Olimpíada Brasileira de Matemática 2014 — Nível 2 — Fase 1

Which difference of two consecutive primes is impossible?

A natural number greater than 1 is called prime when it has exactly two natural divisors: 1 and itself. Thus the primes are $2,3,5,7,\dots$ Which of the following numbers cannot be the difference between two consecutive primes?

(A) 4 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

Quale differenza di due numeri primi consecutivi è impossibile?

Un numero naturale maggiore di 1 è chiamato primo quando ha esattamente due divisori naturali: 1 e se stesso. Quindi i numeri primi sono $2,3,5,7,\dots$ Quale dei seguenti numeri non può essere la differenza tra due numeri primi consecutivi?

(A) 4 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9

Risposta: C src_obm_2014_n2_f1__Q01

Carnival cards 1–2014 painted yellow/green/black in cycle; parity claims

Ana has 2014 carnival cards numbered 1 to 2014. She then paints them, starting from the first, with colors yellow, green, and black, one of each color, always in this order. What can be stated about these cards?

• (A) The number of yellow cards equals the number of green cards.\
• (B) There are more odd-numbered yellow cards than odd-numbered green cards.\
• (C) There are more odd-numbered black cards than odd-numbered yellow cards.\
• (D) There are more green cards than yellow cards.\
• (E) There are more odd-numbered black cards than odd-numbered green cards.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF

Carnival cards 12014 dipinte in giallo/verde/nero in ciclo; pretese di parità

Ana ha le carte di carnaval del 2014 numerate da 1 a 2014. Poi le dipinge, partendo dal primo, con colori gialli, verdi e neri, uno di ogni colore, sempre in questo ordine. Cosa si può dire di queste carte?

• (A) Il numero di carte gialle è uguale al numero di carte verdi.
• (B) Ci sono più carte gialle a numero impar rispetto alle carte verdi a numero impar.
• (C) Ci sono più carte nere a numero impar rispetto alle carte gialle a numero impar.
• (D) Ci sono più carte verdi che carte gialle.
• (E) Ci sono più carte nere a numeri odd che carte verdi a numeri odd.

Risposta: E src_obm_2014_n2_f1__Q02

Three workers paint walls at different rates; find total time

Manuel, Antônio, and Joaquim start at the same moment painting three equal walls of 60 meters each, one wall per person. In the first 10 minutes of work, Manuel paints 2 meters, Antônio 3 meters, and Joaquim 5 meters. Whoever finishes first immediately goes to help the others, until all three finish the whole job together. How long does the work take?

(A) 3 hours (B) 4 hours (C) 5 hours (D) 6 hours (E) 7 hours

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Modellizzazione, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

Tre lavoratori dipingono le pareti a velocità diverse; ritrovare il tempo totale

Manuel, Antônio e Joaquim iniziano nello stesso momento a dipingere tre muri uguali di 60 metri ciascuno, un muro per persona. Nei primi 10 minuti di lavoro Manuel dipinge 2 metri, Antônio 3 metri e Joaquim 5 metri. Chi finisce per primo va subito ad aiutare gli altri, finché tutti e tre finiscono l’intero lavoro insieme. Quanto tempo ci vuole per il lavoro?

(A) 3 ore (B) 4 ore (C) 5 ore (D) 6 ore (E) 7 ore

Risposta: B src_obm_2014_n2_f1__Q03

Which word has more letters than the number it names?

Which of the following alternatives contains a word with more letters than the number named by that word?

(A) One (B) Three (C) Four (D) Five (E) Six

(In Portuguese: Um, Três, Quatro, Cinco, Seis.)

Topic: Logica Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF

Quale parola ha più lettere del numero che chiama?

Quale delle seguenti alternative contiene una parola con più lettere del numero indicato da quella parola?

A) Uno B) Tre C) Quattro D) Cinque E) Sei

(In portoghese: Um, Três, Quatro, Cinco, Seis.)

