Olimpíada Brasileira de Matemática 2014 — Nível 3 — Fase 1

Smallest power-product integer with exactly 2014 positive divisors

To find the quantity of positive divisors of a positive integer $n$, it suffices to take its factorization into primes and compute the product of the exponents of the primes increased by $1$. For example, $2800=2^4\cdot 5^2\cdot 7$ has $(4+1)(2+1)(1+1)=30$ positive divisors. What is the smallest positive integer with $2014$ positive divisors? (A) $2^2{3}^{19}{5}^{53}$ (B) $2^{53}{3}^{19}{5}^2$ (C) $2^{52}{3}^{18}5$ (D) $2^{38}{3}^{53}$ (E) $2^{37}{3}^{52}$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

L’intero più piccolo del prodotto di potenza con divisori positivi esatti del 2014

Per trovare la quantità di divisori positivi di un intero positivo $n$, basta prendere la sua fattorizzazione in numeri primi e calcolare il prodotto degli esponenti dei numeri primi aumentati da $1$. Ad esempio, $2800=2^4\cdot 5^2\cdot 7$ ha $(4+1)(2+1)(1+1)=30$ divisori positivi. Qual è il numero intero positivo più piccolo con divisori positivi $2014$? (A) $2^2{3}^{19}{5}^{53}$ (B) $2^{53}{3}^{19}{5}^2$ (C) $2^{52}{3}^{18}5$ (D) $2^{38}{3}^{53}$ (E) $2^{37}{3}^{52}$

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Logic puzzle: four doors, exactly one of four messages lies

Roraima Jonas, an intrepid adventurer, upon leaving a cave comes across four doors, numbered $1$ to $4$, and four messages. The messages say: Message 1: “Doors 1 and 2 are safe.” Message 2: “Exactly two of doors 1, 2 and 3 are safe.” Message 3: “Door 1 is safe.” Message 4: “All doors are safe.” Roraima Jonas is studious and, for this reason, knows that exactly one of the messages lies and the others tell the truth (that is, only one is a lie). However, exactly one of the doors is not safe (it would activate a trap). Which door can Roraima Jonas guarantee to be safe? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) There is no door that Roraima Jonas can guarantee to be safe.

Topic: Logica Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Il puzzle logico: quattro porte, esattamente uno dei quattro messaggi è falso

Roraima Jonas, un intrépido avventuriero, quando lascia una grotta incontra quattro porte, numerate $1$ a $4$, e quattro messaggi. I messaggi dicono: Messaggio 1: “Le porte 1 e 2 sono sicure”. Messaggio 2: “Esattamente due delle porte 1, 2 e 3 sono sicure”. Messaggio 3: “La porta 1 è sicura”. Messaggio 4: “Tutte le porte sono sicure”. Roraima Jonas è studiosa e, per questo motivo, sa che esattamente una delle messaggi mente e le altre dicono la verità (cioè, solo una è una bugia). Tuttavia, esattamente una delle porte non è sicura (avrebbe attivato una trappola). Quale porta può garantire la sicurezza di Roraima Jonas? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) Non esiste una porta che Roraima Jonas possa garantire di essere sicura.

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Self-referential count of options whose word is longer than the correct one

How many alternatives contain a word with more letters than the word in the correct alternative? (A) Duas (Two) (B) Tres (Three) (C) Quatro (Four) (D) Cinco (Five) (E) Seis (Six)

Topic: Logica Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conteggio autoreferenziale di opzioni la cui parola è più lunga di quella corretta

Quante alternative contengono una parola con più lettere rispetto alla parola nell’alternativa corretta? A) Due (Due) B) Tre (Tri) C) Quatro (Quattro) D) Cinco (Cinque) E) Sei (Sei)

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Area of quadrilateral formed by apexes of equilateral triangles on a unit square

Consider a square $ABCD$ of side $1$. Externally to the square, equilateral triangles $ABE$, $BCF$, $CDG$ and $DAH$ are formed. What is the area of the quadrilateral $EFGH$? (A) $2$ (B) $2\sqrt{3}$ (C) $2+\sqrt{3}$ (D) $3$ (E) $6$

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Area quadrilaterale costituita da apici di triangoli equilaterali su un quadrato unitario

Considera un quadrato $ABCD$ del lato $1$. All’esterno del quadrato si formano triangoli equilaterali $ABE$, $BCF$, $CDG$ e $DAH$. Qual è la superficie del quadrilaterale $EFGH$? (A) $2$ (B) $2\sqrt{3}$ (C) $2+\sqrt{3}$ (D) $3$ (E) $6$

