Olimpíada Brasileira de Matemática 2013 — Nível 3 — Fase 1

Next year after 2013 whose digits are again 0,1,2,3 in some order

The digits of this year, 2013, are $0$, $1$, $2$ and $3$, obviously not in that order. From now on, in how many years will the next year occur whose digits are $0$, $1$, $2$ and $3$ again?

(A) $2$ \quad (B) $9$ \quad (C) $18$ \quad (D) $90$ \quad (E) $1800$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF

L’anno successivo dopo il 2013 i cui numeri sono di nuovo 0,1,2,3 in qualche ordine

Le cifre di quest’anno, 2013, sono $0$, $1$, $2$ e $3$, ovviamente non in questo ordine. Da ora in poi, in quanti anni si verificerà l’anno successivo i cui numeri sono $0$, $1$, $2$ e $3$ di nuovo?

(A) $2$ \quad (B) $9$ \quad (C) $18$ \quad (D) $90$ \quad (E) $1800$

Risposta: C src_obm_2013_n3_f1__Q01

Buying a computer today vs after a 5% price rise and a 5% discount

If Joana buys a computer today whose price is $2000$ reais, she will get a discount of $5\%$. If she waits until tomorrow she will get the same discount of $5\%$, but the price of the computer will have increased by $5\%$. So, if she waits, what will happen?

(A) Nothing, since she will pay the same amount. \quad (B) She will lose $100$ reais. \quad (C) She will gain $105$ reais. \quad (D) She will lose $95$ reais. \quad (E) She will lose $105$ reais.

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

Acquisto di un computer oggi rispetto a dopo un aumento del prezzo del 5% e uno sconto del 5%

Se Joana acquista oggi un computer il cui prezzo è $2000$ reais, riceverà uno sconto di $5\%$. Se aspetta fino a domani riceverà lo stesso sconto di $5\%$, ma il prezzo del computer sarà aumentato di $5\%$. Quindi, se aspetta, cosa succederà?

(A) Niente, visto che pagherà la stessa somma. Quad (B) Perderà reais. \quad (C) Otterrà $105$ reais. Quad (D) Perderà i reais. Quad (E) Perderà $105$ reais.

Risposta: D src_obm_2013_n3_f1__Q02

Faulty divisibility-by-7 rule (digit sum): how often correct for multiples of 7 under 100

Student $D$ (we use this codename to protect the student’s identity) did not pay attention in class and did not learn how to check, without performing the division, whether a number is a multiple of $7$ or not. So, $D$ decided to use the following rule: he sums the digits and checks whether the result is a multiple of $7$. For how many positive integers less than $100$ will this incorrect method indicate that a number is a multiple of $7$, the number actually being a multiple of $7$?

(A) $0$ \quad (B) $1$ \quad (C) $2$ \quad (D) $3$ \quad (E) $4$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Regola di divisibilità errata per 7 (somma a numeri): frequenza corretta per i moltipli di 7 sotto 100

Lo studente $D$ (utilizzando questo nome di codice per proteggere l’identità dello studente) non ha prestato attenzione in classe e non ha imparato a controllare, senza eseguire la divisione, se un numero è un multiple di $7$ o meno. Quindi, $D$ ha deciso di usare la seguente regola: somma le cifre e verifica se il risultato è un multiple di $7$. Per quanti numeri interi positivi inferiori a $100$ questo metodo errato indicherà che un numero è un multiple di $7$, mentre il numero è effettivamente un multiple di $7$?

(A) $0$ \quad (B) $1$ \quad (C) $2$ \quad (D) $3$ \quad (E) $4$

src_obm_2013_n3_f1__Q03

Among 1..n with given counts of multiples of 5 and 6, max multiples of 7

Among the natural numbers from $1$ to $n$, at least $11$ are divisible by $5$ and at most $9$ are divisible by $6$. At most, how many of these numbers are divisible by $7$?

