Olimpíada Brasileira de Matemática 2013 — Nível 2 — Fase 2

Min integers from {1..18} so 3 consecutive are chosen

Given the set $\{1,2,3,\dots ,18\}$, what is the minimum number of integers we must choose so that among the chosen numbers there are at least 3 consecutive ones?

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Min integri da {1,18} in modo che 3 consecutive siano scelte

Dato l’insieme $\{1,2,3,\dots ,18\}$, qual è il numero minimo di interi che dobbiamo scegliere in modo che tra i numeri scelti ci siano almeno 3 numeri consecutivi?

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Find smallest safe combination satisfying three clues

Abel keeps his savings in a safe. To not forget the safe’s combination, he resolves to store the following clues:

• It is a number greater than $3001$;
• It has $6$ divisors;
• It is a multiple of $5$.

Abel knows his combination is the smallest number satisfying all the clues. What is Abel’s safe combination?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova la combinazione più piccola e sicura che soddisfi tre indizi

Abel tiene i suoi risparmi in una cassaforte. Per non dimenticare la combinazione della cassaforte, decide di memorizzare i seguenti indizi:

• è un numero maggiore di $3001$; - ha divisori $6$; - è un multiple di $5$.

Abel sa che la sua combinazione e’ il numero piu’ piccolo che soddisfi tutti gli indizi. Qual è la combinazione sicura di Abele?

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Count ‘power-hour’ minutes between 00:00 and 02:59

A \textit{hora potência} (power hour) is an hour whose format represents a perfect power of a positive integer with exponent greater than $1$; that is, something in the format $a^b$ where $a$ and $b$ are positive integers and $b>1$. For example, $03:43$ is a power hour because $343=7^3$, but $01:10$ is not a power hour because $110$ is not a perfect power. Also, $02:89$ is not a power hour because there is no time $02:89$. How many power-hour minutes are there from $00:00$ to $02:59$?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conteggiare i minuti “ora di potenza” tra le 00:00 e le 02:59

Una \textit{hora potência} (ora di potenza) è un’ora il cui formato rappresenta una potenza perfetta di un intero positivo con esponente maggiore di $1$; cioè qualcosa nel formato $a^b$ dove $a$ e $b$ sono interi positivi e $b>1$. Ad esempio, $03:43$ è un’ora di potenza perché $343=7^3$, ma $01:10$ non è un’ora di potenza perché $110$ non è una potenza perfetta. Inoltre, $02:89$ non è un’ora di potenza perché non c’è tempo $02:89$. Quanti minuti di orario di potenza ci sono da $00:00$ a $02:59$?

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Chord AM meets diagonal BD at P in circle-inscribed square; find AP

The square $ABCD$ is inscribed in a circle of radius $30$. The chord $AM$ intersects the diagonal $BD$ at point $P$. If $AM=50$, determine the length of segment $AP$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

La corda AM incontra la BD diagonale a P nel quadrato inciso in cerchio; trova AP

Il quadrato $ABCD$ è inserito in un cerchio di raggio $30$. L’accordo $AM$ interseca la diagonale $BD$ al punto $P$. Se $AM=50$, determinare la lunghezza del segmento $AP$.

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Max bishops on 8x8 board with no two attacking each other

A \textit{bispo} (bishop) is a chess piece that can only make diagonal moves; that is, it can move any number of squares diagonally. In the figure below, the possible directions of movement of a bishop from a given square of the board are indicated. We say that two bishops \textit{attack each other} when one of them is in a square that can be reached by the other. What is the maximum number of bishops that can be placed on an $8\times 8$ chessboard such that no two bishops attack each other?

Topic: Combinatoria Metodo: Colorazione, Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Massimi vescovi su una tavola 8x8 senza due che si attaccano

Un \textit{bispo} (vescovo) è un pezzo di scacchi che può fare solo mosse diagonali; cioè può spostare qualsiasi numero di quadrati diagonalmente. Nella figura seguente sono indicate le possibili indicazioni di movimento di un vescovo da un determinato quadrato della lavagna. Diciamo che due vescovi si attaccano quando uno di loro è in una piazza che l’altro può raggiungere. Qual è il numero massimo di vescovi che può essere posto su una scacchiera in modo tale che due vescovi non si attaccino a vicenda?