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Identify the largest among five powers of consecutive-ish bases

Mark the alternative that presents the largest of the five numbers. (A) $2014^5$ (B) $3015^4$ (C) $4016^3$ (D) $5017^2$ (E) $6018^1$

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Identificare il più grande dei cinque poteri di base consecutive *

Segna l’alternativa che presenta il più grande dei cinque numeri. (A) $2014^5$ (B) $3015^4$ (C) $4016^3$ (D) $5017^2$ (E) $6018^1$

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Probability each colored urn receives exactly its own colored balls

Each one of $2014$ balls is painted blue, green or yellow and is placed randomly into one of three urns, one blue, another green and the third yellow. What is the probability that each urn contains exactly the balls with its respective color? (A) $\frac{1}{3^{2014}}$ (B) $\frac{1}{3^{2013}}$ (C) $\frac{1}{9^{2014}}$ (D) $\frac{1}{3^{4017}}$ (E) $\frac{1}{9^{2013}}$

Topic: Probabilità Metodo: Conteggio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

La probabilità che ogni urna colorata riceva esattamente le proprie palle colorate

Ciascuna delle palle $2014$ è dipinta di blu, verde o giallo e viene inserita in uno dei tre urne, uno blu, un altro verde e il terzo giallo. Qual è la probabilità che ogni urna contenga esattamente le palle del suo rispettivo colore? (A) $\frac{1}{3^{2014}}$ (B) $\frac{1}{3^{2013}}$ (C) $\frac{1}{9^{2014}}$ (D) $\frac{1}{3^{4017}}$ (E) $\frac{1}{9^{2013}}$

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Five-digit number xy26z divisible by 8, 9 and 11; find x

The five-digit number $\overline{xy26z}$, in which each of the letters represents a digit, is divisible by $8$, $9$ and $11$. What is the value of $x$? (A) $3$ (B) $5$ (C) $1$ (D) $4$ (E) $9$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Numero a cinque cifre xy26z divisibile per 8, 9 e 11; trovare x

Il numero a cinque cifre $\overline{xy26z}$, in cui ciascuna delle lettere rappresenta una cifra, è divisibile da $8$, $9$ e $11$. Qual è il valore di $x$? (A) $3$ (B) $5$ (C) $1$ (D) $4$ (E) $9$

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Telescoping product of (1 - F_{k}^2/F_{k+1}^2) over Fibonacci numbers

The Fibonacci sequence is defined recursively by $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ for $n\in \mathbb{Z}$ and $F_1=F_2=1$. Then $\left(1-\frac{F_2^2}{F_3^2}\right)\cdot \left(1-\frac{F_3^2}{F_4^2}\right)\cdot \left(1-\frac{F_4^2}{F_5^2}\right)\cdots \left(1-\frac{F_{2013}^2}{F_{2014}^2}\right)$ is equal to: (A) $\frac{F_{2016}}{F_{2013}^2}$ (B) $\frac{F_{2014}}{F_{2013}}$ (C) $\frac{F_{2015}^2}{F_{2013}^2}$ (D) $\frac{F_{2015}}{2}$ (E) $\frac{F_{2015}}{2F_{2013}{F}_{2014}}$

Topic: Algebra Metodo: Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prodotto telescopico di (1 - F_{k}^2/F_{k+1}^2) su numeri di Fibonacci

La sequenza di Fibonacci è definita recursivamente da $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ per $n\in \mathbb{Z}$ e $F_1=F_2=1$. Poi $\left(1-\frac{F_2^2}{F_3^2}\right)\cdot \left(1-\frac{F_3^2}{F_4^2}\right)\cdot \left(1-\frac{F_4^2}{F_5^2}\right)\cdots \left(1-\frac{F_{2013}^2}{F_{2014}^2}\right)$ è uguale a: (A) $\frac{F_{2016}}{F_{2013}^2}$ (B) $\frac{F_{2014}}{F_{2013}}$ (C) $\frac{F_{2015}^2}{F_{2013}^2}$ (D) $\frac{F_{2015}}{2}$ (E) $\frac{F_{2015}}{2F_{2013}{F}_{2014}}$

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Minimum number of key presses on a restricted operation-first calculator to reach 100

