Olimpíada Brasileira de Matemática 2014 — Nível 2 — Fase 3

Superdado built from eight unit dice; opposite faces of each die sum to 7. Find the six-face sum of a given superdado and build one whose six-face sum is 106.

An ordinary playing die is a cube whose faces carry the numbers from $1$ to $6$, in which the numbers on opposite faces sum to $7$. By gluing eight dice together, one assembles a superdado (super-die), which is a cube in which each face is composed of four faces of the smaller dice. It is also known that two faces of the smaller dice that were glued together to form the superdado necessarily carry the same number. Note that glued faces can no longer be seen, and that equal numbers on each face may be turned upside down or laid sideways.

a) What is the sum of the numbers on the six faces of the superdado shown below?

b) Build a superdado for which the sum of the numbers on the six faces equals $106$.

Remark: there exist two ways of assembling the superdado, changing only the faces that carry a $2$ and a $5$, as in the figure below; you may use each of these two ways as many times as necessary.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Superdado costruito da otto dadi unitari; facce opposte di ciascuna somma di 7. Trova la somma di sei facce di un dato superdado e costruisci una la cui somma di sei facce è 106.

Un dado di gioco ordinario è un cubo la cui faccia porta i numeri da $1$ a $6$, in cui i numeri sulle facce opposte sommano a $7$. Collegando otto dadi insieme, si assembla un superdado (super-die), che è un cubo in cui ogni faccia è composta da quattro facce dei dadi più piccoli. Si sa anche che due facce dei dadi più piccoli che sono stati incollati insieme per formare il superdado necessariamente portano lo stesso numero. Si noti che le facce incollate non possono più essere viste e che i numeri uguali su ciascuna faccia possono essere voltati a testa in giù o posizionati lateralmente.

a) Qual è la somma dei numeri sulle sei facce del superdado mostrato di seguito?

b) Costruire un superdado per il quale la somma dei numeri sulle sei facce è uguale a $106$.

Nota: esistono due modi di assemblare il superdado, cambiando solo le facce che portano un $2$ e un $5$, come nella figura seguente; si può usare ciascuno di questi due modi quante volte è necessario.

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AB diameter of circle, CD chord perpendicular to it meeting AB at E; for any P on CD, lines AP and BP meet the circle again at F and G; O is circumcenter of EFG. Show area of OCD is constant.

Let $AB$ be a diameter of a circle $\Gamma$ and let $CD$ be a chord perpendicular to that diameter. Let $E$ be the point of intersection of $CD$ and $AB$, and let $P$ be any point on the chord $CD$ different from $E$. The lines $AP$ and $BP$ meet $\Gamma$ again at $F$ and $G$, respectively. If $O$ is the circumcenter of triangle $EFG$, show that the area of triangle $OCD$ is always the same, whatever the chosen point $P$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Diametro AB del cerchio, accordi CD perpendicolari a esso che si incontrano AB a E; per qualsiasi P su CD, le linee AP e BP incontrano il cerchio di nuovo a F e G; O è il circumentro di EFG. L’ area di mostra dell’ OCD è costante.

Si deve $AB$ essere un diametro di un cerchio $\Gamma$ e si deve $CD$ essere un accordo perpendicolare a tale diametro. Il $E$ deve essere il punto di intersezione di $CD$ e $AB$, e il $P$ deve essere qualsiasi punto dell’accordo $CD$ diverso da $E$. Le linee $AP$ e $BP$ rientrano in $\Gamma$ rispettivamente a $F$ e $G$. Se $O$ è il centro circundante del triangolo $EFG$, indicare che l’area del triangolo $OCD$ è sempre la stessa, indipendentemente dal punto scelto $P$.

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Find all integers n>1 such that for every k with 0<=k<n there is a multiple of n whose digit sum leaves remainder k upon division by n.

Find all integers $n$, $n>1$, with the following property: for every $k$ with $0\le k<n$, there exists a multiple of $n$ whose sum of digits, in base ten, leaves remainder $k$ upon division by $n$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova tutti gli enti n>1 in modo tale che per ogni k con 0<=k<n ci sia un multiple di n la cui somma digitali lascia il rimanente k dopo la divisione da n.

Trova tutti gli enti $n$, $n>1$, con la seguente proprietà: per ogni $k$ con $0\le k<n$, esiste un multiple di $n$ la cui somma di cifre, nella base dieci, lascia il rimanente $k$ dopo la divisione da $n$.

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Square, equal segments on sides, area product identity

Let $ABCD$ be a square with center $O$. Let $E$, $F$, $G$, $H$ be interior points on sides $AB$, $BC$, $CD$, $DA$, respectively, such that $AE=BF=CG=DH$. Suppose that line $OA$ meets $HE$ at point $X$, line $OB$ meets $EF$ at point $Y$, line $OC$ meets $FG$ at point $Z$, and line $OD$ meets $GH$ at point $W$. Given that $\text{Area}(EFGH)=1$, find $\left(\text{Area}ABCD\right)\times \left(\text{Area}XYZW\right).$

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadratto, segmenti uguali a lato, superficie identica del prodotto

$ABCD$ sia un quadrato con il centro $O$. I punti $E$, $F$, $G$, $H$ siano punti interni sui lati $AB$, $BC$, $CD$, $DA$, rispettivamente, in modo tale che $AE=BF=CG=DH$. Supponiamo che la riga $OA$ incontra $HE$ al punto $X$, la riga $OB$ incontra $EF$ al punto $Y$, la riga $OC$ incontra $FG$ al punto $Z$ e la riga $OD$ incontra $GH$ al punto $W$. Dato che $\text{Area}(EFGH)=1$, trovare $\left(\text{Area}ABCD\right)\times \left(\text{Area}XYZW\right).$

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Integer coefficients: positive for all integers implies no real roots

Let $p$ and $q$ be integers. Knowing that $x^2+px+q$ is positive for every integer $x$, prove that the equation $x^2+px+q=0$ has no real solution.

Topic: Algebra Metodo: Disuguaglianze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Coefficienti interi: positivo per tutti gli interi non implica radici reali

Lasciate che $p$ e $q$ siano numeri interi. Sapendo che $x^2+px+q$ è positivo per ogni numero intero $x$, dimostrare che l’equazione $x^2+px+q=0$ non ha soluzione reale.

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A 2m x 2n board with an integer in each cell; the move picks three cells forming an L-tromino and adds 1 to each. Find the necessary and sufficient condition, in terms of m, n and the initial numbers, to make all numbers equal.

In each cell of a $2m\times 2n$ board an integer is written. The allowed operation is to choose three cells forming a figure congruent to an L-tromino, as indicated in the figure below, and to add $1$ to each of these three cells. Determine the necessary and sufficient condition, in terms of $m$, $n$ and the initial numbers, for it to be possible to make all the numbers equal.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Colorazione, Congruenze Abilita: Astrazione, Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Un tabellone 2m x 2n con un numero intero in ogni cella; la mossa seleziona tre celle che formano un L-tromino e aggiunge 1 a ciascuna. Trovare la condizione necessaria e sufficiente, in termini di m, n e numeri iniziali, per rendere tutti i numeri uguali.

In ogni cella di una tabella $2m\times 2n$ viene scritto un numero intero. L’operazione consentita è quella di scegliere tre celle che formano una figura congruente a un L-tromino, come indicato nella figura seguente, e di aggiungere $1$ a ciascuna di queste tre celle. Determinare la condizione necessaria e sufficiente, in termini di $m$, $n$ e dei numeri iniziali, per rendere possibile la parità di tutti i numeri.

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