Olimpíada Brasileira de Matemática 2013 — Nível 3 — Fase 2

Rectangle with integer sides whose perimeter equals area numerically; find n

A rectangle that is not a square has sides with integer lengths, measured in centimetres. If its perimeter is $c$ centimetres and its area is $c$ square centimetres, determine $n$, the number of such rectangles.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Rettangolo con lati interi il cui perimetro è numericamente uguale all’area; trovare n

Un rettangolo che non è quadrato ha lati con lunghezze interi, misurate in centimetri. Se il suo perimetro è $c$ centimetri e la sua superficie è $c$ centimetri quadrati, determinare $n$ il numero di tali rettangoli.

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Maximum non-attacking bishops on 8x8 chessboard

A bishop is a chess piece that can move diagonally any number of squares in any direction. In the figure below, the possible directions of movement of the bishop from a given square of the board are indicated. We say that two bishops attack each other when one is on a square reachable by the other in a single move. What is the maximum number of bishops that can be placed on an $8\times 8$ board such that no two bishops are attacking each other?

Topic: Combinatoria Metodo: Colorazione, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Massimo numero di vescovi non attaccanti su scacchi 8x8

Un bishop è un pezzo di scacchi che può muovere diagonalmente qualsiasi numero di quadrati in qualsiasi direzione. Nella figura seguente sono indicate le possibili direzioni di movimento del vescovo da un determinato quadrato della lavagna. Diciamo che due vescovi si attaccano quando uno è su un quadrato raggiungibile dall’altro in una sola mossa. Qual è il numero massimo di vescovi che può essere posto su una lavagna in modo tale che non ci siano due vescovi che si attaccano a vicenda?

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Evaluate sum involving 1/(n(n+1)) to find A+B

Observe that $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.$ Thus we can compute the series ${\sum }_{n=2}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots =\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots =1.$ Knowing that $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}$, the value of ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1{)}^2}=\frac{1}{1\cdot 2^2}+\frac{1}{2\cdot 3^2}+\frac{1}{3\cdot 4^2}+\cdots$ is of the form $A-\frac{{\pi }^2}{B}$, where $A$ and $B$ are positive integers. Determine the value of $A+B$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Telescoping, skill_manipolazione_algebrica Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Evaluare la somma che coinvolge 1/(n(n+1)) per trovare A+B

Si osserva che $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.$ Così possiamo calcolare la serie ${\sum }_{n=2}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots =\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots =1.$ Sapendo che $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}$, il valore di ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1{)}^2}=\frac{1}{1\cdot 2^2}+\frac{1}{2\cdot 3^2}+\frac{1}{3\cdot 4^2}+\cdots$ è della forma $A-\frac{{\pi }^2}{B}$, dove $A$ e $B$ sono interi positivi. Determinare il valore di $A+B$.

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Max common divisor of products of all 15-element subsets of {1,…,20}

Let $A=\{1,2,3,\dots ,20\}$ be the set of the first 20 positive integers. For each subset $X$ of 15 elements of $A$, we compute the product $p(X)$ of its elements. For example, $p(\{1,2,3,\dots ,15\})=1\cdot 2\cdot 3\cdots 15=15!$. What is the largest divisor common to all products $p(X)$ obtained from all $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{15}\right)$ subsets of 15 elements of $A$?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Doppio conteggio, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Maximo divisore comune dei prodotti di tutti i sottoinsiemi di 15 elementi di {1,…,20}

$A=\{1,2,3,\dots ,20\}$ sia l’insieme dei primi 20 integri positivi. Per ogni sottoinsieme $X$ di 15 elementi di $A$, calcoliamo il prodotto $p(X)$ dei suoi elementi. Per esempio, $p(\{1,2,3,\dots ,15\})=1\cdot 2\cdot 3\cdots 15=15!$. Qual è il più grande divisore comune a tutti i prodotti $p(X)$ ottenuti da tutti i $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{15}\right)$ sottoinsiemi di 15 elementi di $A$?

