Olimpíada Brasileira de Matemática 2013 — Nível 1 — Fase 2

Six-number sequence with equal consecutive-triple sums; find product of two blanked numbers

Raquel was completing a puzzle that consisted of writing six numbers in a row, one per box, such that the sum of any three consecutive numbers was always the same. After she completed the sequence by writing the six numbers, she spilled ink on the magazine, blotting out four numbers, as shown in the figure. She remembers that one of the two numbers she had written (i.e., one of the two visible numbers) was a seven. What is the product of the two numbers she wrote?

(The figure shows the six boxes with only the first box containing $1$ and the last box containing $5$ visible; the four middle boxes are blotted out. One of the two non-blotted values written by Raquel was $7$.)

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 35 Fonte: apri PDF

*Secenza di sei numeri con pari triplice consecutive; trovare il prodotto di due numeri privi di contenuto *

Raquel stava completando un puzzle che consisteva nel scrivere sei numeri in fila, uno per scatola, in modo che la somma di tutti e tre numeri consecutivi fosse sempre la stessa. Dopo aver completato la sequenza scrivendo i sei numeri, ha versato inchiostro sulla rivista, cancellando quattro numeri, come mostrato nella figura. Ricorda che uno dei due numeri che aveva scritto (cioè uno dei due numeri visibili) era un sette. Qual è il prodotto dei due numeri che ha scritto?

(La figura mostra le sei caselle con la prima casella contenente $1$ e l’ultima casella contenente $5$ visibili; le quattro caselle medie sono cancellate. Uno dei due valori non cancellati scritti da Raquel era $7$.)

Risposta: 35 src_obm_2013_n1_f2__Q01

Minimum a+b so that 28a³b and 7a⁴b³ are both perfect squares

A natural number is called a perfect square when it is the square of another natural number. For example, $1$ and $25$ are perfect squares, since $1=1^2$ and $25=5^2$. What is the minimum value of $a+b$, with $a$ and $b$ nonzero natural numbers, so that the numbers $28a^{3}b$ and $7a^4{b}^3$ are both perfect squares?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Minimum a+b in modo che 28a3b e 7a4b3 siano entrambi quadrati perfetti

Un numero naturale è chiamato quadrato perfetto quando è il quadrato di un altro numero naturale. Ad esempio, $1$ e $25$ sono quadrati perfetti, dal momento che $1=1^2$ e $25=5^2$. Qual è il valore minimo di $a+b$, con $a$ e $b$ numeri naturali non zero, in modo che i numeri $28a^{3}b$ e $7a^4{b}^3$ siano entrambi quadrati perfetti?

src_obm_2013_n1_f2__Q02

Join twelve 3×4 plastic rectangles side-to-side to maximize perimeter

Jurema has 12 plastic rectangular pieces, each measuring $3\text{cm}\times 4\text{cm}$. She joins these pieces with sides coinciding to form larger rectangles, one at a time. Among all rectangles she can form using all 12 pieces, the one with the largest perimeter is chosen. What is this perimeter, in centimetres?

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Unire dodici 3 ×4 rettangoli di plastica fianco a fianco per massimizzare il perimetro *

Jurema ha 12 pezzi rettangolari di plastica, ognuno di cui $3\text{cm}\times 4\text{cm}$. Unisce questi pezzi con lati che coincidono per formare rettangoli più grandi, uno alla volta. Tra tutti i rettangoli che può formare utilizzando tutti i 12 pezzi, si sceglie quello con il più grande perimetro. Qual è questo perimetro, in centimetri?

src_obm_2013_n1_f2__Q03

Use digits 0–7 once each per side in a column addition; maximize sum

Paulo wants to use each of the digits $0,1,2,3,4,5,6,7$ exactly once on each side of a column addition (a three-digit number plus a three-digit number), so that the addition is correct. What is the largest result he can obtain in this sum?

(The figure shows a vertical addition of two three-digit numbers whose sum is a three-digit or four-digit number, with each digit $0$–$7$ used exactly once across the two addends.)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Utilizzare i numeri 07 una volta ogni lato in un’addizione di colonne; massimizzare la somma

Paulo vuole usare ciascuno dei numeri $0,1,2,3,4,5,6,7$ esattamente una volta su ogni lato di un’addizione di colonna (un numero a tre cifre più un numero a tre cifre), in modo che l’addizione sia corretta. Qual è il risultato più grande che può ottenere con questa somma?

