Olimpíada Brasileira de Matemática 2013 — Nível 2 — Fase 1

Computer price after 5% discount then 5% increase

Joana wants to buy a computer today for 2000 reais and would get a 5% discount. If she waits until tomorrow, the computer’s price will increase by 5%. If she waits, what will happen?

(A) Nothing; she will pay the same amount. (B) She will lose 100 reais. (C) She will gain 105 reais. (D) She will lose 95 reais. (E) She will lose 105 reais.

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

Prezzo del computer dopo sconto del 5% e poi aumento del 5%

Joana vuole comprare un computer oggi per 2000 reais e riceverebbe uno sconto del 5%. Se aspetta fino a domani, il prezzo del computer aumenterà del 5%. Se aspetta, cosa succederà?

(A) Niente; pagherà lo stesso importo. (B) Perderà 100 reais. (C) Guadagna 105 reais. (D) Perderà 95 reais. (E) Perderà 105 reais.

Risposta: D src_obm_2013_n2_f1__Q01

Minimum blocks to complete a rectangular parallelepiped

Esmeralda is building a rectangular parallelepiped using identical smaller blocks. To complete her task, how many blocks at minimum must Esmeralda still place?

(A) 12 \quad (B) 14 \quad (C) 16 \quad (D) 18 \quad (E) 20

Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

Minimum di blocchi per completare un parallelepiped rectangulare

Esmeralda sta costruendo un parallelepiped rettangolare usando blocchi più piccoli identici. Per completare il suo compito, quanti blocchi almeno deve ancora mettere Esmeralda?

(A) 12 \quad (B) 14 \quad (C) 16 \quad (D) 18 \quad (E) 20

Risposta: B src_obm_2013_n2_f1__Q02

Ways to cover a 24-square grid with 4-square L-pieces

Luisa has six identical pieces each formed by four unit squares of area 1. She wants to fit all six pieces into a quadrilateral formed by 24 unit squares of area 1. She has already placed some pieces as shown in the figure. In how many different ways can she finish covering the quadrilateral?

(A) 2 \quad (B) 3 \quad (C) 4 \quad (D) 5 \quad (E) 6

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

I modi per coprire una griglia di 24 quadrati con 4 pezzi L quadrati

Luisa ha sei pezzi identici formati ciascuno da quattro unità quadrate di area 1. Vuole inserire tutti e sei i pezzi in un quadrilaterale formato da 24 unità quadrate di area 1. Ha già posto alcuni pezzi come mostrato nella figura. In quanti modi può finire di coprire il quadrilaterale?

(A) 2 \quad (B) 3 \quad (C) 4 \quad (D) 5 \quad (E) 6

Risposta: B src_obm_2013_n2_f1__Q03

Real area of bedroom from scale 1:45 drawing

The measurements in the figure refer to a scale drawing (scale $1:45$) representing a rectangular bedroom including a bathroom. What is the real area of the bedroom?

(A) $12.15{\text{m}}^2$ \quad (B) $15.5{\text{m}}^2$ \quad (C) $27{\text{m}}^2$ \quad (D) $32{\text{m}}^2$ \quad (E) $60{\text{m}}^2$

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF

L’area reale della camera da letto dal disegno di scala 1:45

Le misure riportate nella figura si riferiscono a un disegno su scala (scala $1:45$) che rappresenta una camera da letto rettangolare, compresa una bagno. Qual è la vera area della camera da letto?

(A) $12.15{\text{m}}^2$ \quad (B) $15.5{\text{m}}^2$ \quad (C) $27{\text{m}}^2$ \quad (D) $32{\text{m}}^2$ \quad (E) $60{\text{m}}^2$

Risposta: A src_obm_2013_n2_f1__Q04

Ant on pentagon perimeter, position after 2013 seconds

In pentagon $ABCDE$, side lengths are $AB=BC=CD=2$ metres and $DE=EA=3$ metres. An ant starts at vertex $A$ and walks at constant speed of one metre per second along the sides, always in the same direction. Where will the ant be after $2013$ seconds?

(A) $A$ \quad (B) $B$ \quad (C) $C$ \quad (D) $D$ \quad (E) $E$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

Ante sul perimetro del pentagono, posizione dopo i secondi 2013

Nel pentagono $ABCDE$, le lunghezze laterali sono $AB=BC=CD=2$ metri e $DE=EA=3$ metri. Una formica parte al vertice $A$ e cammina a velocità costante di un metro al secondo lungo i lati, sempre nella stessa direzione. Dove sarà la formica dopo $2013$ secondi?