On a very simple calculator it is not possible to press two digits without pressing one of the operations $+$, $-$, $\times$ or $÷$ between the pressed digits. When a digit is pressed, the calculator performs the operation immediately. The calculator starts with $0$ on the display and the first key pressed must be an operation. That is, first one presses an operation, then a digit, then an operation, and so on. For example, one way to make $29$ appear on the display is to press $\boxed{+}$ and then $\boxed{7}$, making $0+7=7$ appear on the display; then press $\boxed{\times }$ and $\boxed{5}$, obtaining $7\times 5=35$ on the display, and finish by pressing $\boxed{-}$ and $\boxed{6}$, giving as result $35-6=29$. Thus, it is possible to obtain $29$ with $6$ key presses. Pedro wants the number $100$ to appear on the display. What is the minimum number of key presses, counting operations and digits, that Pedro must make on the calculator? (A) $2$ (B) $4$ (C) $6$ (D) $8$ (E) $10$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Minimum di pressioni a chiave su una calcolatrice di prima operazione limitata per raggiungere 100

In una calcolatrice molto semplice non è possibile premere due cifre senza premere una delle operazioni $+$, $-$, $\times$ o $÷$ tra le cifre stampate. Quando viene premuta una cifra, la calcolatrice esegue immediatamente l’operazione. La calcolatrice inizia con $0$ sul display e il primo tasto premuto deve essere un’operazione. Cioè, prima si premono un’operazione, poi un numero, poi un’operazione, e così via. Ad esempio, un modo per far apparire $29$ sul display è quello di premere $\boxed{+}$ e poi $\boxed{7}$, facendo apparire $0+7=7$ sul display; quindi premere $\boxed{\times }$ e $\boxed{5}$, ottenendo $7\times 5=35$ sul display, e finire premendo $\boxed{-}$ e $\boxed{6}$, dando come risultato $35-6=29$. Pertanto, è possibile ottenere $29$ con la pressione $6$. Pedro vuole che il numero $100$ compare sul display. Qual è il numero minimo di tastiere, operazioni di conteggio e numeri che Pedro deve fare sulla calcolatrice? (A) $2$ (B) $4$ (C) $6$ (D) $8$ (E) $10$

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Date today under Julian calendar given Gregorian reform of October 1582

In Portugal, October $4$, $1582$ was the last day of the Julian calendar, which was replaced by the calendar currently adopted, the Gregorian calendar. The following day was defined as October $15$, $1582$, that is, the days October $5$ to $14$, $1582$ did not exist. The only difference between the calendars is that, in the Julian calendar, all years multiple of $4$ were leap years; in the Gregorian calendar, the years that are multiples of $100$, but not of $400$, are not leap years. Thus, $1900$ would be a leap year in the Julian calendar, but not in the Gregorian calendar. What day would today, June $3$, $2014$, be if we had not changed the calendar? (A) May 20, 2014 (B) May 21, 2014 (C) May 22, 2014 (D) June 16, 2014 (E) June 17, 2014

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Congruenze Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Data di oggi secondo il calendario giuliano data la riforma gregoriana di ottobre 1582

In Portogallo, ottobre $4$, $1582$ è stato l’ultimo giorno del calendario giuliano, che è stato sostituito dal calendario attualmente adottato, il calendario gregoriano. Il giorno successivo è stato definito come ottobre $15$, $1582$, cioè i giorni da ottobre $5$ a $14$, $1582$ non esistevano. L’unica differenza tra i calendari è che, nel calendario giuliano, tutti gli anni multipli di $4$ erano anni bissai; nel calendario gregoriano, gli anni che sono multipli di $100$, ma non di $400$, non sono anni bissai. Pertanto, $1900$ sarebbe un anno bisuale nel calendario giuliano, ma non nel calendario gregoriano. Che giorno sarebbe oggi, giugno, se non avessimo cambiato il calendario? (A) 20 maggio 2014 (B) 21 maggio 2014 (C) 22 maggio 2014 (D) 16 giugno 2014 (E) 17 giugno 2014

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Count triangular trimino pieces with non-decreasing clockwise vertex labels 0-5

In the game of simplified trimino, a piece has the form of a triangle in which each of the vertices has a number from $0$ to $5$. It is known that for any piece of the simplified trimino, when the smallest of the numbers is placed at the top vertex, the numbers are in increasing order in the clockwise direction, that is, the piece belongs to the simplified trimino when $X\le Y\le Z$ (with $X$ at the top vertex, $Y$ at the bottom-right vertex and $Z$ at the bottom-left vertex). For example, among the four pieces shown, the first three belong to the game, but the fourth does not. How many pieces are there in a game of simplified trimino? (A) $216$ (B) $125$ (C) $120$ (D) $56$ (E) $30$

