Enrolled numbers: one digit equals sum of all other digits
We say that a positive integer is enrolled (enrolado) if it satisfies both of the following conditions:
- It has three or more digits.
- One of its digits equals the sum of all the others.
For example:
- is enrolled, since .
- is enrolled, since .
- is not enrolled, since none of its digits equals the sum of the remaining ones.
- is not enrolled, since it has only two digits (note that equals , so it is not enrolled).
a) What is the largest enrolled number formed by distinct non-zero digits?
b) How many three-digit enrolled numbers exist?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Numeri iscritti: una cifra è la somma di tutte le altre cifre
Diciamo che un intero positivo è enrolled (enrollado) se soddisfa entrambe le seguenti condizioni: - Una delle sue cifre e’ la somma di tutte le altre.
Ad esempio: - è iscritto, poiché . - è iscritto, poiché . - non è iscritta, poiché nessuna delle sue cifre è uguale alla somma delle restanti. - non è iscritto, poiché ha solo due cifre (nota che equivale a , quindi non è iscritto).
a) Qual è il più grande numero iscritto formato da distinti numeri non zero?
b) Quanti numeri a tre cifre sono iscritti?
Three coin piles game; last player to split a pile wins all coins
On a table there are three piles of coins: one with , one with , and one with coins. Ana, Beatriz, and Clara decide to dispute these coins as follows: in alphabetical order of their names, each one chooses any pile and divides it into two smaller piles. The player who cannot make a move loses the game (a player cannot move when all piles have exactly coin); the last player to make a move wins all the coins.
a) After Clara’s first turn, how many piles will there be on the table?
b) Who will take all the coins?
Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Invarianti, Backward Abilita: Lettura attenta, Astrazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Gioco di tre pile di monete; l’ultimo giocatore a dividere una pila vince tutte le monete
Su un tavolo ci sono tre pile di monete: una con , una con e una con monete. Ana, Beatriz e Clara decidono di disputare queste monete come segue: in ordine alfabetico dei loro nomi, ognuno sceglie qualsiasi pila e la divide in due pile più piccole. Il giocatore che non può fare una mossa perde la partita (un giocatore non può muoversi quando tutte le pile hanno esattamente moneta); l’ultimo giocatore a fare una mossa vince tutte le monete.
a) Dopo la prima volta di Clara, quante piume ci saranno sul tavolo?
b) Chi prenderà tutte le monete?
Square paper folded at each vertex forms a pinwheel; find gray/white area ratio and overlap area
Paulo has a square sheet of paper with side cm. The front of the sheet is white and the back is gray. He marks the center of the square . To make the fold he cuts along segment , where is the midpoint of a side, and folds the triangular flap so that point meets point (i.e., vertex is folded to meet the center of the fold). He repeats the procedure for each of the other three vertices of the square, completing the pinwheel (cata-vento), as shown in the figure.
a) What is the ratio between the gray area and the white area in the figure?
b) Paulo then took another square sheet , identical to sheet , and assembled another pinwheel. He rotated the pinwheel by and placed it on top of pinwheel so that the figures were superimposed, as shown in the figure below.
What is the total white area of the combined figure?
Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF
La carta quadrata piegata a ciascun vertex forma una ruota di pin; trova il rapporto area grigio/bianco e area sovrapposizione
Paulo ha un foglio quadrato con lato cm. La parte anteriore del foglio è bianca e la parte posteriore è grigio. Segna il centro del quadrato Per realizzare la piega si taglia lungo il segmento , dove è il punto medio di un lato, e si piega il tappo triangolare in modo che il punto incontra il punto (cioè il vertice si piega per incontra il centro della piega). Egli ripete la procedura per ciascuno degli altri tre vertici del quadrato, completando la ruota di pinna (cata-vento), come mostrato nella figura.
a) Qual è il rapporto tra la zona grigia e la zona bianca nella figura?
b) Paulo ha poi preso un altro foglio quadrato , identico al foglio , e ha montato un altro pinwheel. Ha ruotato la ruota per e la ha collocata sopra la ruota in modo che le cifre fossero sovrapposte, come mostrato nella figura di seguito.
Qual è l’area bianca totale della figura combinata?
Sequence by concatenating consecutive integers; units digit of 10th term and first appearance of 2013
Consider the sequence , built with the digits used to write the positive integers starting from . The first term is the first positive integer written; the second term is formed by the digits of the next two consecutive integers; the third term is formed by the digits of the following three consecutive integers; and so on, each subsequent term using one more integer than the previous.
a) What is the units digit of the tenth term of this sequence? Do not forget to justify your answer.
b) In which term of this sequence does the string of digits appear for the first time (in order)? For example, the string appears for the first time in the fifth term, .
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Sequenza mediante concatenamento di numeri interi consecutivi; cifra unitaria del decimo termine e prima comparsa del 2013
Considera la sequenza , costruita con i numeri utilizzati per scrivere i numeri interi positivi a partire da . Il primo termine è il primo intero positivo scritto; il secondo termine è formato dalle cifre dei due numeri interi consecutivi successivi; il terzo termine è formato dalle cifre dei tre numeri interi consecutivi successivi; e così via, ogni termine successivo utilizza un numero intero in più rispetto al precedente.
a) Qual è il numero di unità del decimo termine di questa sequenza? Non dimenticate di giustificare la vostra risposta.
b) In quale termine di questa sequenza appare per la prima volta la stringa di numeri (in ordine)? Per esempio, la stringa appare per la prima volta nel quinto termine, .
Fill 3x3 grid with distinct positive integers so any two adjacent numbers divide each other
We wish to fill a table with distinct positive integers such that any two numbers sharing a side satisfy: one is divisible by the other (i.e., for any two adjacent entries and , either or ).
Consider the following configuration that satisfies the problem’s conditions, where the largest number in the table is :
a) Present a way to fill the table so that the largest number that appears is .
b) What is the smallest positive integer that can be the largest number appearing in the table?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Riempire la griglia 3x3 con numeri interi positivi distinti in modo che due numeri adiacenti si dividano tra loro
Desideriamo riempire una tabella con numeri interi positivi distinti in modo tale che due numeri che condividono un lato soddisfino: uno è divisibile dall’altro (cioè, per due voci adiacenti e , sia o ).
Considera la seguente configurazione che soddisfa le condizioni del problema, in cui il numero più grande nella tabella è :
a) Presentare un modo per riempire la tabella in modo che il numero più grande che appare sia .
b) Qual è il numero intero positivo più piccolo che può essere il numero più grande che appare nella tabella?