(A) $A$ \quad (B) $B$ \quad (C) $C$ \quad (D) $D$ \quad (E) $E$

Risposta: B src_obm_2013_n2_f1__Q05

Incorrect multiples-of-7 count using digit-sum rule below 100

Student $D$ (we use this codename to protect his identity) did not pay attention in class, and when asked to check whether a number is a multiple of 7, he decided to use the digit-sum rule (the rule for 3): he sums all the digits and checks whether the result is a multiple of 7. For example, for 100: $1+0+0=1$, which is not a multiple of 7, so he correctly identifies 100 as not a multiple of 7. This incorrect method will indicate that a number is a multiple of 7 whenever the digit sum is a multiple of 7. How many positive integers less than 100 will this incorrect method \emph{incorrectly} indicate as multiples of 7 (i.e., the method says it is a multiple of 7 but it actually is not)?

(A) 0 \quad (B) 1 \quad (C) 2 \quad (D) 3 \quad (E) 4

Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF

Conteggio incorreto dei moltipli di 7 utilizzando la regola della somma digitali inferiore a 100

Lo studente $D$ (utilizzando questo nome di codice per proteggere la sua identità) non ha prestato attenzione in classe, e quando gli è stato chiesto di verificare se un numero è un moltiplo di 7, ha deciso di utilizzare la regola della somma digitali (la regola per 3): somma tutte le cifre e verifica se il risultato è un moltiplo di 7. Ad esempio, per 100: $1+0+0=1$, che non è un multiple di 7, quindi identifica correttamente 100 come non un multiple di 7. Questo metodo scorretto indica che un numero è un multiple di 7 ogni volta che la somma digitali è un multiple di 7. Quanti numeri interi positivi inferiori a 100 indicheranno questo metodo errato come multipli di 7 (cioè, il metodo dice che è un multiple di 7 ma in realtà non lo è)?

(A) 0 \quad (B) 1 \quad (C) 2 \quad (D) 3 \quad (E) 4

Risposta: C src_obm_2013_n2_f1__Q06

Divisibility-by-7 trick: count multiples via doubling last digit; find concatenated number

Dalvenibon (another alias of student $D$) found a friend to teach him a trick to check divisibility by 7: erase the units digit of the number and subtract twice that digit from the remaining number. For example, for 1001: remove the last digit 1, and compute $100-2\cdot 1=98$, which is a multiple of 7. Repeating, $9-2\cdot 8=9-16=-7$, a multiple of 7. This confirms 1001 is a multiple of 7. Similarly 98: $9-2\cdot 8=-7$, a multiple of 7. Using this method to list all positive multiples of 7 less than 100 in increasing order and concatenating them, what is the resulting number?

(A) 102112 \quad (B) 270280 \quad (C) 833823 \quad (D) 929925 \quad (E) 923823

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF

Tricco di divisibilità per 7: contare i moltipli attraverso il raddoppio dell’ultima cifra; trovare il numero concatenato

Dalvenibon (un altro alias di studente $D$) ha trovato un amico per insegnargli un trucco per controllare la divisibilità per 7: cancellare la cifra di unità del numero e sottrarre due volte quella cifra dal numero rimanente. Per esempio, per 1001: rimuovere l’ultimo numero 1, e calcolare $100-2\cdot 1=98$, che è un multiple di 7. Ripetizione, $9-2\cdot 8=9-16=-7$, multiplo di 7. Questo conferma che 1001 è un multiple di 7. Allo stesso modo 98: $9-2\cdot 8=-7$, un multiple di 7. Usando questo metodo per elencare tutti i multipli positivi di 7 meno di 100 in ordine crescente e concatenandoli, qual è il numero risultante?

(A) 102112 \quad (B) 270280 \quad (C) 833823 \quad (D) 929925 \quad (E) 923823

Risposta: E src_obm_2013_n2_f1__Q07

Count natural numbers 1-9 divisible by 5 not 9, or 9 not 5; max also divisible by 7

Among the natural numbers from 1 to 9, how many are divisible by 5 but not by 9, or divisible by 9 but not by 5? What is the maximum number of natural numbers up to some bound that are divisible by 5 but not 9 (or vice versa) and at the same time divisible by 7? At most how many of the numbers in the range are divisible by 7?