Topic: Combinatoria Metodo: Casi e conteggio, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i pezzi triangolari di trimino con etichette di vertice in senso orario non in diminuzione 0-5

Nel gioco del trimino semplificato, un pezzo ha la forma di un triangolo in cui ciascuno dei vertici ha un numero da $0$ a $5$. È noto che per qualsiasi pezzo del trimino semplificato, quando il numero più piccolo è posizionato al vertice superiore, i numeri sono in ordine crescente nella direzione in senso orario, cioè il pezzo appartiene al trimino semplificato quando $X\le Y\le Z$ (con $X$ al vertice superiore, $Y$ al vertice inferiore a destra e $Z$ al vertice inferiore a sinistra). Per esempio, tra i quattro pezzi mostrati, i primi tre appartengono al gioco, ma il quarto non. Quanti pezzi ci sono in un gioco di trimino semplificato? (A) $216$ (B) $125$ (C) $120$ (D) $56$ (E) $30$

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Find real a where roots of x^2-ax+b are squares of roots of x^2-bx+a

The roots of the equation $x^2-ax+b=0$ are different from zero and are the squares of the roots of the equation $x^2-bx+a=0$. The roots of the equations are not necessarily real, but $a$ and $b$ are real. Then the value of $a$ is: (A) $-\sqrt{2}$ (B) $\sqrt{2}$ (C) $\sqrt{3}$ (D) $\sqrt[3]{2}$ (E) $\sqrt[3]{3}$

Topic: Algebra Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova a reale dove le radici di x^2-ax+b sono quadrati di radici di x^2-bx+a

Le radici dell’equazione $x^2-ax+b=0$ sono diverse da zero e sono i quadrati delle radici dell’equazione $x^2-bx+a=0$. Le radici delle equazioni non sono necessariamente reali, ma $a$ e $b$ sono reali. Il valore di $a$ è quindi: (A) $-\sqrt{2}$ (B) $\sqrt{2}$ (C) $\sqrt{3}$ (D) $\sqrt[3]{2}$ (E) $\sqrt[3]{3}$

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Angle x in a circle figure with two isosceles triangles and parallel chords

Consider the figure on the side, where the points $A$ through $I$ are on a circumference. It is known that the triangles $ABC$ and $GHI$ are isosceles, that $AB$, $CD$, $EF$ and $GH$ are parallel segments and that $BC$, $DE$, $FG$ and $HI$ are parallel segments. What is the measure of the angle $x$ in degrees? (A) $15^{\circ }$ (B) $20^{\circ }$ (C) $30^{\circ }$ (D) $40^{\circ }$ (E) $45^{\circ }$

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Angolo x in una figura circolare con due triangoli e accordi paralleli *

Considerate la figura laterale, dove i punti $A$ a $I$ sono su una circonferenza. È noto che i triangoli $ABC$ e $GHI$ sono uguali, che $AB$, $CD$, $EF$ e $GH$ sono segmenti paralleli e che $BC$, $DE$, $FG$ e $HI$ sono segmenti paralleli. Qual è la misura dell’angolo $x$ in gradi? (A) $15^{\circ }$ (B) $20^{\circ }$ (C) $30^{\circ }$ (D) $40^{\circ }$ (E) $45^{\circ }$

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Smallest possible center value of a 3x3 multiplicative magic square

A multiplicative magic square is an $n\times n$ square with distinct positive integers whose products of the numbers in the same row, column or diagonal are equal. For example, we have the following multiplicative magic square: $\begin{array}{ccc}128& 1& 32\\ 4& 16& 64\\ 8& 256& 2\end{array}$ What is the smallest possible value of the number at the center of a $3\times 3$ multiplicative magic square? (A) $1$ (B) $2$ (C) $4$ (D) $6$ (E) $8$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Il minimo possibile valore centrale di un quadrato magico moltiplicativo 3x3

