20$

src_obm_2013_n1_f1__Q04

With at least 11 multiples of 5 and at most 9 of 6 in 1..n, max multiples of 7

Among the natural numbers from $1$ to $n$, at least $11$ are divisible by $5$ and at most $9$ are divisible by $6$. At most, how many of these numbers are divisible by $7$?

(A) $4$ \quad (B) $5$ \quad (C) $6$ \quad (D) $7$ \quad (E) $8$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Con almeno 11 multipli di 5 e non più di 9 di 6 in 1..n, multipli massimi di 7

Tra i numeri naturali da $1$ a $n$, almeno $11$ sono divisibili da $5$ e al massimo $9$ sono divisibili da $6$. Al massimo, quanti di questi numeri sono divisibili per $7$?

(A) $4$ \quad (B) $5$ \quad (C) $6$ \quad (D) $7$ \quad (E) $8$

src_obm_2013_n1_f1__Q05

Two cats on a sofa; fraction of sofa occupied by Tica

The cats Mate and Tica are sleeping on the sofa. Mate arrived first, and when Tica arrived, she occupied one quarter of the surface of the sofa that was left over. The two of them together occupy exactly half of the surface of the sofa. What fraction of the surface of the sofa is occupied by Tica?

(A) $\frac{1}{12}$ \quad (B) $\frac{1}{8}$ \quad (C) $\frac{1}{6}$ \quad (D) $\frac{1}{5}$ \quad (E) $\frac{1}{2}$

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Due gatti su un divano; frazione di divano occupata da Tica

I gatti Mate e Tica dormono sul divano. Mate arrivò per primo, e quando Tica arrivò, occupò un quarto della superficie del divano che rimaneva. Entrambi occupano esattamente la metà della superficie del divano. Quale frazione della superficie del divano è occupata da Tica?

(A) $\frac{1}{12}$ \quad (B) $\frac{1}{8}$ \quad (C) $\frac{1}{6}$ \quad (D) $\frac{1}{5}$ \quad (E) $\frac{1}{2}$

src_obm_2013_n1_f1__Q06

Ant walking around a pentagon; position at the 2013th second

In the pentagon $ABCDE$ alongside, $AB=BC=CD=2$ meters and $DE=EA=3$ meters. An ant starts from vertex $A$ and walks at constant velocity, one meter per second, along its sides, always in the same direction. At which point will it be at the $2013$th second?

(A) $A$ \quad (B) $B$ \quad (C) $C$ \quad (D) $D$ \quad (E) $E$

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Antina che cammina attorno a un pentagono; posizione al secondo 2013

Nel pentagono $ABCDE$ accanto, $AB=BC=CD=2$ metri e $DE=EA=3$ metri. Una formica parte dal vertice $A$ e cammina a velocità costante, un metro al secondo, lungo i suoi lati, sempre nella stessa direzione. A che punto sarà al $2013$ secondo?

(A) $A$ \quad (B) $B$ \quad (C) $C$ \quad (D) $D$ \quad (E) $E$

src_obm_2013_n1_f1__Q07

Triangle pattern of black/white circles; black circles when 30 are white

White and black circles are used to construct triangles as in the figure. We begin with a black circle in the first row. From there on, the even rows are formed only by white circles, and the odd rows by circles of alternating colors, beginning with a black circle at the tip. If a triangle like this has exactly $30$ white circles, how many black circles does it have?

(A) $10$ \quad (B) $15$ \quad (C) $18$ \quad (D) $20$ \quad (E) $30$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Modello triangolare di cerchi neri/bianchi; cerchi neri quando 30 sono bianchi

I cerchi bianchi e neri vengono utilizzati per costruire i triangoli come nella figura. Iniziamo con un cerchio nero nella prima riga. Da lì in poi, le righe pari sono formate solo da cerchi bianchi, e le righe strane da cerchi di colori alternati, a partire da un cerchio nero alla punta. Se un triangolo come questo ha esattamente $30$ cerchi bianchi, quanti cerchi neri ha?