(A) 4 \quad (B) 5 \quad (C) 6 \quad (D) 7 \quad (E) 8

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF

Contare i numeri naturali 1-9 divisibili per 5 non 9, o 9 non 5; massimo anche divisibili per 7

Tra i numeri naturali da 1 a 9, quanti sono divisibili da 5 ma non da 9, o divisibili da 9 ma non da 5? Qual è il numero massimo di numeri naturali fino a qualche limite che sono divisibili per 5 ma non per 9 (o viceversa) e allo stesso tempo divisibili per 7? Al massimo quanti dei numeri nell’intervallo sono divisibili per 7?

(A) 4 \quad (B) 5 \quad (C) 6 \quad (D) 7 \quad (E) 8

Risposta: A src_obm_2013_n2_f1__Q08

Three-door problem: deduce which door hides the car from porter statements

Program $O$ became famous in the United States. The original program: a participant chooses one of three doors; behind one there is a car, behind the others goats. The host (who knows where the car is) opens one of the unchosen doors revealing a goat. In the new version of the program, each of the three doors has a porter who makes a statement. The participant then chooses a door. The three porters state:

• Porter 1: The car is not behind my door.
• Porter 2: The car is behind my door.
• Porter 3: The car is behind my door.

It is known that at least one statement is true and at least one is false. Behind which door is the car?

(A) Door 1 \quad (B) Door 2 \quad (C) Door 3 \quad (D) It is not possible to determine. \quad (E) It is not possible in any of them.

Topic: Logica Metodo: Casework, Backward Abilita: Lettura attenta, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF

Problema a tre porte: dedurre quale porta nasconde l’auto dalle dichiarazioni dei portieri

Il programma $O$ divenne famoso negli Stati Uniti. Il programma originale: un partecipante sceglie una delle tre porte; dietro una c’è un’auto, dietro le altre capre. L’ospite (che sa dove si trova l’auto) apre una delle porte non scelte che rivela una capra. Nella nuova versione del programma, ciascuna delle tre porte ha un portiere che fa una dichiarazione. Il partecipante sceglie poi una porta. I tre portatori affermano:

• L’auto non e’ dietro la mia porta. - L’auto e’ dietro la mia porta. - Porter 3: l’auto e’ dietro la mia porta.

È noto che almeno una affermazione è vera e almeno una falsa. Di dietro a quale porta c’è l’auto?

(A) Porta 1 \quad (B) Porta 2 \quad (C) Porta 3 \quad (D) Non è possibile determinare. Non è possibile in nessuna di esse.

Risposta: A src_obm_2013_n2_f1__Q09

Triangle of consecutive odd numbers: which row contains 2013?

The arithmetic triangle of Fibonacci is formed by placing all positive odd integers, starting from 1, row by row, with each row containing one more element than the previous. The first four rows are:

$\text{Row 1: }1$ $\text{Row 2: }35$ $\text{Row 3: }7911$ $\text{Row 4: }13151719$

In which row does the number $2013$ appear?

(A) 45 \quad (B) 46 \quad (C) 62 \quad (D) 63 \quad (E) 64

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Ricorsione, Telescoping Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF

Triangolo di numeri dispari consecutivi: quale riga contiene 2013?

Il triangolo aritmetico di Fibonacci si forma posizionando tutti i numeri integri odd positivi, a partire da 1, riga per riga, con ogni riga contenente un elemento in più rispetto al precedente. Le prime quattro righe sono:

$\text{Row 1: }1$ $\text{Row 2: }35$ $\text{Row 3: }7911$ $\text{Row 4: }13151719$

In quale riga appare il numero $2013$?

(A) 45 \quad (B) 46 \quad (C) 62 \quad (D) 63 \quad (E) 64

Risposta: D src_obm_2013_n2_f1__Q10

Right triangle, midpoint D of AC, BD=3DC, find hypotenuse

Let $ABC$ be a right triangle with right angle at $A$. Let $D$ be the midpoint of $AC$. Given that $BD=3DC$ and $AC=2$, find the length of the hypotenuse of triangle $ABC$.