(A) $4$ \quad (B) $5$ \quad (C) $6$ \quad (D) $7$ \quad (E) $8$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Tra 1..n con un dato conteggio di multipli di 5 e 6, multipli massimi di 7

Tra i numeri naturali da $1$ a $n$, almeno $11$ sono divisibili da $5$ e al massimo $9$ sono divisibili da $6$. Al massimo, quanti di questi numeri sono divisibili per $7$?

(A) $4$ \quad (B) $5$ \quad (C) $6$ \quad (D) $7$ \quad (E) $8$

src_obm_2013_n3_f1__Q04

Boustrophedon column filling of 1..2013; column 2 holds 50, column 4 holds 100, find column of 1000

Joana completely fills a rectangular grid by writing the numbers from $1$ to $2013$, one number in each cell. She starts in the first column and fills it from top to bottom; then she fills the second column from bottom to top, and continues this way, filling the third column from top to bottom, the fourth, etc., until reaching the last column and ending in the bottom-right corner. The number $50$ is in the second column and the number $100$ is in the fourth column. In which column is the number $1000$ written?

(A) $23$ \quad (B) $31$ \quad (C) $33$ \quad (D) $39$ \quad (E) $61$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Inserimento di colonna di boustropedone del 1..2013; colonna 2 contiene 50, colonna 4 contiene 100, trova colonna di 1000

Joana riempie completamente una griglia rettangolare scrivendo i numeri da $1$ a $2013$, un numero in ogni cella. Comincia nella prima colonna e la riempie dall’alto verso il basso; poi riempie la seconda colonna da basso verso l’alto, e continua in questa direzione, riempendo la terza colonna dall’alto verso il basso, la quarta, ecc., fino a raggiungere l’ultima colonna e finire nell’angolo inferiore-destra. Il numero $50$ è nella seconda colonna e il numero $100$ è nella quarta colonna. In quale colonna è scritto il numero $1000$?

(A) $23$ \quad (B) $31$ \quad (C) $33$ \quad (D) $39$ \quad (E) $61$

src_obm_2013_n3_f1__Q05

Value of (a+b)^2/(ab) given (a+2b)/b = (a+b)/a

Let $a,b$ be positive reals such that $\frac{a+2b}{b}=\frac{a+b}{a}$. The value of $\frac{(a+b{)}^2}{ab}$ is:

(A) $4$ \quad (B) $3+\sqrt{3}$ \quad (C) $2+2\sqrt{2}$ \quad (D) $2+\sqrt{5}$ \quad (E) $5$

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF

Valuta di (a+b)^2/(ab) data (a+2b)/b = (a+b)/a

Che $a,b$ siano valori reali positivi tali che $\frac{a+2b}{b}=\frac{a+b}{a}$. Il valore di $\frac{(a+b{)}^2}{ab}$ è:

(A) $4$ \quad (B) $3+\sqrt{3}$ \quad (C) $2+2\sqrt{2}$ \quad (D) $2+\sqrt{5}$ \quad (E) $5$

Risposta: E src_obm_2013_n3_f1__Q06

Right triangle at A; D midpoint of AC; BD=3DC, AC=2; find hypotenuse

Let $ABC$ be a triangle right-angled at $A$. Let $D$ be the midpoint of $AC$. Knowing that $BD=3DC$ and that $AC=2$, the hypotenuse of triangle $ABC$ is:

(A) $\sqrt{7}$ \quad (B) $2\sqrt{2}$ \quad (C) $3$ \quad (D) $\sqrt{10}$ \quad (E) $2\sqrt{3}$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF

Triangolo retto a A; D punto medio di AC; BD=3DC, AC=2; ritrovare l’ipotenusa

$ABC$ sia un triangolo angolato a destra a $A$. $D$ sia il punto medio di $AC$. Sapendo che $BD=3DC$ e che $AC=2$, l’ipotenusa del triangolo $ABC$ è:

(A) $\sqrt{7}$ \quad (B) $2\sqrt{2}$ \quad (C) $3$ \quad (D) $\sqrt{10}$ \quad (E) $2\sqrt{3}$

Risposta: D src_obm_2013_n3_f1__Q07

Triangle of odd integers in rows of increasing length; which row contains 2013

The arithmetic triangle of Fibonacci is formed by the odd positive integers, arranged in rows of increasing length and jumping to the next row, starting from $1$. Row $n$ has exactly $n$ numbers. Look at the first four rows:

Row 1: $1$ Row 2: $35$ Row 3: $7911$ Row 4: $13151719$

In which row will $2013$ appear?

