Staircase figures of unit squares; count white squares in figure 13
Esmeralda draws unit-side squares to form the sequence of figures below, according to a rule she must discover.
(The sequence shows staircase-shaped figures: figure 1 has 1 gray square; figure 2 has 2 gray squares and 1 white square in an L-shape; figure 3 has 3 gray and 3 white; figure 4 has 4 gray and 6 white, forming growing staircase patterns.)
a) How many white squares does figure 13 have?
b) If it exists, which figure has exactly 100 more white squares than gray squares?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Ricorsione, skill_riconoscimento_pattern Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Figura delle scale dei quadrati unitari; contare i quadrati bianchi nella figura 13
Esmeralda disegna quadrati laterali per formare la sequenza delle figure qui sotto, secondo una regola che deve scoprire.
(La sequenza mostra figure a forma di scala: la figura 1 ha 1 quadrato grigio; la figura 2 ha 2 quadrati grigi e 1 quadrato bianco a forma di L; la figura 3 ha 3 quadrati grigi e 3 bianchi; la figura 4 ha 4 quadrati grigi e 6 bianchi, formando modelli di scala in crescita.)
a) Quanti quadrati bianchi ha la figura 13?
b) Se esiste, quale figura ha esattamente 100 quadrati bianchi in più dei quadrati grigri?
Area of square and trapezoidal plastic cards; minimum square to tile them
Janaina has many plastic cards, some in the shape of equal squares and others in the shape of trapezoids, as shown in the figure. The square card has side ; the trapezoidal card has parallel sides and , and height .
a) What is the area of each square card and the area of each trapezoidal card?
b) Using one card of each type, Jade assembles a square. What is the area of the smallest square she can assemble under these conditions?
c) She wants to assemble a square with area , using the smallest possible number of cards, equal or not. How many cards are these?
Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
*L’area delle schede di plastica quadrate e trapezziali; quadrato minimo per le tessere *
Janaina ha molte carte di plastica, alcune in forma di quadrati uguali e altre in forma di trapezzi, come mostra la figura. La carta quadrata ha lato ; la carta trapezoidale ha lati paralleli e , e altezza .
a) Qual è l’area di ciascuna carta quadrata e di ciascuna carta trapezoidale?
b) Utilizzando una carta di ogni tipo, Jade assembla un quadrato. Qual è l’area del più piccolo quadrato che può assemblare in queste condizioni?
c) Desidera assemblare un quadrato con superficie , utilizzando il minor numero possibile di carte, uguali o meno. Quante carte sono queste?
Dice stacked as pillar; faces in contact and rigid cube with equal face-sums
Geraldo has several ordinary dice (the sum of dots on opposite faces is 7). He can see three faces of each die at a time, as shown in the figure.
a) Geraldo uses four dice to build a pillar on a table, so that the faces in contact have the same number of dots. What is the sum of the dots on the faces that cannot be seen (faces in contact with each other or resting on the table)?
b) Geraldo wants to glue some faces of the dice together, forming a rigid cube. The faces in contact must have equal numbers of dots, and the sum of dots on all six faces of the cube must be . Explain how Geraldo should glue these faces.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Invarianti Abilita: Lettura attenta, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Dicci pilastrati come pilastri; volti in contatto e cubo rigido con uguali sommi facciali
Geraldo ha diversi dadi ordinari (la somma dei punti sulle facce opposte è di 7). Può vedere tre volti di ciascuna morte alla volta, come mostrato nella figura.
a) Geraldo utilizza quattro dadi per costruire un pilastro su un tavolo, in modo che le facce in contatto abbiano lo stesso numero di punti. Qual è la somma dei punti sui volti che non possono essere visti (volti in contatto tra loro o riposati sul tavolo)?
b) Geraldo vuole incollare alcune facce dei dadi, formando un cubo rigido. Le facce in contatto devono avere uguali numeri di punti, e la somma dei punti su tutte e sei le facce del cubo deve essere . Spiega come Geraldo dovrebbe incollare queste facce.
Cryptarithmetic: six permutations of OBM summed equal OOOX
The letters O, B, and M each represent distinct nonzero digits. Thus OBM and BOM are three-digit numbers with distinct nonzero digits; for example, if , , , then and .
a) What is the sum of all three-digit numbers given by , , ?
b) What are all the values of the number OBM such that in the addition above, X is also a digit (i.e.~the result OOOX is a four-digit number)?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Crittografia aritmetica: sei permutazioni di OBM sommate uguali a OOOX
Le lettere O, B e M rappresentano ciascuno di cifre diverse. Pertanto, OBM e BOM sono numeri a tre cifre con cifre distinte non a zero; ad esempio, se , , , allora e .
a) Qual è la somma di tutti i numeri a tre cifre forniti da , , ?
b) Quali sono tutti i valori del numero OBM in modo che nell’addizione di cui sopra, X sia anche un numero (cioè il risultato OOOX è un numero a quattro cifre)?
Coin-removal game: winning strategy for 11 and 15 coins on table
Ana and Beatriz have many coins. They place some on a table and play according to the following rules:
i. The first player must remove at least one coin, but not all of them;
ii. The next player must remove at least one coin and at most double the number of coins the previous player removed;
iii. The player who removes the last coin wins.
a) Suppose they place coins on the table. If Ana plays first and removes two coins, show how Beatriz can win the game (regardless of Ana’s remaining moves).
b) Now suppose they place coins on the table. Show that the first player can always win (regardless of the second player’s moves).
Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Invarianti, Backward, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Gioco di rimozione delle monete: strategia vincente per 11 e 15 monete sul tavolo
Ana e Beatriz hanno molte monete. Li mettono su un tavolo e giocano secondo le seguenti regole:
i. Il primo giocatore deve togliere almeno una moneta, ma non tutte;
ii. Il giocatore successivo deve rimuovere almeno una moneta e al massimo il doppio del numero di monete rimuovute dal giocatore precedente;
iii. Il giocatore che toglie l’ultima moneta vince.
a) Supponiamo che mettano monete sul tavolo. Se Ana gioca prima e toglie due monete, mostra come Beatriz può vincere la partita (indipendentemente dalle mosse rimanenti di Ana).
b) Ora supponiamo che mettano monete sul tavolo. Mostrare che il primo giocatore può sempre vincere (indipendentemente dalle mosse del secondo giocatore).