(A) $\sqrt{7}$ \quad (B) $2\sqrt{2}$ \quad (C) $3$ \quad (D) $\sqrt{10}$ \quad (E) $2\sqrt{3}$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF

Triangolo retto, punto medio D di AC, BD=3DC, trovare ipotenusa

$ABC$ sia un triangolo rettangolo con angolo rettangolo a $A$. $D$ sia il punto medio di $AC$. Dato che $BD=3DC$ e $AC=2$, trovare la lunghezza dell’ipotenuza del triangolo $ABC$.

(A) $\sqrt{7}$ \quad (B) $2\sqrt{2}$ \quad (C) $3$ \quad (D) $\sqrt{10}$ \quad (E) $2\sqrt{3}$

Risposta: D src_obm_2013_n2_f1__Q11

Friends travelling along roads: day all stop at city 6

A country has 11 cities connected by unique roads. Eleven friends decide to travel, each departing from a different city. Each day they travel exactly one road. The table below shows from which city each friend departs and to which city they arrive.

\begin{array}{c|ccccccccccc} \text{Departing from} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \ \hline \text{Arriving at} & 6 & 9 & 1 & 2 & 3 & 4 & 4 & 1 & 1 & 8 & 5 \end{array}

After a friend reaches city 6, he stops travelling. On how many days will all friends have stopped travelling?

(A) 2 \quad (B) 3 \quad (C) 6 \quad (D) 9 \quad (E) 12

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Grafi, Casework Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

Amici che viaggiano lungo le strade: ogni giorno si fermano alla città 6

Un paese ha 11 città collegate da strade uniche. Undici amici decidono di viaggiare, ognuno partendo da una città diversa. Ogni giorno viaggiano esattamente su una strada. La tabella qui sotto mostra da quale città ogni amico parte e a quale città arriva.

Partendo da} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \ \hline \text{arrivo a} & 6 & 9 & 1 & 2 & 3 & 4 & 1 & 1 & 8 & 5 \end{array}

Quando un amico arriva alla città 6, smette di viaggiare. In quanti giorni tutti gli amici smetteranno di viaggiare?

(A) 2 \quad (B) 3 \quad (C) 6 \quad (D) 9 \quad (E) 12

Risposta: B src_obm_2013_n2_f1__Q12

Largest quantity of chocolates not exactly purchasable from boxes of 8,9,10

In a chocolate shop there are boxes of 8, 9, and 10 chocolates. Note that some quantities cannot be purchased exactly; for example, 12 chocolates cannot be bought exactly. What is the largest quantity of chocolates that \emph{cannot} be purchased exactly at this shop?

(A) 25 \quad (B) 13 \quad (C) 11 \quad (D) 31 \quad (E) 53

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

*La maggior quantità di cioccolatini non esattamente acquistabili da scatole di 8,9,10 *

In un negozio di cioccolato ci sono scatole di cioccolati 8, 9 e 10. Si noti che non si possono acquistare esattamente alcune quantità; ad esempio, non si possono acquistare esattamente 12 cioccolatini. Qual è la maggior quantità di cioccolati che non si possono acquistare esattamente in questo negozio?

(A) 25 \quad (B) 13 \quad (C) 11 \quad (D) 31 \quad (E) 53

Risposta: D src_obm_2013_n2_f1__Q13

Count integers up to 100 that are perfect powers a^b with b>1

A \emph{perfect power} is a positive integer of the form $a^b$, where $a$ and $b$ are positive integers with $b>1$. For how many positive integers less than or equal to 100 is the number a perfect power that exceeds a perfect square? In other words, for how many positive integers $n\le 100$ does there exist an integer $a$ and $b>1$ such that $n=a^b$?

(A) 64 \quad (B) 72 \quad (C) 81 \quad (D) 90 \quad (E) 96

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Conteggio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF

Contare interi fino a 100 che sono potenze perfette a^b con b>1

Un \emph{potenza perfetta} è un intero positivo della forma $a^b$, dove $a$ e $b$ sono interi positivi con $b>1$. Per quanti numeri interi positivi inferiori o uguali a 100 il numero è una potenza perfetta che supera un quadrato perfetto? In altre parole, per quanti integri positivi $n\le 100$ esiste un intero $a$ e $b>1$ tale che $n=a^b$?