Un quadrato magico moltiplicativo è un quadrato $n\times n$ con numeri interi positivi distinti i cui prodotti dei numeri nella stessa riga, colonna o diagonale sono uguali. Ad esempio, abbiamo il seguente quadrato magico moltiplicativo: $\begin{array}{ccc}128& 1& 32\\ 4& 16& 64\\ 8& 256& 2\end{array}$ Qual è il valore più piccolo possibile del numero al centro di un quadrato magico moltiplicativo $3\times 3$? (A) $1$ (B) $2$ (C) $4$ (D) $6$ (E) $8$

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Sum of the roots of 1/(1+x)+2/(2+x)+3/(3+x)=1

The sum of the roots of the equation $\frac{1}{1+x}+\frac{2}{2+x}+\frac{3}{3+x}=1$ is: (A) $0$ (B) $6$ (C) $14$ (D) $11$ (E) $9$

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Summa delle radici di 1/(1+x)+2/(2+x)+3/(3+x)=1

La somma delle radici dell’equazione $\frac{1}{1+x}+\frac{2}{2+x}+\frac{3}{3+x}=1$ è: (A) $0$ (B) $6$ (C) $14$ (D) $11$ (E) $9$

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Area of APC given area of APB and P on internal bisector from A

In triangle $ABC$, $AC=5$ and $AB=6$. Let $P$ be a point on the internal bisector of angle $B\hat{A}C$. If the area of $APB$ is $\frac{3}{2}$, the area of $APC$ is: (A) $\frac{5}{4}$ (B) $\frac{9}{5}$ (C) $\frac{\sqrt{3}}{4}$ (D) $\frac{\sqrt{5}}{4}$ (E) $\frac{4}{5}$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Area di APC data area di APB e P sul bisettore interno da A

In triangolo $ABC$, $AC=5$ e $AB=6$. Il punto $P$ deve essere un punto sul bisector interno dell’angolo $B\hat{A}C$. Se la superficie di $APB$ è $\frac{3}{2}$, la superficie di $APC$ è: (A) $\frac{5}{4}$ (B) $\frac{9}{5}$ (C) $\frac{\sqrt{3}}{4}$ (D) $\frac{\sqrt{5}}{4}$ (E) $\frac{4}{5}$

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Count fillings of a 2x2014 0/1 board under an equal-neighbor constraint

Bitonho is playing on his cellphone the game Super Paciencia, whose objective is to fill a $2\times 2014$ board with zeros and ones in such a way that two equal neighboring numbers in the same row prevent the corresponding cells of the other row from also being filled with equal numbers. For example, in the drawing below, the values of $A$ and $B$ cannot be equal. $\begin{array}{ccccccc}0& 1& 0& \dots & 1& 1& \dots \\ 1& 1& 0& \dots & A& B& \dots \end{array}$ In how many ways can Bitonho fill a Super Paciencia board? (A) $3^{2014}$ (B) $4\cdot 3^{2013}$ (C) $4^{2014}$ (D) $2\cdot 3^{2014}$ (E) $3\cdot 4^{2014}$

Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conteggi di riempimento di una lavagna 2x2014 0/1 sotto un vincolo di parità di vicinato

Bitonho gioca sul suo cellulare il gioco Super Paciencia, il cui obiettivo è riempire una tabella $2\times 2014$ con zeri e uno in modo tale che due numeri vicini uguali nella stessa riga impediscano alle celle corrispondenti dell’altra riga di essere riempite anche con numeri uguali. Ad esempio, nel disegno di seguito, i valori di $A$ e $B$ non possono essere uguali. In quanti modi può Bitonho riempire un tavolo Super Paciencia? (A) $3^{2014}$ (B) $4\cdot 3^{2013}$ (C) $4^{2014}$ (D) $2\cdot 3^{2014}$ (E) $3\cdot 4^{2014}$

src_obm_2014_n3_f1__Q17

Count ordered positive-integer pairs (a,b) with 2014/(a^2+b^2) an integer

How many ordered pairs $(a,b)$ of positive integers exist such that $\frac{2014}{a^2+b^2}$ is an integer? (A) $1$ (B) $2$ (C) $3$ (D) $4$ (E) $5$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Conteggio ordinato di coppie di integri positivi (a,b) con 2014/(a^2+b^2) un intero

Quante coppie ordinate $(a,b)$ di numeri interi positivi esistono in modo tale che $\frac{2014}{a^2+b^2}$ sia un numero intero? (A) $1$ (B) $2$ (C) $3$ (D) $4$ (E) $5$

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Units digit of alternating sum of a 2x_{n+1}+x_n recurrence