Risposta: C src_obm_2014_n2_f1__Q04

Four 20 cm square sheets folded in sequence; find area of figure 4

Esmeralda has four equal square sheets of paper with side 20 cm. She folds one sheet over the other, aligning the four vertices of these sheets horizontally with the top vertex of the sheet below, as shown in figures 1 and 2. She continues doing this to attach all four sheets, as shown in figures 3 and 4. What is the area of figure 4?

(A) $1200{\text{ cm}}^2$ (B) $1300{\text{ cm}}^2$ (C) $1400{\text{ cm}}^2$ (D) $1500{\text{ cm}}^2$ (E) $1600{\text{ cm}}^2$

Topic: Geometria piana Metodo: Casework, Induzione Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Riconoscimento di pattern Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF

Quattro fogli quadrati di 20 cm pieghiati in sequenza; area della figura 4

Esmeralda ha quattro fogli quadrati uguali di carta con un lato di 20 cm. Si piega un foglio sull’altro, allineando le quattro vertici di questi fogli orizzontalmente con il vertice superiore del foglio di sotto, come mostrato nelle figure 1 e 2. Essa continua a fare questo per attaccare tutti e quattro i fogli, come mostrato nelle figure 3 e 4. Qual è l’area della figura 4?

(A) $1200{\text{ cm}}^2$ (B) $1300{\text{ cm}}^2$ (C) $1400{\text{ cm}}^2$ (D) $1500{\text{ cm}}^2$ (E) $1600{\text{ cm}}^2$

Risposta: B src_obm_2014_n2_f1__Q05

Find which number has exactly 2014 positive divisors

To find the number of positive divisors of a positive integer $n$, it suffices to take its prime factorization and compute the product of the exponents of the primes each increased by 1. For example, $2880=2^5\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$ has $(5+1)(2+1)(1+1)(1+1)=5\cdot 3\cdot 2\cdot 2=36$ divisors. What is the least positive integer with exactly 2014 positive divisors?

(A) $2^{2^3\cdot 19}\cdot 5^3$ (B) $2^{53}{3}^{18}{5}^2$ (C) $2^{52}{3}^{18}5$ (D) $2^{18}{5}^3$ (E) $2^{27}{5}^2$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

Trova quale numero ha esattamente i divisori positivi del 2014

Per trovare il numero di divisori positivi di un intero positivo $n$, basta prendere la sua fattorizzazione dei primi e calcolare il prodotto degli esponenti dei primi ogni aumento di 1. Ad esempio, $2880=2^5\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$ ha divisori $(5+1)(2+1)(1+1)(1+1)=5\cdot 3\cdot 2\cdot 2=36$. Qual è il numero intero meno positivo con divisori positivi esatti del 2014?

(A) $2^{2^3\cdot 19}\cdot 5^3$ (B) $2^{53}{3}^{18}{5}^2$ (C) $2^{52}{3}^{18}5$ (D) $2^{18}{5}^3$ (E) $2^{27}{5}^2$

Risposta: B src_obm_2014_n2_f1__Q06

Four messages about safe/unsafe cave doors; deduce which door is safe

Roraima Jonas, an adventurous archaeologist, upon fleeing a cave, encounters four doors numbered 1 to 4 and four messages. The messages say:

Message 1: “Doors 1 and 2 are safe.”\ Message 2: “Exactly two of the doors 1, 2, and 3 are safe.”\ Message 3: “Door 1 is safe.”\ Message 4: “Door 3 is safe.”

Roraima Jonas knows that exactly one of the messages is a lie and exactly one of the doors is not safe (the unsafe door would trigger a booby trap). Which door can Roraima Jonas guarantee is safe?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) There is no door she can guarantee is safe.

Topic: Logica Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

Quattro messaggi sulle porte di grotta sicure/insicure; dedurre quale porta è sicura

Roraima Jonas, un archeologo avventuroso, fuggendo da una grotta, incontra quattro porte numerate da 1 a 4 e quattro messaggi. I messaggi dicono:

Messaggio 1: “Le porte 1 e 2 sono sicure”. Messaggio 2: “Esattamente due delle porte 1, 2 e 3 sono sicure”. Messaggio 3: “La porta 1 è sicura”. Messaggio 4: “La porta 3 è sicura”.