(A) $45$ \quad (B) $46$ \quad (C) $62$ \quad (D) $63$ \quad (E) $64$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF

Triangolo di numeri interi dispari in righe di lunghezza crescente; che riga contiene 2013

Il triangolo aritmetico di Fibonacci è formato dai numeri interi positivi dispari, disposti in righe di lunghezza crescente e saltando alla riga successiva, a partire da $1$. La riga $n$ ha esattamente i numeri $n$. Guarda le prime quattro righe:

Righe 1: $1$ Righe 2: $35$ Righe 3: $7911$ Righe 4: $13151719$

In quale riga apparirà $2013$?

(A) $45$ \quad (B) $46$ \quad (C) $62$ \quad (D) $63$ \quad (E) $64$

Risposta: A src_obm_2013_n3_f1__Q08

Number of ways to choose three pairwise-skew edges of a cube

We say that two lines or line segments are \emph{skew} (reversas) when there is no plane that contains both lines or segments. In how many ways can we choose three edges of a cube so that any two of these edges are skew?

(A) $6$ \quad (B) $8$ \quad (C) $12$ \quad (D) $24$ \quad (E) $36$

Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

Numero di modi per scegliere tre bordi di sciacquatura in coppia di un cubo

Diciamo che due linee o segmenti di linee sono \emph{skew} (inverse) quando non c’è piano che contiene entrambe le linee o segmenti. In quanti modi possiamo scegliere tre bordi di un cubo in modo che due di questi bordi siano pregiudicati?

(A) $6$ \quad (B) $8$ \quad (C) $12$ \quad (D) $24$ \quad (E) $36$

Risposta: B src_obm_2013_n3_f1__Q09

Find x+y given x^3+y^3=9 and x^2 y + x y^2 = 6

Determine $x+y$, where $x$ and $y$ are reals, knowing that $x^3+y^3=9$ and $x^{2}y+x{y}^2=6$.

(A) $1$ \quad (B) $2$ \quad (C) $3$ \quad (D) $4$ \quad (E) $5$

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF

Ricerca x+y dato x^3+y^3=9 e x^2y + x y^2 = 6

Determinare $x+y$, dove $x$ e $y$ sono reali, sapendo che $x^3+y^3=9$ e $x^{2}y+x{y}^2=6$.

(A) $1$ \quad (B) $2$ \quad (C) $3$ \quad (D) $4$ \quad (E) $5$

Risposta: C src_obm_2013_n3_f1__Q10

Maximum number of equilateral triangles among five coplanar points

Consider five points in the plane. What is the maximum quantity of equilateral triangles with vertices among three of these five points?

(A) $2$ \quad (B) $3$ \quad (C) $4$ \quad (D) $5$ \quad (E) $6$

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Numero massimo di triangoli equilaterali tra cinque punti coplanari

Considerate cinque punti dell’aereo. Qual è la quantità massima di triangoli equilaterali con vertici tra tre di questi cinque punti?

(A) $2$ \quad (B) $3$ \quad (C) $4$ \quad (D) $5$ \quad (E) $6$

src_obm_2013_n3_f1__Q11

Circle through A..E, diameter AB perpendicular to chord CD, angle BCE=35; find angle DAE

In the figure below, point $O$ is the center of the circumference passing through points $A$, $B$, $C$, $D$ and $E$. Knowing that the diameter $AB$ and the chord $CD$ are perpendicular and that $\angle BCE=35^{\circ }$, the value, in degrees, of angle $\angle DAE$ is:

(A) $35^{\circ }$ \quad (B) $10^{\circ }$ \quad (C) $20^{\circ }$ \quad (D) $30^{\circ }$ \quad (E) $55^{\circ }$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circolo attraverso A..E, diametro AB perpendicolare al CD dell’accordo, angolo BCE=35; angolo DAE

