Square cut into 3 pieces rearranged into rectangle; find new perimeter
In a square of perimeter cm, and are midpoints of two adjacent sides. is the center and is a vertex. By cutting the square along the dashed lines and rearranging the three pieces, a rectangle is formed with the same area as the original square but a different perimeter. What is this perimeter?
Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Quadro tagliato in 3 pezzi riordinati in rettangolo; trovare un nuovo perimetro
In un quadrato di perimetro cm, e sono i punti di mezzo di due lati adiacenti. è il centro e è un vertice. Tagliando il quadrato lungo le linee tracciate e riordinando i tre pezzi, si forma un rettangolo con la stessa area del quadrato originale ma un perimetro diverso. Qual e’ questo perimetro?
T-shirt discounts: 3 at 10% vs 2 at 5%, difference 12 reais; find discounted price
Júlia bought equal T-shirts and paid with a discount, while her brother bought T-shirts of the same type and paid with a discount. Júlia’s brother paid reais more than Júlia. What is the price, in reais, of each T-shirt at Júlia’s discounted price?
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Sconti sulle magliette: 3 al 10% contro 2 al 5%, differenza 12 reais; trovare prezzo scontato
Júlia ha comprato magliette uguali e pagato con uno sconto , mentre suo fratello ha comprato magliette dello stesso tipo e pagato con uno sconto . Il fratello di Júlia ha pagato reais più di Júlia. Qual è il prezzo, in reais, di ogni T-shirt al prezzo scontato di Júlia?
Two 1 cm-wide strips cut into rectangles forming 100 cm decorative strip; find original width
Two strips of width cm, one black and one white, were glued together to form smaller rectangles. The rectangles were placed side by side (with no overlaps and using both strips completely) to form the decorative strip shown below. If the decorative strip has a total length of cm, what was the width, in cm, of each strip before it was cut?
(The strip shows alternating black-and-white rectangular pieces arranged in a row of total length cm.)
Topic: Teoria dei Numeri, Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Modellizzazione, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Fonte: apri PDF
Due strisce di 1 cm di larghezza tagliate in rettangoli che formano una striscia decorativa di 100 cm; trovare larghezza originale
Due strisce di larghezza cm, una nera e una bianca, sono state incollate insieme per formare rettangoli più piccoli. I rettangoli sono stati posizionati fianco a fianco (senza sovrapposizioni e utilizzando entrambe le strisce completamente) per formare la striscia decorativa mostrata di seguito. Se la striscia decorativa ha una lunghezza totale di cm, quale era la larghezza, in cm, di ciascuna striscia prima di essere tagliata?
(La striscia mostra pezzi rettangolari in bianco e nero alternati disposti in una fila di lunghezza totale cm.)
2015 people at round table, each says one neighbor honest and one dishonest; count honest
There are people seated around a circular table. Each of them is either honest (always tells the truth) or dishonest (always lies). Each person makes the following statement: “One of my two neighbors (the one on the left or the one on the right) is honest, and the other neighbor is dishonest.” What is the number of honest people in the group?
Topic: Logica, Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
2015 persone a tavola rotonda, ognuno dice un vicino onesto e un disonesto; contare onesto
Ci sono persone sedute attorno a un tavolo circolare. Ognuno di loro è onesto o disonesto. Ognuno dice: “Uno dei miei due vicini (il di sinistra o quello di destra) è onesto, e l’altro è disonesto”.
Sequence of grids (white and gray squares, same rule); find excess gray over white in figure 30
Elisa builds a sequence of grids made of white and gray unit squares, always following the same rule, as illustrated below (Figure 1, Figure 2, Figure 3, Figure 4, ).
(Figures show the successive grids in the pattern.)
In Figure , how many more gray squares are there than white squares?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Induzione Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Sequenza di griglie (quadrati bianchi e grigi, medesima regola); trovare l’eccesso di grigio sul bianco nella figura 30
Elisa costruisce una sequenza di griglie di quadrati di unità bianche e grigi, seguendo sempre la stessa regola, come illustrato di seguito (Figura 1, Figura 2, Figura 3, Figura 4, ).
(Le figure mostrano le reti successive del modello.)
Nella figura , quanti quadrati grigie ci sono di più rispetto ai quadrati bianchi?
Paint 12 vertices of 12 squares with 3 colors so each square has exactly 2 green and 2 yellow vertices
In the figure there are squares. Matilu wants to paint the vertices of these squares using three colors — green, yellow, and blue — so that each square has exactly green vertices and yellow vertices. In how many different ways can these vertices be painted?
Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Dipingere 12 vertici di 12 quadrati con 3 colori in modo che ogni quadrato abbia esattamente 2 vertici verdi e 2 gialli
Nella figura ci sono quadrati . Matilu vuole dipingere i vertici di questi quadrati utilizzando tre colori verde, giallo e blu in modo che ogni quadrato abbia esattamente vertici verdi e vertici gialli. In quanti modi diversi si possono dipingere questi vertici?
10-digit numbers where each new digit equals sum of all previous (or last digit of that sum); find smallest, largest, possible last digits
Janaina likes to write -digit numbers in the following way:
(i) She writes each digit from left to right, never using a leading zero (the first digit is nonzero);
(ii) Each new digit she writes must equal the sum of all digits written so far, OR it must equal the last digit of that sum. For example, she can write , because , is the last digit of , is the last digit of , and so on. Another example is .
a) What is the smallest number she can write?
b) What is the largest number she can write?
c) Which digits can appear as the last (tenth) digit?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
*numeri a 10 cifre in cui ogni nuova cifra è pari alla somma di tutte le precedenti (o ultime cifre di tale somma); trovare le cifre più piccole, più grandi e possibili *
Janaina ama scrivere numeri a cifre come segue:
(i) Scrive ogni cifra da sinistra a destra, senza mai usare un primo zero (la prima cifra non è zero);
(ii) Ogni nuova cifra deve essere uguale alla somma di tutte le cifre scritte finora, O deve essere uguale all’ultima cifra di tale somma. Ad esempio, può scrivere , perché , è l’ultima cifra di , è l’ultima cifra di , e così via. Un altro esempio è .
a) Qual è il numero più piccolo che possa scrivere?
b) Qual è il numero più grande che possa scrivere?
c) Quali cifre possono apparire come ultima (decima) cifra?
Regular hexagon with center O made of 6 equilateral triangles (side 6 cm); find areas of various sub-regions
The regular hexagon with center , shown to the side, is composed of equilateral triangles of side cm.
a) What is the area, in , of the triangle whose vertices are the points , , and ?
b) What is the area, in , of the quadrilateral ?
c) The triangles and overlap partially. What is the area, in , of the region common to both triangles, indicated in gray in the figure below?
d) What is the area, in , of the triangle whose vertices are the midpoints of sides , , and ?
Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF
Esagono regolare con centro O costituito da 6 triangoli equilaterali (lato 6 cm); trovare aree di varie sottoregioni
L’esagono regolare con centro , mostrato lateralmente, è composto da triangoli equilaterali di lato cm.
a) Qual è la superficie, in , del triangolo i cui vertici sono i punti , e ?
b) Qual è la superficie, in , del quadrilaterale ?
c) I triangoli e si sovrappongono parzialmente. Qual è la superficie, in , della regione comune a entrambi i triangoli, indicata in grigio nella figura seguente?
d) Qual è l’area, in , del triangolo le cui vertici sono i punti medi dei lati , e ?
Unit cubes assembled into larger cube then painted; count faces by visibility
Esmeralda glues white unit cubes together to build larger cubes. After assembling the larger cubes, she paints some of the visible faces of the small cubes green or yellow.
a) After assembling a large cube of side (made of small cubes), Esmeralda paints green the faces of small cubes that have exactly visible faces, and paints yellow the faces of small cubes that have exactly visible faces. After painting, faces are yellow. How many faces remain unpainted on the small cubes?
b) After assembling a large cube made of small cubes, Esmeralda painted faces of the large cube green and face yellow. At most, how many small cubes could have had exactly green faces and yellow face?
Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Cubbi di unità assemblati in cubetti più grandi e poi dipinti; contare le facce per visibilità
Esmeralda incolla i cubetti bianchi per costruire cubetti più grandi. Dopo aver riunito i cubetti più grandi, dipinge alcune delle facce visibili dei piccoli cubetti in verde o giallo.
a) Dopo aver assemblato un grande cubo laterale (fatto di piccoli cubetti), Esmeralda dipinge di verde le facce di piccoli cubetti che hanno esattamente facce visibili e di giallo le facce di piccoli cubetti che hanno esattamente facce visibili. Dopo la vernice, le facce sono gialle. Quanti volti sono rimasti non dipinti sui piccoli cubetti?
b) Dopo aver assemblato un grande cubo di piccoli cubetti, Esmeralda dipinse le facce del grande cubo verde e la faccia gialla. Al massimo, quanti piccoli cubetti avrebbero potuto avere esattamente volti verdi e volti gialli?