Roraima Jonas sa che esattamente uno dei messaggi è una bugia e esattamente una delle porte non è sicura (la porta non sicura avrebbe innescato una trappola). Quale porta può garantire la sicurezza di Roraima Jonas?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) Non esiste una porta che possa garantire la sicurezza.

Risposta: B src_obm_2014_n2_f1__Q07

Distribute 240 reais equally; reducing by 1 real per nephew allows exactly 2014 divisors

Rosa decided to distribute 240 reais to her nephews, giving each the same whole amount. She first thought of reducing it by 1 real per nephew, then she realized that then she could distribute it exactly with 2014 reais as the total. In the end she distributed exactly 240 reais in total. How much did each nephew receive?

(A) 5 reais (B) 10 reais (C) 12 reais (D) 15 reais (E) 20 reais

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

Distribuire 240 reais in eguaglianza; ridurre di 1 reale per nipote consente esattamente i divisori 2014

Rosa decise di distribuire 240 reais ai suoi nipoti, dando a ciascuno la stessa somma completa. Prima pensò a ridurlo di 1 reais per nipote, poi si rese conto che poi poteva distribuirlo esattamente con i reais 2014 come totale. Alla fine ha distribuito esattamente 240 reais in totale. Quanto ricevette ogni nipote?

(A) 5 reais (B) 10 reais (C) 12 reais (D) 15 reais (E) 20 reais

Risposta: C src_obm_2014_n2_f1__Q08

Minimum button presses on calculator to display 100

It is only possible to press one digit at a time and some simple operations: $+$, $-$, $\times$, or $÷$ between digits. It is also not possible to press two digits in a row. The calculator starts with 0 in the display and the first press must be an operation; the operation is carried out immediately after a digit is pressed. For example, pressing $[+][7][+][7]$ gives $0+7=7$ and then $7+7=14$; pressing $[-][6]$ gives $14-6=8$. Thus it is possible to get 29 with 6 presses. Pedro wants to display the number 100 by pressing operations and digits alternately, starting with an operation. What is the minimum number of presses Pedro needs?

(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 10

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Backward, Estremalità Abilita: Lettura attenta, Modellizzazione, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF

Presi il pulsante minimo sulla calcolatrice per visualizzare 100

È possibile premere solo una cifra alla volta e alcune semplici operazioni: $+$, $-$, $\times$ o $÷$ tra le cifre. Inoltre non è possibile premere due cifre consecutive. La calcolatrice inizia con 0 nel display e la prima stampa deve essere un’operazione; l’operazione viene eseguita immediatamente dopo aver premuto una cifra. Ad esempio, premendo $[+][7][+][7]$ si ottiene $0+7=7$ e poi $7+7=14$; premendo $[-][6]$ si ottiene $14-6=8$. Così è possibile ottenere 29 con 6 presse. Pedro vuole mostrare il numero 100 premendo le operazioni e le cifre alternativamente, iniziando con un’operazione. Qual è il numero minimo di presse di cui ha bisogno Pedro?

(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 10

Risposta: C src_obm_2014_n2_f1__Q09

Find minimum cost to visit all five cities given price table

The table below shows the price in reais of trips between two of the five cities $A$, $B$, $C$, $D$, and $E$. The rows indicate the city of departure and the columns the city of arrival. For example, going from $A$ to $B$ costs 1 real and from $B$ to $A$ costs 2 reais. Pablo wants to visit all five cities spending the minimum possible (note that the price of the return trip to the starting city is also included). How much does Pablo need to spend?

(A) 4 reais (B) 5 reais (C) 6 reais (D) 9 reais (E) 11 reais

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF

Ricerca il costo minimo per visitare tutte e cinque le città data tabella dei prezzi

La tabella seguente mostra il prezzo in reais dei viaggi tra due delle cinque città $A$, $B$, $C$, $D$ e $E$. Le righe indicano la città di partenza e le colonne la città di arrivo. Ad esempio, passare da $A$ a $B$ costa 1 rea e da $B$ a $A$ costa 2 rea. Pablo vuole visitare tutte e cinque le città spendendo il minimo possibile (si noti che il prezzo del viaggio di ritorno alla città di partenza è incluso anche). Quanto deve spendere Pablo?