Nella figura seguente, il punto $O$ è il centro della circonferenza che attraversa i punti $A$, $B$, $C$, $D$ e $E$. Sapendo che il diametro $AB$ e l’accordo $CD$ sono perpendicolari e che $\angle BCE=35^{\circ }$, il valore, in gradi, dell’angolo $\angle DAE$ è:

(A) $35^{\circ }$ \quad (B) $10^{\circ }$ \quad (C) $20^{\circ }$ \quad (D) $30^{\circ }$ \quad (E) $55^{\circ }$

src_obm_2013_n3_f1__Q12

Billiards: minimum speed for Jade’s ball to meet a ball hit at 60 km/h, 30 degrees, balls 50 cm apart

Super Esmeralda and Jade Maravilha are playing billiards. Super Esmeralda makes a shot on a ball with a velocity of $60\text{km/h}$, at an angle of $30^{\circ }$ with one of the cushions, as in the figure. Jade Maravilha must hit Super Esmeralda’s ball with another ball. The two balls leave the table cushion simultaneously, and are at a distance of $50\text{cm}$. Jade Maravilha can choose any angle for her shot. What is the minimum velocity with which Jade Maravilha can make her shot?

(A) $15\text{km/h}$ \quad (B) $30\text{km/h}$ \quad (C) $30\sqrt{2}\text{km/h}$ \quad (D) $30\sqrt{3}\text{km/h}$ \quad (E) $60\text{km/h}$

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF

*Billiard: velocità minima per la palla di Jade per incontrare un colpo di palla a 60 km/h, 30 gradi, palle a 50 cm di distanza *

Super Esmeralda e Jade Maravilha stanno giocando a biliardo. Super Esmeralda fa un colpo su una palla con una velocità di $60\text{km/h}$, ad un angolo di $30^{\circ }$ con uno dei cuscini, come nella figura. Jade Maravilha deve colpire la palla di Super Esmeralda con un’altra palla. Le due palle lasciano contemporaneamente il cuscino del tavolo e sono a una distanza di $50\text{cm}$. Jade Maravilha puo’ scegliere qualsiasi angolo per il suo colpo. Qual e’ la velocità minima con cui Jade Maravilha puo’ farle sparare?

(A) $15\text{km/h}$ \quad (B) $30\text{km/h}$ \quad (C) $30\sqrt{2}\text{km/h}$ \quad (D) $30\sqrt{3}\text{km/h}$ \quad (E) $60\text{km/h}$

Risposta: B src_obm_2013_n3_f1__Q13

Least n so the n-fold composition of f equals identity on S={1..9}

Let $S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$. Consider a function $f:S\to S$ defined by the table below.

$\begin{array}{cccccccccc}x& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ f(x)& 8& 3& 5& 7& 2& 9& 6& 1& 4\end{array}$

What is the smallest positive integer $n$ for which $\underset{n\text{times}}{\underbrace{f(f(\cdots (f(x))\cdots ))}}=x$ for every $x\in S$?

(A) $4$ \quad (B) $5$ \quad (C) $6$ \quad (D) $12$ \quad (E) $24$

Topic: Insiemi e funzioni, Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

Almeno n in modo che la composizione a n volte di f sia uguale all’identità su S={1..9}

Let $S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$. Considera una funzione $f:S\to S$ definita nella tabella seguente.

$\begin{array}{cccccccccc}x& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ f(x)& 8& 3& 5& 7& 2& 9& 6& 1& 4\end{array}$

Qual è il più piccolo intero positivo $n$ per il quale $\underset{n\text{times}}{\underbrace{f(f(\cdots (f(x))\cdots ))}}=x$ per ogni $x\in S$?

(A) $4$ \quad (B) $5$ \quad (C) $6$ \quad (D) $12$ \quad (E) $24$

Risposta: D src_obm_2013_n3_f1__Q14

Probability that f(k), the largest perfect power not exceeding k, is a perfect square

A \emph{perfect power} is an integer of the form $a^b$, where $a$ and $b$ are integers, $b>1$. Let $f(n)$ be the largest perfect power that does not exceed $n$. For example, $f(7)=4$, $f(8)=8$ and $f(99)=81$. Drawing at random an integer $k$ with $1\le k\le 100$, what is the probability that $f(k)$ is a perfect square?

