Olimpíada Brasileira de Matemática 2014 — Nível 3 — Fase 2

Ratio EG/GD in equilateral triangle with trisection points

In the figure below, triangle $ABC$ is equilateral and $BD=CE=AF=\frac{AB}{3}$. The ratio $\frac{EG}{GD}$ can be written in the form $\frac{m}{n}$ with $\gcd (m,n)=1$. What is the value of $m+n$?

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ratio EG/GD in triangolo equilaterale con punti di trisezione

Nella figura seguente, il triangolo $ABC$ è equilaterale e $BD=CE=AF=\frac{AB}{3}$. Il rapporto $\frac{EG}{GD}$ può essere scritto nella forma $\frac{m}{n}$ con $\gcd (m,n)=1$. Qual è il valore di $m+n$?

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Last two digits of odd-part of 2014

The odd part of $n$ is defined as the product of all odd natural numbers less than or equal to $n$. What are the last two digits of the odd part of $2014$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Le ultime due cifre della parte impar del 2014

La parte impar di $n$ è definita come il prodotto di tutti i numeri naturali impar meno o uguali a $n$. Quali sono le ultime due cifre della parte impar di $2014$?

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Integer closest to a_{2014} in a recursive sequence

The sequence $a_1,a_2,a_3,\dots$ satisfies $a_1=1$ and $a_n=\lceil \sqrt{a_{n-1}^2+n}\rceil$. What is the integer closest to $a_{2014}$?

Topic: Algebra Metodo: Ricorsione, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Integra più vicina a a_{2014} in una sequenza ricorsiva

La sequenza $a_1,a_2,a_3,\dots$ soddisfa $a_1=1$ e $a_n=\lceil \sqrt{a_{n-1}^2+n}\rceil$. Qual è il numero intero più vicino a $a_{2014}$?

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Count subsets of {1,…,2014} with median 2012, find remainder mod 2014

The median of a set $\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}$ with $a_1<a_2<\cdots <a_n$ is defined as the mean of the two central terms $\frac{a_{n/2}+a_{n/2+1}}{2}$ when $n$ is even, and as $a_{(n+1)/2}$ when $n$ is odd. Let $M$ be the number of subsets of $\{1,2,\dots ,2014\}$ with median equal to $2012$. Find the remainder of the division of $M$ by $2014$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contate i sottosette di {1,…2014} con media 2012, trovate il rimanente mod 2014

La media di un insieme $\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}$ con $a_1<a_2<\cdots <a_n$ è definita come la media dei due termini centrali $\frac{a_{n/2}+a_{n/2+1}}{2}$ quando $n$ è pari, e come $a_{(n+1)/2}$ quando $n$ è pari. $M$ è il numero di sottoinsiemi di $\{1,2,\dots ,2014\}$ con media pari a $2012$. Trova il resto della divisione di $M$ per $2014$.

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Maximum shadow area of a 3x4x6 box under 45-degree parallel light

A wooden box in the shape of a rectangular parallelepiped with dimensions $3\times 4\times 6$ rests on the floor with one of its faces completely flat on the floor. A light source emits parallel rays at $45^{\circ }$ to the floor. Considering only light from this source, what is the maximum possible area of the shadow cast on the floor (not including the area directly under the box)?

Topic: Geometria solida, Geometria analitica Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Casework accurato Area: Geometria Fonte: apri PDF

L’area massima di ombra di una scatola 3x4x6 sotto luce parallela di 45 gradi

Una scatola di legno in forma di parallelepipedone rettangolare con dimensioni $3\times 4\times 6$ si posa sul pavimento e una delle sue facce è completamente piatta sul pavimento. Una fonte luminosa emette raggi paralleli al pavimento a $45^{\circ }$. Considerando solo la luce proveniente da questa fonte, qual è la superficie massima possibile dell’ombra gettata sul pavimento (esclusa la superficie direttamente sotto la scatola)?

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Maximum size of completely divisible set containing 2016, elements below 2 million

A set is called \emph{completely divisible} if for any two elements $a<b$ in the set, $a$ divides $b$. A set of positive integers $A$ is completely divisible, contains $2016$ as one of its elements, and all elements of $A$ are less than $2,000,000$. What is the maximum number of elements that $A$ can have?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Fattorizzazione, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Massima dimensione di insieme completamente divisibile contenente elementi inferiori a 2 milioni *

Un insieme è chiamato \emph{completamente divisibile} se per due elementi $a<b$ nel insieme, $a$ divide $b$. Un insieme di integri positivi $A$ è completamente divisibile, contiene $2016$ come uno dei suoi elementi e tutti gli elementi di $A$ sono inferiori a $2,000,000$. Qual è il numero massimo di elementi che $A$ può contenere?

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Maximum students in classroom vote with given fraction constraints

In a classroom, a teacher held a vote on whether to postpone the mathematics exam. One third of the students voted in favour of postponement and the rest voted against. Several students argued and the teacher held a new vote, in which exactly $8$ students changed their minds, so that $\frac{3}{4}$ of the students voted against postponement. What is the maximum number of students who could have participated in the vote?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

La maggior parte degli studenti in classe vota con determinati limiti di frazione

In una classe, un insegnante ha votato se rinviare l’esame di matematica. Un terzo degli studenti ha votato a favore del rinvio e il resto ha votato contro. Diversi studenti hanno discusso e l’insegnante ha tenuto un nuovo voto, in cui esattamente $8$ gli studenti hanno cambiato idea, in modo che $\frac{3}{4}$ degli studenti hanno votato contro il rinvio. Qual è il numero massimo di studenti che avrebbero potuto partecipare al voto?

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Minimum points so every unit circle inside square 4x4 contains a point

Let $ABCD$ be a square with side length $4$. A set $S$ of points in the interior of $ABCD$ has the following property: every circle of radius $1$ contained entirely within $ABCD$ (i.e., contained in its interior or boundary) contains at least one point of $S$. What is the minimum number of points in $S$?

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Minimum di punti in modo che ogni cerchio unitario all’interno di quadrato 4x4 contiene un punto

Il $ABCD$ deve essere quadrato con lunghezza laterale $4$. Un insieme $S$ di punti all’interno di $ABCD$ ha la seguente proprietà: ogni cerchio di raggio $1$ contenuto interamente all’interno di $ABCD$ (cioè contenuto all’interno o al suo confine) contiene almeno un punto di $S$. Qual è il numero minimo di punti in $S$?

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Length SU in quadrilateral with inscribed circle, given tangent lengths

A circle is tangent to the four sides of quadrilateral $ABCD$. The points of tangency are $R$ on $AB$, $S$ on $BC$, $T$ on $CD$, and $U$ on $DA$. Given that $AU=1$, $DU=2$, $BS=2$, and $CS=4$, find the length $SU$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Lunghezza SU in quadrilatore con un cerchio inciso, date le lunghezze tangenti

Un cerchio è tangente ai quattro lati del quadrilaterale $ABCD$. I punti di tangenza sono $R$ su $AB$, $S$ su $BC$, $T$ su $CD$ e $U$ su $DA$. Dato che $AU=1$, $DU=2$, $BS=2$ e $CS=4$, si trova la lunghezza $SU$.

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