(La figura mostra un’addizione verticale di due numeri a tre cifre la cui somma è un numero a tre cifre o a quattro cifre, con ciascuna cifra 0$$7 usata esattamente una volta attraverso le due addizioni.)

src_obm_2013_n1_f2__Q04

100 correct out of 128 questions; find minimum N consecutive correct

In a multiple-choice test, Julia answered $100$ out of $128$ possible questions correctly. She verified that the largest number of consecutive questions she answered correctly is $N$. What is the minimum possible value of $N$?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Principio dei cassetti, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Stima, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

100 corrette su 128 domande; trovare almeno N corrette consecutive

In una prova a scelta multipla, Julia ha risposto correttamente alle domande $100$ di $128$. Ha verificato che il maggior numero di domande consecutive a cui ha risposto correttamente è $N$. Qual è il valore minimo possibile di $N$?

src_obm_2013_n1_f2__Q05

Erase integers 1–1000 two by two starting from second; count students

Teacher Maria wrote on the blackboard all integers from $1$ to $1000$. She called a student and asked him to erase numbers starting from the second one, erasing every other number (i.e., erasing the 2nd, 4th, 6th, $\dots$). Then she asked the next student to do the same with the remaining numbers (starting from the second remaining number, erasing every other one), and so on. How many students went to the blackboard?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Ricorsione, Induzione Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Sbarazzare i numeri interi 11000 due a due a partire dal secondo; contare gli studenti

L’insegnante Maria scrisse sulla lavagna tutti gli enti da $1$ a $1000$. Ha chiamato uno studente e gli ha chiesto di cancellare i numeri a partire dal secondo, cancellare ogni altro numero (cioè, cancellare il 2 °, 4 °, 6 °, $\dots$). Poi chiese al prossimo studente di fare lo stesso con i numeri rimanenti (a partire dal secondo numero rimanente, cancellare tutti gli altri), e così via. Quanti studenti sono andati alla lavagna?

src_obm_2013_n1_f2__Q06

Table with X=product and Y=quotient; find row 10 and sum in row 2013

In the table to the side, starting from the second row, the number written in column $X$ is equal to the product of the numbers in column $Y$ of the previous row and the number written in column $X$ of the previous row, and the number written in column $Y$ is equal to the quotient of the number written in column $X$ of the previous row divided by the number written in column $Y$ of the previous row.

The first four rows of the table are: $\begin{array}{ccc}\text{Row}& X& Y\\ 1& 2& 1\\ 2& 2& 2\\ 3& 4& 1\\ 4& 4& 4\\ ⋮& ⋮& ⋮\end{array}$

a) What are the two numbers that appear in row $10$? You may express your answer using powers.

b) What is the sum of the numbers that appear in row $2013$? You may express your answer using powers.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Ricorsione, Induzione, skill_riconoscimento_pattern Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Tabella con X=prodotto e Y=quotiente; trovare riga 10 e somma nella riga 2013

Nella tabella laterale, a partire dalla seconda riga, il numero scritto nella colonna $X$ è uguale al prodotto dei numeri nella colonna $Y$ della riga precedente e al numero scritto nella colonna $X$ della riga precedente, e il numero scritto nella colonna $Y$ è uguale al quotiente del numero scritto nella colonna $X$ della riga precedente diviso dal numero scritto nella colonna $Y$ della riga precedente.

Le prime quattro righe della tabella sono: $\begin{array}{ccc}\text{Row}& X& Y\\ 1& 2& 1\\ 2& 2& 2\\ 3& 4& 1\\ 4& 4& 4\\ ⋮& ⋮& ⋮\end{array}$

a) Quali sono i due numeri che appaiono nella riga $10$? Puoi esprimere la tua risposta usando poteri.

b) Qual è la somma dei numeri apparsi nella riga $2013$? Puoi esprimere la tua risposta usando poteri.

src_obm_2013_n1_f2__Q07

Goldsmith cuts vertex cubes from 10cm cube; cost of gold-foil surface

The goldsmith Carlos has a wooden cube with edges of $10\text{cm}$. He cuts cubes of edge $2\text{cm}$ from each vertex of the large cube and glues a thin gold foil over the entire surface of the resulting solid, at a price of $8$ reais per square centimetre. Without waste, what is the cost in reais of this covering?

Topic: Geometria solida, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Goldsmith taglia i cubetti verticali da 10 cm di cubo; costo della superficie del foglio d’oro

Il fabbro d’oro Carlos ha un cubo di legno con bordi di $10\text{cm}$. Taglia cubetti di bordo $2\text{cm}$ da ogni vertice del grande cubo e incolla una sottile follia d’oro su tutta la superficie del solido risultante, a un prezzo di $8$ reais per centimetro quadrato. Senza sprechi, qual è il costo in reais di questa copertura?

src_obm_2013_n1_f2__Q08

Trapezoid diagonals: area ABC = area ADE; then find area of AGDH

We have a trapezoid and its diagonals as shown below.

a) Show that the area of triangle $ABC$ equals the area of triangle $ADE$.

b) In the figure that follows, $BCFE$ is a rectangle, triangle $ABC$ has area $5{\text{cm}}^2$ and triangle $DEF$ has area $4{\text{cm}}^2$. Calculate the area of quadrilateral $AGDH$.

Topic: Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Diagonali trapezoidi: area ABC = area ADE; poi trovare area di AGDH

Abbiamo un trapezoide e le sue diagonali come mostrato di seguito.

a) Indicare che la superficie del triangolo $ABC$ è uguale alla superficie del triangolo $ADE$.

b) Nella figura seguente, $BCFE$ è un rettangolo, il triangolo $ABC$ ha superficie $5{\text{cm}}^2$ e il triangolo $DEF$ ha superficie $4{\text{cm}}^2$. Calcolare l’area del quadrilaterale $AGDH$.

src_obm_2013_n1_f2__Q09