(A) $10$ \quad (B) $15$ \quad (C) $18$ \quad (D) $20$ \quad (E) $30$

src_obm_2013_n1_f1__Q08

2013th term of a sequence of 3-digit numbers with nonzero digits

Rita writes the sequence formed by three-digit numbers with nonzero digits as follows: $123,234,345,\dots ,789,891,912,123,\dots$ . What is the $2013$th term of this sequence?

(A) $345$ \quad (B) $456$ \quad (C) $567$ \quad (D) $678$ \quad (E) $789$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

2013th term of a sequence of 3-digit numbers with non-zero digits

Rita scrive la sequenza formata da numeri a tre cifre con cifre non zero come segue: $123,234,345,\dots ,789,891,912,123,\dots$ . Qual è il $2013$th termine di questa sequenza?

(A) $345$ \quad (B) $456$ \quad (C) $567$ \quad (D) $678$ \quad (E) $789$

src_obm_2013_n1_f1__Q09

Number of plus signs in 2013^2013 + … = 2013^2014

In the addition of equal terms $2013^{2013}+2013^{2013}+\cdots +2013^{2013}=2013^{2014}$, written in simplified form, many addition signs $(+)$ were written. How many were written?

(A) $1006$ \quad (B) $2009$ \quad (C) $2012$ \quad (D) $2014$ \quad (E) $4026$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Numero di segni più nel 2013^2013 + … = 2013^2014

Nell’aggiunta dei termini uguali $2013^{2013}+2013^{2013}+\cdots +2013^{2013}=2013^{2014}$, scritti in forma semplificata, sono stati scritti molti segni di aggiunta $(+)$. Quante sono state scritte?

(A) $1006$ \quad (B) $2009$ \quad (C) $2012$ \quad (D) $2014$ \quad (E) $4026$

src_obm_2013_n1_f1__Q10

Which statement about prime numbers is true

Every prime number is an integer that has exactly two positive divisors: the number $1$ and the number itself. For example, $2$ and $5$ are primes, but $1$ (which has only one divisor) and $4$ (whose positive divisors are $1$, $2$ and $4$) are not primes. Which of the statements below is true?

• (A) The sum of any two primes is a prime number.
• (B) The sum of the squares of any two prime numbers is a prime number.
• (C) The product of two consecutive natural numbers can be a prime number.
• (D) The sum of any three primes is never a prime number.
• (E) The product of any two primes can be a prime number.

Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Quale dichiarazione sui numeri primi è vera

Ogni numero primo è un numero intero che ha esattamente due divisori positivi: il numero $1$ e il numero stesso. Ad esempio, $2$ e $5$ sono numeri primi, ma $1$ (che ha solo un divisore) e $4$ (le cui divisori positivi sono $1$, $2$ e $4$) non sono numeri primi. Quale delle seguenti affermazioni è vera?

• (A) La somma di due numeri primi è un numero primo.
• (B) La somma dei quadrati di due numeri primi è un numero primo.
• (C) Il prodotto di due numeri naturali consecutivi può essere un numero primo.
• (D) La somma di tre numeri primi non è mai un numero primo.
• (E) Il prodotto di due numeri primi può essere un numero primo.

src_obm_2013_n1_f1__Q11

Discount now vs discount plus 5% price increase next month

If Joana buys a computer of $2000$ reais today, she will get a discount of $5\%$. If she leaves it for tomorrow, she will get the same discount of $5\%$, but the computer will increase by $5\%$. If she waits, what will happen?

• (A) Nothing, she will pay the same amount.
• (B) She will lose $100$ reais.
• (C) She will gain $105$ reais.
• (D) She will lose $95$ reais.
• (E) She will lose $105$ reais.

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sconto ora contro sconto più aumento dei prezzi del 5% il mese prossimo

Se Joana acquista oggi un computer di $2000$ reais, riceverà uno sconto di $5\%$. Se lo lascia per domani, riceverà lo stesso sconto di $5\%$, ma il computer aumenterà di $5\%$. Se aspetta, cosa succederà?

• (A) Niente, pagherà la stessa somma.
• (B) Perderà reais.
• (C) Lei guadagnerà $105$ reais.
• (D) Perderà reais.
• (E) Perderà reais.

src_obm_2013_n1_f1__Q12

Minimum number of paying adults at a stadium given total takings

The prices for entrance to a soccer stadium are R$$7.50$ for adults and R$$2.50$ for children. In the last Sunday’s game, the stadium collected R$$3000.00$ from an audience of fewer than $600$ paying spectators. At least how many paying adults were there in the stadium?