(A) 64 \quad (B) 72 \quad (C) 81 \quad (D) 90 \quad (E) 96

Risposta: C src_obm_2013_n2_f1__Q14

Hero and villain: find angle BHA from arc and arrow velocities

In an animated drawing, a villain is at position $V$ and fires an energy beam along the arc of a circle from point $H$ to hit the friend at $A$. The hero is at position $H$ and fires an arrow in a straight line toward $A$. Given that $VA=60\text{m}$, the beam travels at $10\text{m/s}$, and the arrow travels at $15\text{m/s}$, and that the hero fires exactly when the beam is launched so both arrive at $A$ simultaneously, determine the value of angle $\angle BHA$.

(A) $10^{\circ }$ \quad (B) $15^{\circ }$ \quad (C) $30^{\circ }$ \quad (D) $45^{\circ }$ \quad (E) $60^{\circ }$

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF

Eroe e cattivo: trovare angolo BHA da velocità di arco e freccia

In un disegno animato, un cattivo è in posizione $V$ e spara un fascio di energia lungo l’arco di un cerchio dal punto $H$ per colpire l’amico a $A$. L’eroe è in posizione $H$ e spara una freccia in linea retta verso $A$. Dato che $VA=60\text{m}$, il fascio viaggia a $10\text{m/s}$, e la freccia viaggia a $15\text{m/s}$, e che l’eroe spara esattamente quando il fascio viene lanciato in modo che entrambi arrivano a $A$ contemporaneamente, determinare il valore dell’angolo $\angle BHA$.

(A) $10^{\circ }$ \quad (B) $15^{\circ }$ \quad (C) $30^{\circ }$ \quad (D) $45^{\circ }$ \quad (E) $60^{\circ }$

Risposta: C src_obm_2013_n2_f1__Q15

Largest common divisor of all 9-digit pandigital numbers (digits 1-9)

Determine the largest divisor common to \emph{all} 9-digit numbers formed by using each of the digits $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ exactly once.

(A) 3 \quad (B) 9 \quad (C) 18 \quad (D) 27 \quad (E) 123456789

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

*Il più grande divisore comune di tutti i numeri a 9 cifre (cifre 1-9) *

Determina il più grande divisore comune a tutti i numeri a 9 cifre formati utilizzando ciascuno dei numeri $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ esattamente una volta.

(A) 3 \quad (B) 9 \quad (C) 18 \quad (D) 27 \quad (E) 123456789

Risposta: B src_obm_2013_n2_f1__Q16

Find x+y given x^3+y^3=9 and x^2y+xy

Determine $x+y$, where $x$ and $y$ are real numbers satisfying $x^3+y^3=9\text{and}{x}^{2}y+x{y}^2=6.$

(A) 1 \quad (B) 2 \quad (C) 3 \quad (D) 4 \quad (E) 5

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF

Trova x+y dato x^3+y^3=9 e x^2y+xy

Determinare $x+y$, dove $x$ e $y$ sono numeri reali che soddisfano $x^3+y^3=9\text{and}{x}^{2}y+x{y}^2=6.$

(A) 1 \quad (B) 2 \quad (C) 3 \quad (D) 4 \quad (E) 5

Risposta: C src_obm_2013_n2_f1__Q17

Inscribed pentagon: find angle DAE given BCE=35 and AB perpendicular CD

In the figure, $O$ is the centre of a circle passing through points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ (in order on the circle). Chords $AB$ and $CD$ are perpendicular to each other, and $\angle BCE=35^{\circ }$. Find the value in degrees of angle $\angle DAE$.

(A) $35^{\circ }$ \quad (B) $40^{\circ }$ \quad (C) $45^{\circ }$ \quad (D) $50^{\circ }$ \quad (E) $55^{\circ }$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF

Pentagono inscritto: trovare angolo DAE dato BCE=35 e CD perpendicolare AB

Nella figura, $O$ è il centro di un cerchio che attraversa i punti $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ (in ordine sul cerchio). Gli accordi $AB$ e $CD$ sono perpendicolari l’uno all’altro e $\angle BCE=35^{\circ }$. Trova il valore in gradi di angolo $\angle DAE$.

(A) $35^{\circ }$ \quad (B) $40^{\circ }$ \quad (C) $45^{\circ }$ \quad (D) $50^{\circ }$ \quad (E) $55^{\circ }$

Risposta: E src_obm_2013_n2_f1__Q18

Recursive sequence mod 4 with count of multiples of 4; find 2013th term

Each term of a sequence is defined as the remainder when dividing by 4 the sum of the previous term and the number of multiples of 4 that appear among the sequence terms up to that point. Given that the first term is 0, what is the $2013^{\text{th}}$ term of the sequence?