A sequence $x_n$ has as first terms $x_0=x_1=2$ and the other terms defined by $x_{n+2}=2x_{n+1}+x_n$. What is the units digit of $x_0-x_1+x_2-x_3+\cdots -x_{2013}+x_{2014}$? (A) $0$ (B) $2$ (C) $4$ (D) $6$ (E) $8$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Telescoping, Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Unità di cifra di somma alternata di una ricorrenza 2x_{n+1}+x_n

Una sequenza $x_n$ ha come primi termini $x_0=x_1=2$ e gli altri termini definiti da $x_{n+2}=2x_{n+1}+x_n$. Qual è la cifra di unità di $x_0-x_1+x_2-x_3+\cdots -x_{2013}+x_{2014}$? (A) $0$ (B) $2$ (C) $4$ (D) $6$ (E) $8$

src_obm_2014_n3_f1__Q19

Number of integer solutions of a cyclic system of three quadratics

What is the number of integer solutions $(x,y,z)$ of the system $\{\begin{array}{l}{x}^2-6y=2z-15\\ y^2-6z=2x-15\\ z^2-6x=2y-15\end{array}$ (A) $1$ (B) $2$ (C) $4$ (D) $8$ (E) infinite

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Numero di soluzioni integrali di un sistema ciclico di tre quadratici

Qual è il numero di soluzioni interi $(x,y,z)$ del sistema $\{\begin{array}{l}{x}^2-6y=2z-15\\ y^2-6z=2x-15\\ z^2-6x=2y-15\end{array}$ (A) $1$ (B) $2$ (C) $4$ (D) $8$ (E) infinito

src_obm_2014_n3_f1__Q20

Height of a cone whose base is the equator of a radius-1 sphere through generatrix midpoints

A sphere of radius $1$ has as its equator the base of a cone and passes through the midpoints of its generatrices. What is the height of the cone? (A) $1$ (B) $\sqrt{1.5}$ (C) $\sqrt{2}$ (D) $\sqrt{3}$ (E) $2$

Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Altezza di un cono la cui base è l’equatore di una sfera di raggio 1 attraverso i punti medi della generatrice

Una sfera di raggio $1$ ha come ecuatore la base di un cono e passa attraverso i punti medi dei suoi generatori. Qual è l’altezza del cono? (A) $1$ (B) $\sqrt{1.5}$ (C) $\sqrt{2}$ (D) $\sqrt{3}$ (E) $2$

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Product of denominators of the two fractions intimate with 2014/51 (Farey neighbors)

Two fractions $\frac{a}{b}$ and $\frac{c}{d}$, with $a,b,c,d$ positive integers, are intimate when $ad-bc=\pm 1$. For example, $\frac{1}{2}$ is intimate with $\frac{1}{3}$ and $\frac{2}{3}$ since $1\cdot 3-2\cdot 1=1$ and $1\cdot 3-2\cdot 2=-1$. Two fractions intimate with $\frac{2014}{51}$ have denominator smaller than $51$. Being $\frac{x}{y}$ and $\frac{z}{w}$ these fractions, what is the value of $y\cdot w$? (A) $58$ (B) $68$ (C) $78$ (D) $88$ (E) $98$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Produzione dei denominatori delle due frazioni intimamente legate al 2014/51 (vicinanti di Farey) *

Due frazioni $\frac{a}{b}$ e $\frac{c}{d}$, con $a,b,c,d$ numeri interi positivi, sono intimi quando $ad-bc=\pm 1$. Ad esempio, $\frac{1}{2}$ è intimo con $\frac{1}{3}$ e $\frac{2}{3}$ dal momento che $1\cdot 3-2\cdot 1=1$ e $1\cdot 3-2\cdot 2=-1$. Due frazioni intimamente legate a $\frac{2014}{51}$ hanno denominatori inferiori a $51$. Essendo $\frac{x}{y}$ e $\frac{z}{w}$ queste frazioni, qual è il valore di $y\cdot w$? (A) $58$ (B) $68$ (C) $78$ (D) $88$ (E) $98$

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Fraction of fuel tank used with no leak, given consumption proportional to load

A tanker truck was full of water but began to leak. Suppose that the truck’s fuel consumption is directly proportional to the weight it carries and that the water flow rate and the truck’s speed are constant. After traveling $200$ km, the truck had half the water capacity and used half a tank of fuel. If it were empty, the truck would use, traveling the same distance under the same conditions, one sixth of a tank. What fraction of the tank would it use if there were no leak? Disregard the influence of the tank’s weight on gasoline consumption. (A) $\frac{11}{18}$ (B) $\frac{5}{9}$ (C) $\frac{2}{3}$ (D) $\frac{3}{4}$ (E) $\frac{4}{5}$

