Olimpíada Brasileira de Matemática 2015 — Nível 1 — Fase 3

Count cubes in cubic frames (skeletons); find special frame size

Zuleica glues equal polystyrene cubes to build “skeletons” of cubes (cubic frames), as in the example shown in the figure.

a) How many cubes did she use to build the skeleton shown in the figure?

b) If she wants to complete the largest cube that contains the skeleton, filling all the empty spaces and continuing to build the skeleton, how many cubes in total will she need? How many additional cubes will she have to use?

c) There exists a cube whose skeleton, once built, requires a number of cubes equal to the number of cubes needed to fill the empty spaces of that skeleton. If Zuleica wants to build the skeleton of this cube, how many cubes will she need to use?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i cubetti in quadri cubici (skeletoni); trovare una dimensione speciale del quadro

Zuleica incolla cubetti di polistirolo uguali per costruire “scheletri” di cubetti (quadro cubico), come nell’esempio mostrato nella figura.

a) Quanti cubetti usò per costruire lo scheletro mostrato nella figura?

b) Se vuole completare il cubo più grande che contiene lo scheletro, riempendo tutti gli spazi vuoti e continuando a costruire lo scheletro, quanti cubhi in totale avrà bisogno? Quanti cubetti aggiuntivi dovrà usare?

c) Esiste un cubo il cui scheletro, una volta costruito, richiede un numero di cubetti uguale al numero di cubetti necessari per riempire gli spazi vuoti di quel scheletro. Se Zuleica vuole costruire lo scheletro di questo cubo, quanti cubhi avrà bisogno di usare?

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Nine cards 1–9 stacked; three people draw two each; analyse remaining sums

Nine cards numbered $1$ to $9$ were shuffled and stacked. Ana, Beto, and C\u00e9lio each drew two cards, leaving three cards on the pile.

a) What is the greatest possible sum of the numbers on the cards that remained on the table?

b) If the sum of the numbers on each person’s pair of cards is the same for all three people, what is the smallest possible sum of the numbers on the cards left on the table?

c) In how many different ways can the situation described in (b) occur (i.e., in how many ways can the $6$ drawn cards be divided into three pairs all having the same sum)?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Nove carte 19 accumulate; tre persone disegnano due ciascuno; analizzano le somme rimanenti *

Nove carte numerate $1$ a $9$ sono state mescolate e impilate. Ana, Beto e C\u00e9lio hanno disegnato due carte, lasciando tre carte sulla pila.

a) Qual è la somma più grande possibile dei numeri delle carte che sono rimaste sul tavolo?

b) Se la somma dei numeri della coppia di carte di ciascuna persona è la stessa per tutte e tre le persone, qual è la somma più piccola possibile dei numeri delle carte lasciate sulla tavola?

c) In quanti modi diversi può verificarsi la situazione descritta alla lettera b) (cioè, in quanti modi le carte tirate $6$ possono essere suddivise in tre coppie che hanno tutte la stessa somma)?

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Truck driver measures log length via uphill/downhill pace counts

Coming down from a hill, a truck driver found a log blocking the road. To measure the length of the log, he did the following: starting from the base of the log he walked to the top, counting $20$ paces; then immediately turned around and walked from the top of the log back to the base, counting $140$ paces. His paces are $80$ centimetres long, and each pace he takes moves him forward by the same distance.

a) Let $\ell$ be the length of the log in metres. How many metres did the truck driver walk while taking his $20$ paces up to the top of the log? (The letter $\ell$ must appear in your answer.)

b) What is the value of $\ell$?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Backward Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Il conducente del camion misura la lunghezza del registro tramite conteggiamenti di ritmi in salita/in discesa

Un camionista, scendendo da una collina, trovò un tronco che bloccava la strada. Per misurare la lunghezza del registro, ha fatto quanto segue: partendo dalla base del registro ha camminato verso l’alto, contando i passi $20$; poi immediatamente si è girato e ha camminato dalla parte superiore del registro di nuovo alla base, contando i passi $140$. I suoi passi sono $80$ centimetri di lunghezza, e ogni passo che prende lo sposta avanti per la stessa distanza.

a) Il $\ell$ deve essere la lunghezza del registro in metri. Quanti metri ha camminato il camionista mentre ha fatto i suoi passi $20$ fino alla cima del tronco? (La lettera $\ell$ deve apparire nella tua risposta.)

b) Qual è il valore di $\ell$?