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Pattern in two-column table: find 10th row and sum on row 21

In the table shown, starting from the second row, the number written in column $X$ is equal to the product of the numbers in the previous row, and the number written in column $Y$ is equal to the quotient of the $X$ value divided by the $Y$ value of the previous row.

\text{Row} & X & Y \\ \hline 1^\circ & & 1 \\ 2^\circ & 2 & 2 \\ 3^\circ & 4 & 1 \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots \end{array}$$ a) What number appears in column $X$ on the tenth row? b) What is the sum of the numbers that appear on row $21$?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Ricorsione, Invarianti, Telescoping Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Modello nella tabella a due colonne: trovare la decima riga e somma nella riga 21

Nella tabella mostrata, a partire dalla seconda riga, il numero scritto nella colonna $X$ è uguale al prodotto dei numeri della riga precedente e il numero scritto nella colonna $Y$ è uguale al quotiente del valore $X$ diviso dal valore $Y$ della riga precedente.

$\begin{array}{ccc}\text{Row}& X& Y\\ 1^{\circ }& & 1\\ 2^{\circ }& 2& 2\\ 3^{\circ }& 4& 1\\ \cdots & \cdots & \cdots \end{array}$

a) Quale numero figura nella colonna $X$ della decima riga?

b) Qual è la somma dei numeri che figurano nella riga $21$?

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Count ordered quadruples of positive integers with product 2013

Determine the number of ordered quadruples of positive integers $(x,y,z,w)$ that satisfy $x\cdot y\cdot z\cdot w=2013.$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Fattorizzazione, Conteggio, Principio dei cassetti Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conteggi quadrupli ordinati di numeri interi positivi con il prodotto 2013

Determinare il numero di quadrupli ordinati di enti interi $(x,y,z,w)$ che soddisfano $x\cdot y\cdot z\cdot w=2013.$

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Min boxes to guarantee opening all 10 padlocks with 2 keys per box

Led, a famous game hero, has a new challenge: to open the dragon’s portal. The portal has $10$ distinct padlocks. To open the portal, Led must have at least one key for each padlock. There are $45$ boxes in the game, and each box contains exactly $2$ distinct keys, with keys in the same box opening the same padlock. Moreover, the $10$ padlocks all have different keys, and there are no two boxes with the same pair of keys. What is the minimum number of boxes that Led must carry in order to guarantee opening the portal?

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti, Estremalità, Casework Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Min scatole per garantire l’apertura di tutte le 10 lucchette con 2 chiavi per scatola

Led, un famoso eroe del gioco, ha una nuova sfida: aprire il portale del drago. Il portale dispone di $10$ lucchetti distinti. Per aprire il portale, Led deve avere almeno una chiave per ogni lucchetto. Ci sono scatole $45$ nel gioco, e ciascuna scatola contiene esattamente $2$ chiavi distinte, con le chiavi nella stessa scatola che aprono lo stesso lucchetto. Inoltre, le serrature $10$ hanno tutte chiavi diverse e non esistono due scatole con la stessa coppia di chiavi. Qual è il numero minimo di scatole che Led deve portare per garantire l’apertura del portale?

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Find largest angle of triangle given midpoint and angle conditions

Let $M$ be the midpoint of segment $AC$ in triangle $ABC$. If $\angle ABM=2\angle BAM$ and $BC=2\cdot BM$, determine the measure of the largest angle of triangle $ABC$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca l’angolo più grande del triangolo dato il punto medio e le condizioni di angolo

$M$ sia il punto medio del segmento $AC$ nel triangolo $ABC$. Se $\angle ABM=2\angle BAM$ e $BC=2\cdot BM$, determinare la misura dell’angolo più grande del triangolo $ABC$.

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