A) 4 reais B) 5 reais C) 6 reais D) 9 reais E) 11 reais

Risposta: A src_obm_2014_n2_f1__Q10

Rectangle divided by three segments; find total area given white region areas

The rectangle in the figure was divided by three segments into several regions, some rectangular and others triangular. One line is parallel to neither side; one is a diagonal; the numbers indicate the areas in ${\text{m}}^2$ of the white regions (24, 18, and 8). What is the area of the original rectangle?

(A) $60{\text{ m}}^2$ (B) $80{\text{ m}}^2$ (C) $90{\text{ m}}^2$ (D) $100{\text{ m}}^2$ (E) Impossible to determine

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF

Rettangolo diviso in tre segmenti; trovare superficie totale data area di regione bianca

Il rettangolo della figura era diviso in tre segmenti in diverse regioni, alcune rettangolari e altre triangolari. Una linea è parallela a nessuno dei lati; l’altra è diagonale; i numeri indicano le aree nelle regioni bianche (24, 18 e 8). Qual è l’area del rettangolo originale?

(A) $60{\text{ m}}^2$ (B) $80{\text{ m}}^2$ (C) $90{\text{ m}}^2$ (D) $100{\text{ m}}^2$ (E) Impossibile determinare

Risposta: D src_obm_2014_n2_f1__Q11

Identify rear view of a 2x2x3 block of black and white cubes

The figure on the right shows a rectangular block built with six black cubes and six white cubes, all of the same size. Which of the figures below shows the same block seen from behind?

(A) figure A (B) figure B (C) figure C (D) figure D (E) figure E

Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF

Identificare la visione posteriore di un blocco di cubi bianchi e neri 2x2x3

La figura a destra mostra un blocco rettangolare costruito con sei cubi neri e sei cubi bianchi, tutti della stessa dimensione. Quale delle figure di seguito mostra lo stesso blocco visto da dietro?

(A) figura A (B) figura B (C) figura C (D) figura D (E) figura E

Risposta: B src_obm_2014_n2_f1__Q12

What date is June 3, 2014 in the Julian calendar?

In Portugal, October 4, 1582 was the last day of the Julian calendar, which was then replaced by the currently adopted Gregorian calendar. The following day was defined as October 15, 1582 (i.e., October 5–14 did not exist). The only difference between the two calendars is that in the Julian calendar every multiple of 4 is a leap year, whereas in the Gregorian calendar multiples of 100 that are not multiples of 400 are not leap years. Thus, 1900 was a leap year in the Julian calendar but not in the Gregorian calendar. What date would today — June 3, 2014 — be if the calendar had never been changed?

(A) May 20, 2014 (B) May 21, 2014 (C) May 22, 2014 (D) June 16, 2014 (E) June 17, 2014

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

Quale data è il 3 giugno 2014 nel calendario giuliano?

In Portogallo il 4 ottobre 1582 fu l’ultimo giorno del calendario giuliano, che fu poi sostituito dal calendario gregoriano attualmente adottato. Il giorno successivo è stato definito come il 15 ottobre 1582 (cioè, non esisteva il 514 ottobre). L’unica differenza tra i due calendari è che nel calendario giuliano ogni moltiplo di 4 è un anno bisto, mentre nel calendario gregoriano i moltipli di 100 che non sono moltipli di 400 non sono anni bisto. Quindi il 1900 fu un anno bisbalzo nel calendario giuliano ma non nel calendario gregoriano. Quale data sarebbe oggi 3 giugno 2014 se il calendario non fosse mai stato cambiato?

(A) 20 maggio 2014 (B) 21 maggio 2014 (C) 22 maggio 2014 (D) 16 giugno 2014 (E) 17 giugno 2014

Risposta: B src_obm_2014_n2_f1__Q13

5-digit number xy26c divisible by 8, 9, 11; find x

The 5-digit number $\overline{xy26c}$, where each letter represents a digit, is divisible by 8, 9, and 11. What is the value of $x$?