(A) $64\%$ \quad (B) $72\%$ \quad (C) $81\%$ \quad (D) $90\%$ \quad (E) $96\%$

Topic: Teoria dei Numeri, Probabilità Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Probabilità che f ((k), la potenza perfetta più grande non superiore a k, sia un quadrato perfetto

Una \emph{potenza perfetta} è un intero della forma $a^b$, dove $a$ e $b$ sono interi, $b>1$. La potenza $f(n)$ deve essere la potenza perfetta più grande che non superi $n$. Per esempio, $f(7)=4$, $f(8)=8$ e $f(99)=81$. Tracciando casualmente un intero $k$ con $1\le k\le 100$, qual è la probabilità che $f(k)$ sia un quadrato perfetto?

(A) $64\%$ \quad (B) $72\%$ \quad (C) $81\%$ \quad (D) $90\%$ \quad (E) $96\%$

src_obm_2013_n3_f1__Q15

Zigzag chain of equal segments between two lines through A; angle B1AB2=1 degree, max n

In the figure below, $A{B}_1=B_1{B}_2=B_2{B}_3=\cdots =B_{n-1}{B}_n$. The points $B_1,B_3,B_5,\dots$ belong to one straight line and the points $B_2,B_4,B_6,\dots$ belong to another straight line. All points $B_1,B_2,B_3,\dots ,B_n$ are distinct. Knowing that the angle $\angle B_{1}A{B}_2$ measures $1^{\circ }$, what is the largest possible value of $n$?

(A) $6$ \quad (B) $7$ \quad (C) $10$ \quad (D) $90$ \quad (E) $n$ can be arbitrarily large

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Geometria Fonte: apri PDF

Catenata in zigzag di segmenti uguali tra due linee attraverso A; angolo B1AB2=1 grado, massimo n

Nella figura seguente, $A{B}_1=B_1{B}_2=B_2{B}_3=\cdots =B_{n-1}{B}_n$. I punti $B_1,B_3,B_5,\dots$ appartengono ad una linea retta e i punti $B_2,B_4,B_6,\dots$ appartengono ad un’altra linea retta. Tutti i punti $B_1,B_2,B_3,\dots ,B_n$ sono distinti. Sapendo che l’angolo $\angle B_{1}A{B}_2$ misura $1^{\circ }$, quale è il più grande valore possibile di $n$?

(A) $6$ \quad (B) $7$ \quad (C) $10$ \quad (D) $90$ \quad (E) $n$ può essere arbitrariamente grande

src_obm_2013_n3_f1__Q16

Flea race: jumps of m and n cm (m<n) meeting first at 1 m; count pairs (m,n)

In a circus, the main attraction is the \emph{Flea Race}. Two fleas, $P_1$ and $P_2$, perfectly trained, jump along the same straight line, with constant velocities, starting from the same point at the same instant. Each jump of flea $P_1$ measures $m$ centimeters and each jump of flea $P_2$ measures $n$ centimeters, with $m<n$, both integers. However flea $P_1$ is faster than flea $P_2$, so that, independently of the velocity of $P_2$, $P_1$ can always catch up to it after some jumps. Supposing that, after the start, the fleas will be together, for the first time, at the end of $1$ meter, determine the number of possible pairs $(m,n)$.

(A) $12$ \quad (B) $24$ \quad (C) $36$ \quad (D) $48$ \quad (E) $100$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Corsa delle pulci: salti di m e n cm (m<n) che si incontrano per primo a 1 m; conteggio di coppie (m,n) *

In un circo, l’attrazione principale è la corsa alle pulci. Due pulci, $P_1$ e $P_2$, perfettamente addestrate, saltano lungo la stessa linea retta, con velocità costanti, partendo dallo stesso punto nello stesso istante. Ogni salto di pulce $P_1$ misura $m$ centimetri e ogni salto di pulce $P_2$ misura $n$ centimetri, con $m<n$, entrambe enti. Tuttavia la pulce $P_1$ è più veloce della pulce $P_2$, in modo che, indipendentemente dalla velocità di $P_2$, $P_1$ possa sempre raggiungerla dopo alcuni salti. Supponendo che, dopo l’avvio, le pulci si trovino insieme, per la prima volta, alla fine del metro $1$, si determina il numero di possibili coppie $(m,n)$.

