Olimpíada Brasileira de Matemática 2013 — Nível 3 — Fase 3

Tangent lines from exterior point, find CE in terms of a,b

Let $\Gamma$ be a circle and $A$ a point exterior to $\Gamma$. The tangent lines to $\Gamma$ passing through $A$ touch $\Gamma$ at $B$ and $C$. Let $M$ be the midpoint of $AB$. The segment $MC$ meets $\Gamma$ again at $D$, and the line $AD$ meets $\Gamma$ again at $E$. Given that $AB=a$ and $BC=b$, find $CE$ in terms of $a$ and $b$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Line angenti dal punto esterno, trovare CE in termini di a,b

Il $\Gamma$ deve essere un cerchio e il $A$ un punto esterno a $\Gamma$. Le linee tangenti a $\Gamma$ che attraversano $A$ toccano $\Gamma$ a $B$ e $C$. $M$ sia il punto medio di $AB$. Il segmento $MC$ incontra di nuovo $\Gamma$ a $D$ e la riga $AD$ incontra di nuovo $\Gamma$ a $E$. Dato che $AB=a$ e $BC=b$, trovare $CE$ in termini di $a$ e $b$.

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Game: Arnaldo picks from A, Bernaldo picks any positive integer, minimize divisors of ab

Arnaldo and Bernaldo play the following game: given a fixed finite set $A$ of positive integers, Arnaldo chooses a number $a$ belonging to $A$ (but tells no one which number he chose). Then Bernaldo chooses any positive integer $b$ (which may or may not belong to $A$). Arnaldo then announces only the number of positive divisors of the product $ab$. Show that Arnaldo can always choose $b$ in a way that allows him to discover the number $a$ chosen by Arnaldo.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Gioco: Arnaldo sceglie da A, Bernaldo sceglie qualsiasi numero intero positivo, riducendo al minimo i divisori di ab

Arnaldo e Bernaldo giocano il seguente gioco: data una serie finita fissa $A$ di numeri interi positivi, Arnaldo sceglie un numero $a$ appartenente a $A$ (ma non dice a nessuno quale numero ha scelto). Quindi Bernaldo sceglie qualsiasi numero intero positivo $b$ (che può o non può appartenere a $A$). Arnaldo annuncia quindi solo il numero di divisori positivi del prodotto $ab$. Mostrare che Arnaldo può sempre scegliere $b$ in modo da poter scoprire il numero $a$ scelto da Arnaldo.

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Find all injective functions from nonzero reals satisfying a functional equation

Find all injective functions $f$ from the nonzero reals to the nonzero reals such that $f(x+y)\cdot (f(x)+f(y))=f(xy)$ for all $x,y$ real and nonzero with $x+y\ne 0$.

Topic: Insiemi e funzioni, Equazioni funzionali Metodo: Backward, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le funzioni iniettabili da valori reali non zero che soddisfano un’equazione funzionale

Trovare tutte le funzioni iniettrici $f$ dai reali non-zero ai reali non-zero in modo tale che $f(x+y)\cdot (f(x)+f(y))=f(xy)$ per tutte le $x,y$ reali e non-zero con $x+y\ne 0$.

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Largest n with sequence of nonzero digits satisfying divisibility condition

Find the largest value of $n$ for which there exists a sequence $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ of nonzero digits (i.e., $a_i\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$) such that for every $k$ with $1\le k\le n$, the $k$-digit number $(a_1{a}_2\cdots a_k)$ formed by the first $k$ digits divides the $(k+1)$-digit number $(a_1{a}_2\cdots a_k{a}_{k+1})$. (Here $(a_1{a}_2\cdots a_m)$ denotes the number $a_1\cdot 10^{m-1}+a_2\cdot 10^{m-2}+\cdots +a_m$.)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Congruenze, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

N più grande con una sequenza di numeri non zero che soddisfa la condizione di divisibilità

Trova il valore più grande di $n$ per il quale esiste una sequenza $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ di cifre non zero (cioè $a_i\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$) tale che per ogni $k$ con $1\le k\le n$, il numero $k$ di cifre $(a_1{a}_2\cdots a_k)$ formato dai primi numeri $k$ divida il numero $(k+1)$ di cifre $(a_1{a}_2\cdots a_k{a}_{k+1})$. (Qui $(a_1{a}_2\cdots a_m)$ indica il numero $a_1\cdot 10^{m-1}+a_2\cdot 10^{m-2}+\cdots +a_m$.)

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Irrational x in (0,1): count distinct k-digit blocks in decimal expansion, prove p(k)>=k+1

Let $x$ be an irrational number with $0<x<1$, and let $x=0.a_1{a}_2{a}_3\cdots$ be its decimal expansion. For each $k\ge 1$, let $p(k)$ denote the number of distinct sequences of $k$ consecutive digits in the decimal expansion of $x$. Prove that $p(k)\ge k+1$ for every positive integer $k$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Invarianti, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

X irrazionale in (0,1): contare i blocchi di k-cifre distinti in espansione decimale, dimostrare p(k)>=k+1

Che $x$ sia un numero irrazionale con $0<x<1$, e che $x=0.a_1{a}_2{a}_3\cdots$ sia la sua espansione decimale. Per ogni $k\ge 1$, $p(k)$ indica il numero di sequenze distinte di $k$ cifre consecutive nell’espansione decimale di $x$. Prova che $p(k)\ge k+1$ per ogni intero positivo $k$.

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Incircle of ABC touches sides; reflections of intersection point lie on line through incenter and circumcenter

The incircle of triangle $ABC$ touches sides $BC$, $CA$, and $AB$ at points $D$, $E$, and $F$ respectively. Let $P$ be the intersection point of lines $AD$ and $BE$. The reflections of $P$ with respect to lines $EF$, $FD$, and $DE$ are $X$, $Y$, and $Z$ respectively. Prove that lines $AX$, $BY$, and $CZ$ have a common point lying on the line $IO$, where $I$ is the incenter and $O$ is the circumcenter of triangle $ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

L’incircolo dell’ABC tocca i lati; i riflessi del punto di intersezione si trovano in linea attraverso l’incentro e il circoncentro

L’incircolo del triangolo $ABC$ tocca i lati $BC$, $CA$ e $AB$ rispettivamente nei punti $D$, $E$ e $F$. Il punto di intersezione delle linee $AD$ e $BE$ è $P$. I riflessi di $P$ rispetto alle linee $EF$, $FD$ e $DE$ sono rispettivamente $X$, $Y$ e $Z$. Prove che le linee $AX$, $BY$ e $CZ$ hanno un punto comune sulla linea $IO$, dove $I$ è il centro e $O$ è il centro circostante del triangolo $ABC$.

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