(A) 3 (B) 5 (C) 1 (D) 4 (E) 9

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF

numero a 5 cifre xy26c divisibile per 8, 9, 11; trovare x

Il numero a 5 cifre $\overline{xy26c}$, in cui ogni lettera rappresenta una cifra, è divisibile per 8, 9 e 11. Qual è il valore di $x$?

(A) 3 (B) 5 (C) 1 (D) 4 (E) 9

Risposta: A src_obm_2014_n2_f1__Q14

Count valid pieces in simplified triomino with vertices 0–5

The simplified triomino game is made up of pieces in the shape of a triangle in which each of the three vertices carries a number from 0 to 5. For any piece of the triomino, the numbers at the vertices must be in strictly increasing order when read clockwise starting from the top vertex (i.e., $X\le Y\le Z$ where $X$ is the top vertex). A piece belongs to the game when $X\le Y\le Z$. Of the four sample pieces shown, the first three belong to the game but the fourth does not. How many pieces are there in a simplified triomino set?

(A) 216 (B) 125 (C) 120 (D) 56 (E) 30

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

Contare i pezzi validi in triomino semplificato con vertici 05

Il gioco di triomino semplificato è composto da pezzi a forma di triangolo in cui ciascuno dei tre vertici porta un numero da 0 a 5. Per qualsiasi pezzo del triomino, i numeri dei vertici devono essere in ordine rigorosamente crescente quando vengono letti in senso orario partendo dal vertice superiore (cioè $X\le Y\le Z$ dove $X$ è il vertice superiore). Un pezzo appartiene al gioco quando $X\le Y\le Z$. Dei quattro campioni mostrati, i primi tre appartengono al gioco ma il quarto non. Quanti pezzi ci sono in un triomino semplificato?

(A) 216 (B) 125 (C) 120 (D) 56 (E) 30

Risposta: D src_obm_2014_n2_f1__Q15

Shortest path A to D choosing circular arc trails with given angles

In the game Lento e Calmo (Slow and Calm), a racing game, there are trails on some stretches of the tracks. The trails are always arcs of a circle with the center given in the figure. The trails are not the same as the straight stretches of the path. Given the data of the figure — trail 1 subtends an arc of $100^{\circ }$ and trail 2 subtends an arc of $120^{\circ }$ at their respective centers — in which circumstance does the player cover the shortest distance from point $A$ to point $D$?

• (A) Use trail 1, not trail 2.\
• (B) Use trail 2, not trail 1.\
• (C) Use both trails.\
• (D) Use neither trail.\
• (E) There is not enough information to determine.

Topic: Geometria piana Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF

Il percorso più breve da A a D scegliendo percorsi d’arco circolare con angoli dati

Nel gioco Lento e Calmo (Slow and Calm), un gioco di corse, ci sono sentieri su alcuni tratti delle piste. I sentieri sono sempre archi di un cerchio con il centro indicato nella figura. I sentieri non sono gli stessi che i tratti dritti del sentiero. Dati della figura traccia 1 sottende un arco di $100^{\circ }$ e traccia 2 sottende un arco di $120^{\circ }$ nei rispettivi centri in quali circostanze il giocatore copre la distanza più breve dal punto $A$ al punto $D$?

• (A) Usa il percorso 1, non il percorso 2.\
• (B) Usa il percorso 2, non il percorso 1.\
• (C) Usa entrambi i sentieri.
• (D) Utilizzare nessuna traccia.
• (E) Non ci sono informazioni sufficienti per determinarlo.

Risposta: A src_obm_2014_n2_f1__Q16

Find angle x with isosceles triangles and parallel chords on a circle

Consider the figure on the right, where points $A$ through $I$ lie on a circle. It is known that triangles $ABC$, $CDE$, $EFG$, and $GHI$ are isosceles, and that segments $BC$, $DE$, $FG$, and $HI$ are parallel. What is the measure of angle $x=\angle APC$?