(A) $12$ \quad (B) $24$ \quad (C) $36$ \quad (D) $48$ \quad (E) $100$

src_obm_2013_n3_f1__Q17

Distribute 10 white and 8 red balls into 5 equal boxes, each box different number of white balls

In how many ways can we distribute $10$ white balls and $8$ red balls into five equal boxes, in such a way that each box has at least one ball and that each box has a different number of white balls?

(A) $330$ \quad (B) $348$ \quad (C) $512$ \quad (D) $676$ \quad (E) $900$

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Distribuire 10 palle bianche e 8 palle rosse in 5 scatole uguali, ciascuna scatola con un numero diverso di palle bianche

In quanti modi possiamo distribuire le sfere bianche e le sfere rosse in cinque scatole uguali, in modo tale che ogni scatole abbia almeno una sfera e che ogni scatole abbia un numero diverso di sfere bianche?

(A) $330$ \quad (B) $348$ \quad (C) $512$ \quad (D) $676$ \quad (E) $900$

src_obm_2013_n3_f1__Q18

Number closest to the number of digits of 3^400

Which of the following numbers is closest to the number of digits of $3^{400}$?

(A) $100$ \quad (B) $150$ \quad (C) $200$ \quad (D) $240$ \quad (E) $300$

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

Numero più vicino al numero di cifre di 3

Quale dei seguenti numeri è più vicino al numero di cifre di $3^{400}$?

(A) $100$ \quad (B) $150$ \quad (C) $200$ \quad (D) $240$ \quad (E) $300$

Risposta: C src_obm_2013_n3_f1__Q19

Count positive integers k<2013 with integers a,b,c satisfying a^2+b+c=b^2+c+a=c^2+a+b=k

For how many positive integers $k$ less than $2013$ do there exist integers $a$, $b$ and $c$, not necessarily distinct, satisfying $a^2+b+c=b^2+c+a=c^2+a+b=k?$

(A) $43$ \quad (B) $44$ \quad (C) $87$ \quad (D) $88$ \quad (E) $89$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare i numeri interi positivi k<2013 con numeri interi a,b,c che soddisfano a^2+b+c=b^2+c+a=c^2+a+b=k

Per quanti integri positivi $k$ inferiori a $2013$ esistono integri $a$, $b$ e $c$, non necessariamente distinti, che soddisfano $a^2+b+c=b^2+c+a=c^2+a+b=k?$

(A) $43$ \quad (B) $44$ \quad (C) $87$ \quad (D) $88$ \quad (E) $89$

src_obm_2013_n3_f1__Q20

Trapezoid ABCD, AB||CD, angle BAD=82, ABC=74, P on CD with AD+DP=PC+CB=AB; find angle APB

In trapezoid $ABCD$, with $AB$ parallel to $CD$, the angle $\angle BAD$ measures $82^{\circ }$ and the angle $\angle ABC$ measures $74^{\circ }$. Suppose there exists a point $P$ on side $CD$ such that $AD+DP=PC+CB=AB$. How much does angle $\angle APB$ measure?

(A) $76^{\circ }$ \quad (B) $77^{\circ }$ \quad (C) $78^{\circ }$ \quad (D) $79^{\circ }$ \quad (E) $80^{\circ }$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

• Trapezoide ABCD, AB di direzione BAD=74, angolo B82, ABC=P su CD con AD+DP=PC+CB=AB; trovare angolo APB*

Nel trapezoide $ABCD$, con $AB$ parallelo a $CD$, l’angolo $\angle BAD$ misura $82^{\circ }$ e l’angolo $\angle ABC$ misura $74^{\circ }$. Supponiamo che esista un punto $P$ sul lato $CD$ tale che $AD+DP=PC+CB=AB$. Quanto misura l’angolo $\angle APB$?