(A) 0 \quad (B) 1 \quad (C) 2 \quad (D) 3 \quad (E) Impossible to determine.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Ricorsione, Congruenze, Invarianti Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF

Sequenza ricursiva mod 4 con conteggio di moltipli di 4; troverà il termine 2013

Ogni termine di una sequenza è definito come il rimanente quando si divide per 4 la somma del termine precedente e il numero di moltipli di 4 che appaiono tra i termini della sequenza fino a quel punto. Dato che il primo termine è 0, qual è il termine $2013^{\text{th}}$ della sequenza?

(A) 0 \quad (B) 1 \quad (C) 2 \quad (D) 3 \quad (E) Impossibile da determinare.

Risposta: A src_obm_2013_n2_f1__Q19

Count 3-digit numbers that stay valid when calculator rotated 180 degrees

Juquinha likes to play with her calculator. The digits on the calculator appear on a 7-segment display. She defined numbers called \emph{interesting inverted} as numbers that, when the calculator is rotated $180^{\circ }$, still display a valid number (digits 0, 1, 2, 5, 6, 8, 9 remain valid when rotated; note that rotated $0\to 0$, $1\to 1$, $2\to 2$, $5\to 5$, $6\to 9$, $8\to 8$, $9\to 6$). For example, 25 inverted gives 52, which is a valid number. But 3 is not interesting inverted because rotating gives a shape that is not a digit. How many 3-digit interesting inverted numbers are there? (Sequences with a leading zero on the left are not valid numbers.)

(A) 150 \quad (B) 216 \quad (C) 125 \quad (D) 80 \quad (E) 120

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF

Conta i numeri a 3 cifre che restano validi quando la calcolatrice è girata a 180 gradi

A Juquinha piace giocare con la sua calcolatrice. Le cifre della calcolatrice vengono visualizzate su un display a 7 segmenti. Ha definito i numeri chiamati \emph{interessante invertito} come numeri che, quando la calcolatrice è girata $180^{\circ }$, visualizzano ancora un numero valido (le cifre 0, 1, 2, 5, 6, 8, 9 rimangono valide quando ruotate; nota che i numeri rotati $0\to 0$, $1\to 1$, $2\to 2$, $5\to 5$, $6\to 9$, $8\to 8$, $9\to 6$). Ad esempio, 25 invertito dà 52, che è un numero valido. Ma 3 non è interessante invertito perché ruotare dà una forma che non è una cifra. Quanti numeri inversi interessanti a 3 cifre ci sono? (Le sequenze con uno zero a sinistra non sono numeri validi.)

(A) 150 \quad (B) 216 \quad (C) 125 \quad (D) 80 \quad (E) 120

Risposta: A src_obm_2013_n2_f1__Q20

Count 3-digit mirrored numbers on calculator (mirror on right side)

Mariazinha, Juquinha’s sister, also likes to play with the calculator. She created \emph{interesting mirrored} numbers: these are numbers that, when written on the calculator and viewed in a mirror placed to the right of the display, also show a valid number. For example, the digit 5 reflected gives 5, and the digit 2 reflected gives 3 (and vice versa); the digit 4, however, when mirrored gives a strange figure that does not represent a digit. The digits that remain valid when mirrored are 0, 1, 2, 3, 5, 8 (where $0\to 0$, $1\to 1$, $2\to 3$, $3\to 2$, $5\to 5$, $8\to 8$). How many 3-digit interesting mirrored numbers are there? (Sequences with a leading zero are not valid numbers.)

(A) 150 \quad (B) 216 \quad (C) 125 \quad (D) 80 \quad (E) 120

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

*Contare i numeri specchiati a 3 cifre sulla calcolatrice (specchio sul lato destro) *

Anche a Mariazinha, sorella di Juquinha, piace giocare con la calcolatrice. Ha creato numeri specchiati interessanti: sono numeri che, quando scritti sulla calcolatrice e visualizzati in uno specchio posizionato a destra del display, mostrano anche un numero valido. Ad esempio, la cifra 5 riflessa dà 5, e la cifra 2 riflessa dà 3 (e viceversa); la cifra 4, tuttavia, quando è riflessa dà una strana figura che non rappresenta una cifra. Le cifre che rimangono valide quando sono rispecchiate sono 0, 1, 2, 3, 5, 8 (dove $0\to 0$, $1\to 1$, $2\to 3$, $3\to 2$, $5\to 5$, $8\to 8$). Quanti numeri a 3 cifre sono interessanti? (Le sequenze con uno zero di punta non sono numeri validi.)