Topic: Algebra Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Fraczione del serbatoio di combustibile utilizzato senza perdite, dato il consumo proporzionale al carico

Un camion-cisterna era pieno di acqua, ma cominciò a fuoriuscire. Supponiamo che il consumo di carburante del camion sia direttamente proporzionale al peso che porta e che il flusso d’acqua e la velocità del camion siano costanti. Dopo aver percorso $200$ km, il camion aveva la metà della capacità dell’acqua e usava mezzo serbatoio di carburante. Se fosse vuoto, il camion avrebbe usato, viaggiando la stessa distanza nelle stesse condizioni, un sesto di un serbatoio. Che frazione del serbatoio userebbe se non ci fosse una perdita? Ignorare l’influenza del peso del serbatoio sul consumo di benzina. (A) $\frac{11}{18}$ (B) $\frac{5}{9}$ (C) $\frac{2}{3}$ (D) $\frac{3}{4}$ (E) $\frac{4}{5}$

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Length of AD for two isosceles right triangles whose hypotenuse-lines cross at 30 degrees

In the figure, $ABC$ and $DEF$ are isosceles right triangles with hypotenuses $BC$ and $EF$ measuring $15$, $D$ is on line $BC$ and $A$ is on line $EF$. The acute angle between the lines $BC$ and $EF$ is $30^{\circ }$. The segment $AD$ measures: (A) $\frac{15\sqrt{2}}{2}$ (B) $\frac{15(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2}$ (C) $\frac{15\sqrt{3}}{2}$ (D) $\frac{15\sqrt{6}}{2}$ (E) $15$

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Lunghezza di AD per due triangoli rettangolari a uguale occhio le cui linee di ipotenuza si incrociano a 30 gradi

Nella figura, $ABC$ e $DEF$ sono triangoli rettangolari a pari livello con ipoteni $BC$ e $EF$ che misurano $15$, $D$ è sulla linea $BC$ e $A$ è sulla linea $EF$. L’angolo acuto tra le linee $BC$ e $EF$ è $30^{\circ }$. Il segmento $AD$ misura: (A) $\frac{15\sqrt{2}}{2}$ (B) $\frac{15(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2}$ (C) $\frac{15\sqrt{3}}{2}$ (D) $\frac{15\sqrt{6}}{2}$ (E) $15$

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Probability a 3x4 rectangular coin lands fully inside a 10x20 rectangular tile

To calculate the probability that a coin of radius $r$ lands totally inside a tile formed of square tiles of side $\ell$, we compute the probability that its center lands inside a smaller square of side $\ell -2r$ (we remove a “border” of size $r$ from the sides of the square). That probability is equal to ${\left(\frac{\ell -2r}{\ell }\right)}^2$. In Esmeralandia, the coins are rectangular. What is the probability that a coin with sides $3$ and $4$ lands totally inside a tile formed by rectangles with sides $10$ and $20$? (A) Less than $0.375$. (B) Exactly $0.375$. (C) More than $0.375$ and less than $0.595$. (D) Exactly $0.595$. (E) More than $0.595$.

Topic: Probabilità, Geometria piana Metodo: Conteggio Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Probabilità che una moneta rettangolare 3x4 atterri completamente all’interno di una piastrella rettangolare 10x20

Per calcolare la probabilità che una moneta di raggio $r$ atterri totalmente all’interno di una piastrella formata da piastrelle quadrate di lato $\ell$, calcoliamo la probabilità che il suo centro atterri all’interno di un quadrato più piccolo di lato $\ell -2r$ (rilevamo un “frontiera” di dimensione $r$ dai lati del quadrato). Tale probabilità è pari a ${\left(\frac{\ell -2r}{\ell }\right)}^2$. In Esmeralandia, le monete sono rettangolari. Qual è la probabilità che una moneta con lati $3$ e $4$ atterri totalmente all’interno di una piastrella formata da rettangoli con lati $10$ e $20$? (A) Meno di $0.375$. (B) Esattamente $0.375$. (C) Più di $0.375$ e meno di $0.595$. (D) Esattamente $0.595$. (E) Più di $0.595$.

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