(A) $15^{\circ }$ (B) $20^{\circ }$ (C) $30^{\circ }$ (D) $40^{\circ }$ (E) $45^{\circ }$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF

Trova angolo x con triangoli e accordi paralleli su un cerchio

Considerate la figura a destra, dove i punti $A$ fino a $I$ si trovano su un cerchio. È noto che i triangoli $ABC$, $CDE$, $EFG$ e $GHI$ sono uguali e che i segmenti $BC$, $DE$, $FG$ e $HI$ sono paralleli. Qual è la misura dell’angolo $x=\angle APC$?

(A) $15^{\circ }$ (B) $20^{\circ }$ (C) $30^{\circ }$ (D) $40^{\circ }$ (E) $45^{\circ }$

Risposta: B src_obm_2014_n2_f1__Q17

Roots of two quadratics related; find value of a

The roots of the equation $x^2-ax+b=0$ are different from zero and are also the roots of the equation $x^2-bx+a=0$. The values $a$ and $b$ are not necessarily real. What is the value of $a$?

(A) $-\sqrt{2}$ (B) $\sqrt{2}\sqrt{3}$ (C) $\sqrt{3}$ (D) $\sqrt{2}$ (E) $\sqrt{3}$

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF

Radici di due quadratici correlati; trovare valore di a

Le radici dell’equazione $x^2-ax+b=0$ sono diverse da zero e sono anche le radici dell’equazione $x^2-bx+a=0$. I valori $a$ e $b$ non sono necessariamente reali. Qual è il valore di $a$?

(A) $-\sqrt{2}$ (B) $\sqrt{2}\sqrt{3}$ (C) $\sqrt{3}$ (D) $\sqrt{2}$ (E) $\sqrt{3}$

Risposta: A src_obm_2014_n2_f1__Q18

Which of the five numbers is largest?

Indicate which alternative gives the largest of the five numbers.

(A) $2014^5$ (B) $3015^4$ (C) $4016^3$ (D) $5017^2$ (E) $6018^1$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Stima, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

Quale dei cinque numeri è il più grande?

Indicare quale alternativa dà il numero più grande dei cinque numeri.

(A) $2014^5$ (B) $3015^4$ (C) $4016^3$ (D) $5017^2$ (E) $6018^1$

Risposta: B src_obm_2014_n2_f1__Q19

Point on angle bisector; given area of one sub-triangle, find area of other

In triangle $ABC$, $AB=5$ and $AC=6$. Let $P$ be a point on the bisector of angle $\widehat{BAC}$. The area of triangle $APB$ is $\frac{5}{2}$. What is the area of triangle $APC$?

(A) $\frac{5}{4}$ (B) $\frac{9}{4}$ (C) $\frac{23}{4}$ (D) $\frac{25}{4}$ (E) $\frac{4}{5}$

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF

Punto sul bisettore angolare; data superficie di un triangolo, trova area di un altro

In triangolo $ABC$, $AB=5$ e $AC=6$. Il punto $P$ deve essere un punto sul bisector dell’angolo $\widehat{BAC}$. L’area del triangolo $APB$ è $\frac{5}{2}$. Qual è l’area del triangolo $APC$?

(A) $\frac{5}{4}$ (B) $\frac{9}{4}$ (C) $\frac{23}{4}$ (D) $\frac{25}{4}$ (E) $\frac{4}{5}$

Risposta: D src_obm_2014_n2_f1__Q20

Square ABCD side 1; external triangles on each side; area of outer quadrilateral

Consider a square $ABCD$ with side 1. Externally to the square, triangles $ABE$, $BCF$, $CDG$, and $DAH$ are formed on each side. What is the area of the quadrilateral $EFGH$?

(A) 2 (B) $2\sqrt{3}$ (C) $2+\sqrt{3}$ (D) 3 (E) 6

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF

L’abcd quadrato lato 1; triangoli esterni su ciascun lato; superficie di quadrilaterali esterni

Considera un quadrato $ABCD$ con lato 1. All’esterno del quadrato si formano triangoli $ABE$, $BCF$, $CDG$ e $DAH$ su ciascun lato. Qual è la superficie del quadrilaterale $EFGH$?