(A) $76^{\circ }$ \quad (B) $77^{\circ }$ \quad (C) $78^{\circ }$ \quad (D) $79^{\circ }$ \quad (E) $80^{\circ }$

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Count 4-digit numbers with distinct digits avoiding 1 in units, 2 in tens, 3 in hundreds, 4 in thousands

How many four-digit numbers with distinct digits do not have $1$ in the units, nor $2$ in the tens, nor $3$ in the hundreds, nor $4$ in the thousands?

(A) Fewer than $1000$ \quad (B) More than $1000$ and fewer than $2000$ \quad (C) More than $2000$ and fewer than $3000$ \quad (D) More than $3000$ and fewer than $4000$ \quad (E) More than $4000$

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Inclusione-esclusione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conta i numeri a 4 cifre con cifre distinte evitando 1 in unità, 2 in decine, 3 in centinaia, 4 in migliaia

Quanti numeri a quattro cifre con cifre distinte non hanno $1$ nelle unità, né $2$ nelle decine, né $3$ nelle centinaia, né $4$ nelle migliaia?

(A) Meno di $1000$ \quad (B) Più di $1000$ e meno di $2000$ \quad (C) Più di $2000$ e meno di $3000$ \quad (D) Più di $3000$ e meno di $4000$ \quad (E) Più di $4000$

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Find y where x,y positive integers and x(x+2+4+6+…+4024)=2013^y

If $x$ and $y$ are positive integers such that $x(x+2+4+6+\cdots +4024)=2013^y$, what is the value of $y$?

(A) $1$ \quad (B) $2$ \quad (C) $3$ \quad (D) $4$ \quad (E) $5$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

Trova y dove x,y sono interi positivi e x(x+2+4+6+…+4024)=2013^y

Se $x$ e $y$ sono integri positivi come $x(x+2+4+6+\cdots +4024)=2013^y$, qual è il valore di $y$?

(A) $1$ \quad (B) $2$ \quad (C) $3$ \quad (D) $4$ \quad (E) $5$

Risposta: C src_obm_2013_n3_f1__Q23

Max real solutions of p(x)=k for an even polynomial with non-negative coefficients

A polynomial $p(x)$ is even when $p(-x)=p(x)$ for all real $x$. What is the maximum number of real solutions of the equation $p(x)=k$, where $p$ is a non-constant even polynomial with non-negative coefficients and $k$ is a fixed real?

(A) $0$ \quad (B) $1$ \quad (C) $2$ \quad (D) $4$ \quad (E) $n$, where $n$ is the degree of $p(x)$

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Simmetria Abilita: Astrazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF

Maxime soluzioni reali di p(x)=k per un polinomio pari con coefficienti non negativi

Un polinomio $p(x)$ è anche quando $p(-x)=p(x)$ per tutti i $x$ reali. Qual è il numero massimo di soluzioni reali dell’equazione $p(x)=k$, dove $p$ è un polinomio pari non costante con coefficienti non negativi e $k$ è un reale fisso?

(A) $0$ \quad (B) $1$ \quad (C) $2$ \quad (D) $4$ \quad (E) $n$, dove $n$ è il grado di $p(x)$

Risposta: C src_obm_2013_n3_f1__Q24

Volume of the cube formed by eight vertices of a regular dodecahedron of edge 1

Eight of the vertices of a regular dodecahedron of edge $1$ are vertices of a cube. What is the volume of this cube?

(A) $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ \quad (B) $\sqrt{5}$ \quad (C) $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ \quad (D) $1+\sqrt{5}$ \quad (E) $2+\sqrt{5}$

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF

Volume del cubo formato da otto vertici di un dodedeedro regolare di bordo 1

Otto dei vertici di un dodedeedro regolare di bordo $1$ sono vertici di un cubo. Qual è il volume di questo cubo?

(A) $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ \quad (B) $\sqrt{5}$ \quad (C) $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ \quad (D) $1+\sqrt{5}$ \quad (E) $2+\sqrt{5}$

Risposta: E src_obm_2013_n3_f1__Q25