Olimpíada Brasileira de Matemática 2014 — Nível 3 — Fase 3

Convex quadrilateral with equal incircle radii implies rhombus

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral and let $P$ be the intersection of the diagonals $AC$ and $BD$. The radii of the incircles of triangles $ABP$, $BCP$, $CDP$, and $DAP$ are equal. Prove that $ABCD$ is a rhombus.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilatero converso con uguali radii di incircolo implica rombo

Che $ABCD$ sia un quadrilaterale convex e che $P$ sia l’intersezione delle diagonali $AC$ e $BD$. I radii degli incircoli dei triangoli $ABP$, $BCP$, $CDP$ e $DAP$ sono uguali. Provare che $ABCD$ è un rombo.

src_obm_2014_n3_f3__Q01

Find all integers n>1 such that digit sum divides remainder mod n

Find all integers $n>1$ with the following property: for every $k$ with $0\le k\le n$, there exists a multiple of $n$ whose digit sum, in base ten, leaves remainder $k$ when divided by $n$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutti gli enti n>1 in modo tale che la somma digitali divida il rimanente mod n

Trova tutti gli enti $n>1$ con la seguente proprietà: per ogni $k$ con $0\le k\le n$, esiste un multiple di $n$ la cui somma digitali, nella base dieci, lascia il rimanente $k$ quando diviso da $n$.

src_obm_2014_n3_f3__Q02

Combinatorial stone-pile game: determine winner for each N

Let $N$ be an integer greater than 2. Arnaldo and Bernaldo play the following game: there are $N$ stones in a pile. On the first move, made by Arnaldo, he must remove a quantity $k$ of stones from the pile with $1\le k\le N$. Then Bernaldo must remove a quantity of stones from the pile with $1\le m\le 2k$, and so on; each player, alternately, removes a quantity of stones from the pile between $1$ and twice the quantity that the opponent removed, inclusive. The player who takes the last stone wins.

For each value of $N$, determine which player is guaranteed a win regardless of how the other plays, and explain what the winning strategy is for each case.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Backward, Induzione Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Gioco combinatorio di pile di pietra: determinare il vincitore per ogni N

$N$ deve essere un numero intero superiore a 2. Arnaldo e Bernaldo giocano il seguente gioco: ci sono $N$ pietre in una pila. Nella prima mossa, fatta da Arnaldo, deve rimuovere una quantità $k$ di pietre dalla pila con $1\le k\le N$. Quindi Bernaldo deve rimuovere una quantità di pietre dalla pila con $1\le m\le 2k$, e così via; ogni giocatore, alternativamente, rimuove una quantità di pietre dalla pila tra $1$ e il doppio della quantità che l’avversario ha rimosso, inclusa. Il giocatore che prende l’ultima pietra vince.

Per ogni valore di $N$, determinare quale giocatore è garantito una vittoria indipendentemente dal modo in cui gli altri giocano e spiegare quale sia la strategia vincente per ogni caso.

src_obm_2014_n3_f3__Q03

Infinite polynomial sequence: find largest k such that P_{2014}(x) is divisible by x^k

An infinite sequence of polynomials $P_0(x),P_1(x),P_2(x),\dots ,P_n(x),\dots$ is defined by $P_0(x)=x\text{and}{P}_n(x)=P_{n-1}(x-1)\cdot P_{n-1}(x+1),\text{ for all }n\ge 1.$ Determine the largest integer $k$ for which the polynomial $P_{2014}(x)$ is a multiple of $x^k$.

Topic: Algebra Metodo: Ricorsione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenza polinomica infinita: trovare la più grande k tale che P_{2014}(x) sia divisibile da x^k

Una sequenza infinita di polinomi $P_0(x),P_1(x),P_2(x),\dots ,P_n(x),\dots$ è definita da $P_0(x)=x\text{and}{P}_n(x)=P_{n-1}(x-1)\cdot P_{n-1}(x+1),\text{ for all }n\ge 1.$ Determina il numero intero più grande $k$ per il quale il polinomio $P_{2014}(x)$ è un multiple di $x^k$.

src_obm_2014_n3_f3__Q04

2m x 2n board tromino operation: conditions to equalize all entries

In each cell of a $2m\times 2n$ board an integer is written. The allowed operation is to choose three cells forming an L-tromino (that is, one cell $C$ and two other cells sharing a side with $C$, one horizontally and one vertically) and add $1$ to the integer in each of the three chosen cells. Determine the necessary and sufficient condition, in terms of $m$, $n$, and the initial numbers, for it to be possible to make all numbers on the board equal.

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Invarianti, Colorazione, Casework Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

2m x 2n operazione di trombino di tavola: condizioni per igualarne tutte le voci

In ogni cella di una tabella $2m\times 2n$ viene scritto un numero intero. L’operazione consentita è quella di scegliere tre celle che formano un L-tromino (cioè una cellula $C$ e altre due celle che condividono un lato con $C$, una orizzontale e una verticale) e di aggiungere $1$ al numero intero di ciascuna delle tre celle scelte. Determinare la condizione necessaria e sufficiente, in termini di $m$, $n$, e dei numeri iniziali, per rendere possibili che tutti i numeri della tabella siano uguali.

src_obm_2014_n3_f3__Q05

Mixtilinear incircles tangent lines form triangle: incentre-circumcentre collinearity

Let $ABC$ be a triangle with incenter $I$ and incircle $\omega$. The circle ${\omega }_A$ is tangent externally to $\omega$ and touches sides $AB$ and $AC$ at $A_1$ and $A_2$, respectively. Let $r_A$ be the line $A_1{A}_2$. Define $r_B$ and $r_C$ analogously. The lines $r_A$, $r_B$, and $r_C$ determine a triangle $XYZ$. Prove that the incenter of $XYZ$, the circumcenter of $XYZ$, and $I$ are collinear.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Incircoli mistilineari linee tangenti formano un triangolo: collinearità incentro-circumcentro

Il $ABC$ deve essere un triangolo con incentro $I$ e incircolo $\omega$. Il cerchio ${\omega }_A$ è tangente esternamente a $\omega$ e tocca i lati $AB$ e $AC$ rispettivamente a $A_1$ e $A_2$. La linea $r_A$ deve essere $A_1{A}_2$. Definire analogamente $r_B$ e $r_C$. Le linee $r_A$, $r_B$ e $r_C$ determinano un triangolo $XYZ$. Prova che l’incentro di $XYZ$, il circoncentro di $XYZ$ e $I$ sono collineari.

src_obm_2014_n3_f3__Q06