(A) $299$ \quad (B) $301$ \quad (C) $310$ \quad (D) $361$ \quad (E) $450$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Minimum numero di adulti paganti in uno stadio dato il totale delle entrate *

Il prezzo di ingresso in uno stadio di calcio è di R$$7.50$ for adults and R$$2.50$ for children. In the last Sunday’s game, the stadium collected R$$3000.00$ da parte di un pubblico inferiore a $600$ che paga lo spettatore. Almeno quanti adulti paganti c’erano nello stadio?

(A) $299$ \quad (B) $301$ \quad (C) $310$ \quad (D) $361$ \quad (E) $450$

src_obm_2013_n1_f1__Q13

Real area of a bedroom from a 1:45 scale drawing

The measurements indicated in the figure refer to the drawing that represents a rectangular bedroom, including a bathroom, of a house. If the scale of the drawing is $1:45$, what is the real area of this room? (The drawing measures $10$ cm by $6$ cm with a bathroom region cut out of one corner.)

(A) $12.15$ m${}^2$ \quad (B) $15.5$ m${}^2$ \quad (C) $27$ m${}^2$ \quad (D) $32$ m${}^2$ \quad (E) $60$ m${}^2$

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

L’area reale di una camera da letto da un disegno in scala 1:45

Le misure indicate nella figura si riferiscono al disegno che rappresenta una camera da letto rettangolare, compresa una stanza da bagno, di una casa. Se la scala del disegno è $1:45$, qual è la superficie reale di questa stanza? (Le misure di disegno $10$ cm per $6$ cm con una zona del bagno tagliata da un angolo.)

(A) $12.15$ m${}^2$ \quad (B) $15.5$ m${}^2$ \quad (C) $27$ m${}^2$ \quad (D) $32$ m${}^2$ \quad (E) $60$ m${}^2$

src_obm_2013_n1_f1__Q14

Minimum class size given winner had 10 votes and others distinct

Teacher Marli proposed an election for representative of the sixth-year class. Five students presented themselves as candidates. All the students voted and the winner was Pedrinho, with $10$ votes. The other four candidates received different numbers of votes, each one. At least how many students are there in this class?

(A) $16$ \quad (B) $30$ \quad (C) $34$ \quad (D) $36$ \quad (E) $40$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

La taglia minima della classe data al vincitore ha avuto 10 voti e altri distinti

L’insegnante Marli ha proposto una elezione per rappresentare la classe di sesto anno. Cinque studenti si presentarono come candidati. Tutti gli studenti hanno votato e il vincitore è stato Pedrinho, con voti $10$. Gli altri quattro candidati hanno ricevuto ciascuno un numero diverso di voti. Almeno quanti studenti ci sono in questa classe?

(A) $16$ \quad (B) $30$ \quad (C) $34$ \quad (D) $36$ \quad (E) $40$

src_obm_2013_n1_f1__Q15

Which of four friends was born in March from relative birth months

The friends Ana, Beatriz, Cristina and Dalva were born in the same year and on the same day, but in different months. Dalva is two months younger than Ana and four months older than Cristina. Beatriz is eight months younger than Dalva. Which of them was born in March?

(A) Ana \quad (B) Beatriz \quad (C) Cristina \quad (D) Dalva \quad (E) None of them

Topic: Logica, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Chi di quattro amici è nato a marzo dai mesi di nascita relativi

Le amiche Ana, Beatriz, Cristina e Dalva sono nate nello stesso anno e nello stesso giorno, ma in mesi diversi. Dalva è due mesi più giovane di Ana e quattro mesi più grande di Cristina. Beatriz è otto mesi più giovane di Dalva. Quale di loro è nato a marzo?

(A) Ana \quad (B) Beatriz \quad (C) Cristina \quad (D) Dalva \quad (E) Nessuno di loro

src_obm_2013_n1_f1__Q16

Column containing 1000 when filling a grid column by column

Joana completely fills a rectangular grid writing the numbers from $1$ to $2013$, one number for each square. She begins at the upper-left corner and fills the first column, then fills the second column, from top to bottom, and continues in the same way, filling the third column, the fourth, etc., until reaching the last column and finishing at the lower-right corner. If the number $50$ is in the second column, in which column will the number $1000$ be written?