(A) 2 (B) $2\sqrt{3}$ (C) $2+\sqrt{3}$ (D) 3 (E) 6

Risposta: D src_obm_2014_n2_f1__Q21

Count ordered pairs (a,b) of positive integers with 2014/(a+b) integer

How many ordered pairs $(a,b)$ of positive integers exist such that $\frac{2014}{a+b}$ is an integer?

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Fattorizzazione, Conteggio Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

*Contare le coppie ordinate (a,b) di integri positivi con l’intero 2014/(a+b) *

Quante coppie ordinate $(a,b)$ di numeri interi positivi esistono in modo tale che $\frac{2014}{a+b}$ sia un numero intero?

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

Risposta: D src_obm_2014_n2_f1__Q22

Given sqrt(x-y)=a and sqrt(x)+sqrt(y)=b, find sqrt(xy)

If $a$, $b$, $x$, $y$ are positive reals such that $\sqrt{x-y}=a$ and $\sqrt{x}+\sqrt{y}=b$, determine the value of $\sqrt{xy}$.

(A) $\frac{b^2-a^2}{4}$ (B) $\frac{a^2}{b}$ (C) $\frac{b^2+a^2}{4b}$ (D) $\frac{1}{b}$ (E) $a^2$

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF

*Dato che sqrt(x-y) =a e sqrt(x) +sqrt(y) =b, trovare sqrt(xy) *

Se $a$, $b$, $x$, $y$ sono reali positivi tali che $\sqrt{x-y}=a$ e $\sqrt{x}+\sqrt{y}=b$, determinare il valore di $\sqrt{xy}$.

(A) $\frac{b^2-a^2}{4}$ (B) $\frac{a^2}{b}$ (C) $\frac{b^2+a^2}{4b}$ (D) $\frac{1}{b}$ (E) $a^2$

Risposta: A src_obm_2014_n2_f1__Q23

Count ways to fill 2×2014 Bitonho table with 0s and 1s

Bitonho is a game of filling a $2\times 2014$ table with zeros and ones in such a way that if two horizontally adjacent cells in the same row are equal, then the two cells of the other row in the same columns are not equal. For example, in the drawing below, cells $A$ and $B$ are not equal. In how many ways can a $2\times 2014$ table be filled following the Bitonho rule?

(A) $3\cdot 2^{2014}$ (B) $4\cdot 2^{2013}$ (C) $4^{2014}$ (D) $2\cdot 3^{2014}$ (E) $3\cdot 4^{2014}$

Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione, Conteggio, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF

Contare i modi per riempire 2×2014 Tavola Bitonho con 0s e 1s

Bitonho è un gioco di riempire una tabella $2\times 2014$ con zeri e uno in modo tale che se due celle orizzontalmente adiacenti nella stessa riga sono uguali, allora le due celle dell’altra riga nelle stesse colonne non sono uguali. Per esempio, nel disegno di seguito, le celle $A$ e $B$ non sono uguali. In quanti modi si può compilare una tabella $2\times 2014$ secondo la regola di Bitonho?

(A) $3\cdot 2^{2014}$ (B) $4\cdot 2^{2013}$ (C) $4^{2014}$ (D) $2\cdot 3^{2014}$ (E) $3\cdot 4^{2014}$

Risposta: A src_obm_2014_n2_f1__Q24

Largest difference between consecutive 4-distinct-digit numbers in sorted list

Juca made a list of all positive integers with four distinct digits, written in increasing order. He then made another list of the positive differences between all pairs of consecutive numbers in the first list. What is the largest number that appears in Juca’s second list?

(A) 25 (B) 36 (C) 45 (D) 103 (E) 105

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF

La più grande differenza tra numeri consecutivi a 4 cifre distinte nell’elenco ordinato

Juca fece un elenco di tutti i numeri interi positivi con quattro cifre distinte, scritti in ordine crescente. Ha poi fatto un’altra lista delle differenze positive tra tutte le coppie di numeri consecutivi nella prima lista. Qual è il numero più grande che appare nella seconda lista di Juca?

(A) 25 (B) 36 (C) 45 (D) 103 (E) 105

Risposta: E src_obm_2014_n2_f1__Q25