(A) 150 \quad (B) 216 \quad (C) 125 \quad (D) 80 \quad (E) 120

Risposta: D src_obm_2013_n2_f1__Q21

Find CG in two overlapping rectangles with parallel sides

In the figure, rectangles $ABCD$ and $EFGH$ have parallel sides. Given that $AE=3$, $BF=4$, and $DH=5$, find the measure of $CG$.

(A) 6 \quad (B) $\sqrt{32}$ \quad (C) 7 \quad (D) $\sqrt{40}$ \quad (E) $\sqrt{60}$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF

Trova CG in due rettangoli sovrapposti con lati paralleli

Nella figura, i rettangoli $ABCD$ e $EFGH$ hanno lati paralleli. Poiché $AE=3$, $BF=4$ e $DH=5$, si trova la misura di $CG$.

(A) 6 \quad (B) $\sqrt{32}$ \quad (C) 7 \quad (D) $\sqrt{40}$ \quad (E) $\sqrt{60}$

Risposta: D src_obm_2013_n2_f1__Q22

4-digit numbers using digits 1-4 once each, first two digit sum equals last two

Jo~ao wrote all 4-digit numbers in which each of the digits $1,2,3,4$ appears exactly once. In how many of these numbers is the sum of the first two digits equal to the sum of the last two digits?

(A) 8 \quad (B) 12 \quad (C) 4 \quad (D) 16 \quad (E) 2

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF

numeri a 4 cifre che usano cifre 1-4 una volta ogni volta, la somma delle prime due cifre è uguale alle ultime due

Jo~ao ha scritto tutti i numeri a 4 cifre in cui ciascuno dei numeri $1,2,3,4$ appare esattamente una volta. In quanti di questi numeri la somma delle prime due cifre è uguale alla somma delle ultime due cifre?

(A) 8 \quad (B) 12 \quad (C) 4 \quad (D) 16 \quad (E) 2

Risposta: A src_obm_2013_n2_f1__Q23

Minimum board length to prop a cylinder of radius 1 in a corner

A cylinder of radius $R=1$ must be placed in the corner of a room (the angle between the two walls is $90^{\circ }$). A board of length $L$ is leaned against the wall so that it rests on top of the cylinder and touches both walls, as shown in the figure. What is the minimum length $L$ of the board needed for the two walls to support it?

(A) $2+2\sqrt{2}$ \quad (B) $1+2\sqrt{2}$ \quad (C) $1+\sqrt{2}$ \quad (D) $1+\sqrt{2}$ \quad (E) $2\sqrt{2}$

Topic: Geometria piana, Algebra Metodo: Estremalità, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF

Lunghezza minima della lavagna per sostenere un cilindro di raggio 1 in un angolo

Un cilindro di raggio $R=1$ deve essere posizionato nell’angolo di una stanza (l’angolo tra le due pareti è $90^{\circ }$). Una lavagna di lunghezza $L$ è appoggiata al muro in modo che si appoggi su di esso e tocchi entrambe le pareti, come mostrato nella figura. Qual è la lunghezza minima $L$ della lavagna necessaria per sostenere le due pareti?

(A) $2+2\sqrt{2}$ \quad (B) $1+2\sqrt{2}$ \quad (C) $1+\sqrt{2}$ \quad (D) $1+\sqrt{2}$ \quad (E) $2\sqrt{2}$

Risposta: A src_obm_2013_n2_f1__Q24

Number of digits of 3^1000 closest to which value

Which of the following numbers is closest to the number of digits of $3^{1000}$?

(A) 100 \quad (B) 150 \quad (C) 200 \quad (D) 240 \quad (E) 300

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Estremalità Abilita: Stima, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF

Numero di cifre di 3^1000 più vicine al quale valore

Quale dei seguenti numeri è più vicino al numero di cifre di $3^{1000}$?

(A) 100 \quad (B) 150 \quad (C) 200 \quad (D) 240 \quad (E) 300

Risposta: D src_obm_2013_n2_f1__Q25