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Perimeter of orthic triangle of ABC with sides 13,14,15; find a+b

It can be shown that for an acute triangle $ABC$, the triangle $DEF$ with $D$, $E$, $F$ being respectively the feet of the altitudes from the sides $BC$, $CA$, and $AB$ minimises the perimeter among all triangles inscribed in $ABC$. Triangle $DEF$ is called the orthic triangle of $ABC$. If $AB=13$, $BC=14$, and $CA=15$, the perimeter of the orthic triangle can be written as $\frac{a}{b}$, where $a$ and $b$ are coprime positive integers. Determine the value of $a+b$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Perimetro del triangolo ortico di ABC con lati 13,14,15; trovare a+b

Si può dimostrare che per un triangolo acuto $ABC$, il triangolo $DEF$ con $D$, $E$, $F$ che sono rispettivamente i piedi delle altitudini dai lati $BC$, $CA$ e $AB$ riduce al minimo il perimetro tra tutti i triangoli iscritti in $ABC$. Il triangolo $DEF$ è chiamato il triangolo ortico ** di $ABC$. Se $AB=13$, $BC=14$ e $CA=15$, il perimetro del triangolo ortico può essere scritto come $\frac{a}{b}$, dove $a$ e $b$ sono integri positivi copri. Determinare il valore di $a+b$.

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Square ABCD inscribed in circle of radius 30; chord AM meets diagonal BD at P; AM=50, find AP

Square $ABCD$ is inscribed in a circle of radius $30$. The chord $AM$ cuts the diagonal $BD$ at point $P$. If $AM=50$, find the value of $AP$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

ABCD quadrato inciso in un cerchio di raggio 30; acordo AM incontra la diagonale BD a P; AM=50, trovare AP

Il quadrato $ABCD$ è inserito in un cerchio di raggio $30$. L’accordo $AM$ taglia la diagonale $BD$ al punto $P$. Se $AM=50$, trovare il valore di $AP$.

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Number of ways to tile a 1x112 board with 1x7 and 1x8 tiles

To cover a board of dimensions $1\times 112$, we can use yellow heptominoes of dimensions $1\times 7$ and red octominoes of dimensions $1\times 8$. In how many ways can we completely cover the board?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Numero di modi di tessitura di una tabella da 1x112 con tessitura da 1x7 e 1x8

Per coprire una lavagna di dimensioni $1\times 112$, possiamo utilizzare heptomino gialle di dimensioni $1\times 7$ e ottomino rosse di dimensioni $1\times 8$. In quanti modi possiamo coprire completamente la lavagna?

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Number of ordered real quadruples (x,y,z,w) satisfying cyclic cubic system

Determine the number of ordered quadruples $(x,y,z,w)$ of real numbers such that

-x^3 = y + z + w \\ -y^3 = z + w + x \\ -z^3 = w + x + y \\ -w^3 = x + y + z \end{cases}$$

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Numero di quadrupli reali ordinati (x,y,z,w) che soddisfano il sistema cubico ciclico

Determinare il numero di quadrupli ordinati $(x,y,z,w)$ di numeri reali tali che $\{\begin{array}{l}-x^3=y+z+w\\ -y^3=z+w+x\\ -z^3=w+x+y\\ -w^3=x+y+z\end{array}$

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Largest n such that B is divisible by 3^n, where sum 1+1/2+…+1/2013=A/B in lowest terms

We write the sum of the reciprocals of the integers from $1$ to $2013$ as the irreducible fraction $\frac{A}{B}$, that is, $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{2013}=\frac{A}{B},\gcd (A,B)=1.$ What is the largest integer $n$ such that $B$ is divisible by $3^n$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

N più piccolo del modo che B sia divisibile per 3^n, dove la somma 1+1/2+…+1/2013=A/B in termini più bassi

Scriviamo la somma delle reciprocità dei numeri interi da $1$ a $2013$ come la frazione irriducibile $\frac{A}{B}$, cioè $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{2013}=\frac{A}{B},\gcd (A,B)=1.$ Qual è il numero intero più grande $n$ tale che $B$ sia divisibile da $3^n$?

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