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Cryptarithmetic expression with 8 distinct nonzero digits; prove and solve

In the expression below, each letter represents a nonzero digit and two different letters represent different digits: $(F+E+L+Z)\times (A+N+O)\times (N+O+V+O)$

a) If the values of the letters are assigned in alphabetical order (i.e., $A\le E\le F$, etc.), what is the value of the expression?

b) Show that the value of the expression can never equal $2015$.

c) Find the value of each letter in the equality: $(F+E+L+Z)\times (A+N+O)\times (N+O+V+O)=1715$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Espressione aritmetica criptografica con 8 diversi numeri non-zero; prova e risolvi

Nell’espressione seguente, ogni lettera rappresenta una cifra non zero e due lettere diverse rappresentano cifre diverse: $(F+E+L+Z)\times (A+N+O)\times (N+O+V+O)$

a) Se i valori delle lettere sono assegnati in ordine alfabetico (cioè $A\le E\le F$, ecc.), qual è il valore dell’espressione?

b) Indicare che il valore dell’espressione non può mai essere uguale a $2015$.

c) Trovare il valore di ciascuna lettera nell’uguaglianza: $(F+E+L+Z)\times (A+N+O)\times (N+O+V+O)=1715$

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Triangle areas with midpoint, squares built on sides, and nested squares figure

a) Point $M$ belongs to side $BC$ of triangle $ABC$ in such a way that $BM=MC$. If the area of triangle $AMC$ is equal to $5{\text{ cm}}^2$, what is the area of triangle $ABC$?

b) On each side of a triangle of area $10{\text{ cm}}^2$, a square was constructed using one vertex of the triangle and two vertices of the squares, as shown in Figure 1. Then the squares were removed and each of the triangles constructed using one side of the initial triangle and two vertices of the squares was rotated $180^{\circ }$ about the midpoint of the corresponding side, to coincide with that side of the initial triangle, as shown in Figure 2. What is the area of the figure formed by the four triangles?

c) In the figure below, there are squares $ABCD$, $EFGH$, $CHIJ$, $LDJM$, and $JGON$. It is known that $AB=5$ cm, $BI=5$ cm, $IE=5$ cm, and $EF=12$ cm. What is the area of triangle $MNJ$?

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Zoni triangolari con punto medio, quadrati costruiti su lati e quadrati incastonati *

a) Il punto $M$ appartiene al lato $BC$ del triangolo $ABC$ in modo tale che $BM=MC$. Se l’area del triangolo $AMC$ è uguale a $5{\text{ cm}}^2$, qual è l’area del triangolo $ABC$?

b) Su ciascun lato di un triangolo di superficie $10{\text{ cm}}^2$, è stato costruito un quadrato utilizzando un vertice del triangolo e due vertici dei quadrati, come mostrato alla figura 1. Poi i quadrati sono stati rimossi e ciascuno dei triangoli costruiti utilizzando un lato del triangolo iniziale e due vertici dei quadrati sono stati ruotati $180^{\circ }$ circa il punto medio del lato corrispondente, per coincidere con quel lato del triangolo iniziale, come mostrato nella Figura 2. Qual è l’area della figura formata dai quattro triangoli?

c) Nella figura seguente, ci sono quadrati $ABCD$, $EFGH$, $CHIJ$, $LDJM$ e $JGON$. È noto che $AB=5$ cm, $BI=5$ cm, $IE=5$ cm e $EF=12$ cm. Qual è l’area del triangolo $MNJ$?

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