Olimpíada Brasileira de Matemática 2013 — Nível 2 — Fase 3

Pentagon and star graph; count curious 2-element subset associations

Arnaldo draws a regular pentagon $ABCDE$ and then draws a 5-pointed star $MNOPQ$. He then draws the segments $AM$, $BF$, $CN$, $DQ$ and $EO$. In the figure formed, we say that two vertices are neighbours if there exists a segment joining them. Bernaldo notices that it is possible to place all $10$ two-element subsets of $\{1,2,3,4,5\}$ on the $10$ vertices of the figure in such a way that the subsets placed on every two neighbouring vertices are always disjoint. Such an association is called curious, and an example is given below.

a) Give one more example of a curious association.

b) Determine the number of curious associations that exist.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Grafi Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Pentagono e grafico stellare; contare associazioni curiose di sottoinsieme di 2 elementi

Arnaldo disegna un pentagono regolare $ABCDE$ e poi disegna una stella a 5 punte $MNOPQ$. Poi disegna i segmenti $AM$, $BF$, $CN$, $DQ$ e $EO$. Nella figura formata, diciamo che due vertici sono vicinanti se esiste un segmento che li unisce. Bernaldo osserva che è possibile posizionare tutti i $10$ sottoinsiemi di due elementi di $\{1,2,3,4,5\}$ sui vertici $10$ della figura in modo tale che i sottoinsiemi posizionati su ogni due vertici vicini siano sempre disconnessi. Tale associazione è chiamata curious, e un esempio è riportato di seguito.

a) Cita un altro esempio di associazione curiosa.

b) Determina il numero di associazioni curiose che esistono.

src_obm_2013_n2_f3__Q01

Find positive integers n with floor(sqrt(n))=2013; prove perfect square condition

a) Find all positive integers $n$ such that $\lfloor \sqrt{n}\rfloor =2013$.

b) Let $a$ and $b$ be positive integers such that $\lfloor \sqrt{ab}\rfloor =\lfloor \sqrt{a}\rfloor \cdot \lfloor \sqrt{b}\rfloor$. Prove that at least one of the two integers must be a perfect square.

(For any real number $x$, the number $\lfloor x\rfloor$ is defined as the greatest integer less than or equal to $x$.)

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca i numeri interi positivi n con floor(sqrt(n))=2013; prova la condizione quadrata perfetta

a) Trovare tutti gli integri positivi $n$ tali da $\lfloor \sqrt{n}\rfloor =2013$.

b) Che i $a$ e $b$ siano integri positivi tali che $\lfloor \sqrt{ab}\rfloor =\lfloor \sqrt{a}\rfloor \cdot \lfloor \sqrt{b}\rfloor$. Prova che almeno uno dei due numeri interi deve essere un quadrato perfetto.

(Per qualsiasi numero reale $x$, il numero $\lfloor x\rfloor$ è definito come il numero intero più grande inferiore o uguale a $x$.)

src_obm_2013_n2_f3__Q02

Triangle with circumscribed circle; perpendiculars from D to sides; midpoints perpendicular

Let $ABC$ be a triangle. Let $D$ be a point on the circumscribed circle of the triangle, and let $E$ and $F$ be the feet of the perpendiculars from $D$ to $AB$ and $DC$, respectively. Let $M$ be the midpoint of side $BC$. Suppose that $N$ is the midpoint of $EF$. Prove that lines $NA$ and $NM$ are perpendicular.

(Note: Assume that point $N$ is distinct from point $M$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con cerchio circoscritto; perpendicolari da D ai lati; punti medi perpendicolari

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo. Che $D$ sia un punto sul cerchio circoscritto del triangolo, e che $E$ e $F$ siano i piedi delle perpendicolari da $D$ a $AB$ e $DC$, rispettivamente. Il punto medio del lato $BC$ deve essere $M$. Supponiamo che $N$ sia il punto medio di $EF$. Prova che le linee $NA$ e $NM$ sono perpendicolari.

(Nota: supponiamo che il punto $N$ sia distinto dal punto $M$.)

src_obm_2013_n2_f3__Q03

Find two-digit numbers whose quadroid divides them

Given a two-digit number, we call its quadroid the number formed by concatenating the squares of its digits in the same order. For example, the quadroids of $19$, $72$, $65$ and $23$ are $181$, $494$, $3625$ and $49$, respectively. Find all two-digit numbers whose quadroid divides them.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova i numeri a due cifre i cui quadrodi li dividono

Dato un numero a due cifre, lo chiamiamo quadroid il numero formato dalla concatenatura dei quadrati delle sue cifre nello stesso ordine. Ad esempio, i quadriidi di $19$, $72$, $65$ e $23$ sono $181$, $494$, $3625$ e $49$, rispettivamente. Trova tutti i numeri a due cifre i cui quadroid li divide.

src_obm_2013_n2_f3__Q04

Scalene triangle, median AM, circle of diameter AM meets AB and AC; find angle BAC

Let $ABC$ be a scalene triangle and $AM$ the median relative to side $BC$. The circle with diameter $AM$ intersects the sides $AB$ and $AC$ again at points $P$ and $Q$, respectively, both different from $A$. Suppose that $PQ$ is parallel to $BC$. Determine the measure of angle $\angle BAC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo di scalene, media AM, cerchio di diametro AM incontra AB e AC; angolo di ricerca BAC

Si deve $ABC$ essere un triangolo di scalene e $AM$ la media relativa al lato $BC$. Il cerchio di diametro $AM$ incrocia di nuovo i lati $AB$ e $AC$ rispettivamente nei punti $P$ e $Q$, entrambi diversi da $A$. Supponiamo che $PQ$ sia parallelo a $BC$. Determinare la misura dell’angolo $\angle BAC$.

src_obm_2013_n2_f3__Q05

n semirays from each of A and B; minimum distinct circles through intersection points

Consider a positive integer $n$ and two points $A$ and $B$ in a plane. Starting from point $A$, $n$ semirays are drawn, and starting from point $B$, $n$ semirays are drawn, in such a way that all of them lie in the half-plane defined by line $AB$, and that all angles formed by the $2n$ semirays with segment $AB$ are acute. Define circles passing through $A$, $B$ and through each intersection point between a semiray from $A$ and a semiray from $B$. What is the minimum number of distinct circles that can be defined by this construction?

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Astrazione, Modellizzazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

n semiraie da ciascuna di A e B; cerchi distinti minimi attraverso i punti di intersezione

Considera un intero positivo $n$ e due punti $A$ e $B$ in un piano. A partire dal punto $A$ vengono disegnati semiray $n$ e a partire dal punto $B$ vengono disegnati semiray $n$, in modo tale che tutti si trovino nel semiplano definito dalla linea $AB$ e che tutti gli angoli formati dai semiray $2n$ con segmento $AB$ siano acuti. Definire i cerchi che attraversano $A$, $B$ e attraverso ogni punto di intersezione tra un semiray da $A$ e un semiray da $B$. Qual è il numero minimo di **cerchi ** distinti che possono essere definiti con questa costruzione?

src_obm_2013_n2_f3__Q06