(A) $23$ \quad (B) $31$ \quad (C) $33$ \quad (D) $39$ \quad (E) $61$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Colonna contenente 1000 quando si riempie una colonna di griglia colonna per colonna

Joana riempie completamente una griglia rettangolare scrivendo i numeri da $1$ a $2013$, un numero per ogni quadrato. Inizia nell’angolo superiore sinistro e riempie la prima colonna, poi riempie la seconda colonna, dall’alto alla base, e continua nello stesso modo, riempendo la terza colonna, la quarta, ecc., fino a raggiungere l’ultima colonna e finire nell’angolo inferiore a destra. Se il numero $50$ è nella seconda colonna, in quale colonna verrà scritto il numero $1000$?

(A) $23$ \quad (B) $31$ \quad (C) $33$ \quad (D) $39$ \quad (E) $61$

src_obm_2013_n1_f1__Q17

Sum of perimeters of six integer-sided squares tiling a 144 cm^2 square

A square of area $144$ cm${}^2$ can be decomposed into six squares with integer sides, not all equal. What is the sum of the perimeters of all six squares?

(A) $36$ cm \quad (B) $84$ cm \quad (C) $96$ cm \quad (D) $112$ cm \quad (E) $164$ cm

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Summa dei perimetri di sei quadrati a lato intero di un quadrato di 144 cm^2

Un quadrato di superficie $144$ cm${}^2$ può essere decomposto in sei quadrati con lati interi, non tutti uguali. Qual è la somma dei perimetri di tutti e sei i quadrati?

(A) $36$ cm \quad (B) $84$ cm \quad (C) $96$ cm \quad (D) $112$ cm \quad (E) $164$ cm

src_obm_2013_n1_f1__Q18

Minimum number of 6th-grade students from a sports bar chart

The graph alongside refers to the sports practice of the students of the 6th year of a school. None of the boys who play soccer or volleyball plays basketball, and no girl who plays basketball or volleyball plays soccer. There are five boys and three girls who do not practice any of the three sports. At least how many students are there in the 6th year?

(A) $37$ \quad (B) $45$ \quad (C) $50$ \quad (D) $64$ \quad (E) $72$

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Inclusione-esclusione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Minimum di studenti di sesta elementare di un grafico di bar sportivi

Il grafico accanto si riferisce alla pratica sportiva degli studenti del 6° anno di una scuola. Nessuno dei ragazzi che giocano a calcio o volleyball gioca a basket, e nessuna ragazza che gioca a basket o volleyball gioca a calcio. Ci sono cinque ragazzi e tre ragazze che non praticano nessuno dei tre sport. Quanti studenti ci sono almeno in sesto anno?

(A) $37$ \quad (B) $45$ \quad (C) $50$ \quad (D) $64$ \quad (E) $72$

src_obm_2013_n1_f1__Q19

Number of ways to tile a 24-cell grid with six identical 4-cell pieces

Luisa has six equal pieces formed by $4$ unit squares of area $1$. She wants to fit all these pieces into the grid formed by $24$ unit squares of area $1$ and has already placed one of these pieces, highlighted in the figure alongside, and the pieces can be placed in any orientation. In how many different ways can she finish her task?

(A) $2$ \quad (B) $3$ \quad (C) $4$ \quad (D) $5$ \quad (E) $6$

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Numero di modi di tessitura di una griglia a 24 celle con sei pezzi identici a 4 celle

Luisa ha sei pezzi uguali formati da $4$ unità quadrati di superficie $1$. Lei vuole inserire tutti questi pezzi nella griglia formata da $24$ unità quadrati di area $1$ e ha già posizionato uno di questi pezzi, evidenziato nella figura accanto, e i pezzi possono essere posizionati in qualsiasi orientamento. In quanti modi può completare il suo compito?

(A) $2$ \quad (B) $3$ \quad (C) $4$ \quad (D) $5$ \quad (E) $6$

src_obm_2013_n1_f1__Q20