Olimpíada Brasileira de Matemática 2015 — Nível 2 — Fase 1

Order of cars arriving in a race from clues

Juquinha and his friends organized a race with their cars. The white car (B) arrived before the red one (V) and after the maroon one (M). The yellow car (A) arrived after the maroon one and before the red one. From first to last, what is the order of the cars?

• (A) $B-A-V-M$
• (B) $B-V-A-M$
• (C) $B-M-A-V$
• (D) $B-M-V-A$
• (E) $B-A-M-V$

Topic: Logica Abilita: Lettura attenta, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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Ordine delle auto che arrivano in gara da indizi

Juquinha e i suoi amici organizzarono una gara con le loro auto. L’auto bianca (B) è arrivata prima di quella rossa (V) e dopo quella marrone (M). La macchina gialla (A) è arrivata dopo quella marrone e prima di quella rossa. Dall’inizio alla fine, qual è l’ordine delle auto?

• (A) $B-A-V-M$
• (B) $B-V-A-M$
• (C) $B-M-A-V$
• (D) $B-M-V-A$
• (E) $B-A-M-V$

src_obm_2015_n2_f1__Q01

How many years this century have digit-mean equal to 2

The arithmetic mean of the digits of the year 2015 equals 2, since $\frac{2+0+1+5}{4}=\frac{8}{4}=2$. How many times this century will it happen that the mean of the digits of the year equals 2?

(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 9

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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Quanti anni di questo secolo hanno la media digitali uguale a 2

La media aritmetica dei numeri dell’anno 2015 è pari a 2, dal momento che $\frac{2+0+1+5}{4}=\frac{8}{4}=2$. Quante volte in questo secolo succederà che la media delle cifre dell’anno sia uguale a 2?

(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 9

src_obm_2015_n2_f1__Q02

Angle BAD in a regular dodecagon

The figure beside represents a regular dodecagon. What is the measure of the angle $\angle BAD$?

(A) $15^{\circ }$ (B) $30^{\circ }$ (C) $45^{\circ }$ (D) $60^{\circ }$ (E) $75^{\circ }$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

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BAD d’angolo in dodicagone regolare

La figura accanto rappresenta un dodicagono regolare. Qual è la misura dell’angolo $\angle BAD$?

(A) $15^{\circ }$ (B) $30^{\circ }$ (C) $45^{\circ }$ (D) $60^{\circ }$ (E) $75^{\circ }$

src_obm_2015_n2_f1__Q03

Possible date of Marta’s birthday given Mother’s Day constraint

Joao is a very thoughtful man and decided to celebrate, on a single day, Mother’s Day and his wife Marta’s birthday. Knowing that in a given year the two dates coincided, and that the day after, the celebration would no longer coincide (Mother’s Day being celebrated on the second Sunday of May), which of the options represents a possible date for Marta’s birthday?

(A) 04 May (B) 05 May (C) 06 May (D) 07 May (E) 08 May

Topic: Logica, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Possibile data del compleanno di Marta data la limitazione del Giorno della Madre

Joao è un uomo molto premuroso e ha deciso di festeggiare, in un solo giorno, il giorno della Madre e il compleanno di sua moglie Marta. Sapendo che in un determinato anno le due date coincidono e che il giorno dopo la celebrazione non coinciderà più (il giorno della madre viene celebrato la seconda domenica di maggio), quale delle opzioni rappresenta una possibile data per il compleanno di Marta?

(A) 04 maggio (B) 05 maggio (C) 06 maggio (D) 07 maggio (E) 08 maggio

src_obm_2015_n2_f1__Q04

Minimum number of colors to paint faces of a pentagonal prism

Wagner wants to paint the faces of two pentagonal prisms. Since two faces sharing a common edge cannot have the same color, but two faces sharing only a vertex may have the same color, as shown in the figure, what is the minimum possible number of colors? What is this number?

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7

Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Colorazione Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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Numero minimo di colori per dipingere le facce di un prisma pentagonale

Wagner vuole dipingere i volti di due prismi pentagonali. Poiché due facce che condividono un bordo comune non possono avere lo stesso colore, ma due facce che condividono solo un vertice possono avere lo stesso colore, come mostrato nella figura, qual è il numero minimo possibile di colori? Che numero è questo?

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7

src_obm_2015_n2_f1__Q05

Solution set of (x-a)^2 = b^2 with a,b positive reals

The solution set of the equation $(x-a{)}^2=b^2$, with $a,b$ positive real numbers, is:

(A) $\{a+b\}$ (B) $\{a-b\}$ (C) $\{a+b,a-b\}$ (D) $\{-a+b,a+b\}$ (E) $\{a+b,-a-b\}$

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

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insieme di soluzioni di (x-a)^2 = b^2 con a,b reali positivi

L’insieme di soluzioni dell’equazione $(x-a{)}^2=b^2$, con $a,b$ numeri reali positivi, è:

(A) $\{a+b\}$ (B) $\{a-b\}$ (C) $\{a+b,a-b\}$ (D) $\{-a+b,a+b\}$ (E) $\{a+b,-a-b\}$

src_obm_2015_n2_f1__Q06

Election runoff winner from vote-transfer percentages in a table

In the table below, we see part of the results of the elections in a certain country, in which the percentages refer to the total number of voters.

Parties / Rounds | AA | BB | CC | Other parties or null votes 1st round | 39% | 31% | 20% | 10% 2nd round | ? | ? | 0 | ?

In the second round, all the voters who voted for party AA kept their votes and the same happened with the voters of party BB. Of those who voted for party CC in the first round, 40% voted for party AA in the second round and the rest for party BB. Of those who had voted for other parties or cast null votes, 50% continued voting null and the rest split equally between AA and BB. Which party won the second-round election and with how many votes?

• (A) AA with more than 47% of the votes.
• (B) BB with more than 35% of the votes.
• (C) AA with 51% of the votes.
• (D) BB with more than 47% of the votes.
• (E) None of the previous statements follows from the given information.

Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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Il vincitore del primo turno delle elezioni dalle percentuali di trasferimento dei voti in una tabella

Nella tabella che segue si vedono alcuni dei risultati delle elezioni in un determinato paese, in cui le percentuali si riferiscono al numero totale di elettori.

Partiti / Ronde AA BB CC Altri partiti o voti nulli nel primo round 39% 31% 20% 10% nel secondo round ? | ? | 0 | ?

Nel secondo turno, tutti gli elettori che hanno votato per il partito AA hanno mantenuto i loro voti e lo stesso è successo con gli elettori del partito BB. Di coloro che hanno votato per il partito CC nel primo turno, il 40% ha votato per il partito AA nel secondo turno e il resto per il partito BB. Di coloro che avevano votato per altri partiti o hanno votato nullamente, il 50% ha continuato a votare nullamente e il resto è stato ripartito in modo uguale tra AA e BB. Quale partito ha vinto le elezioni del secondo turno e con quanti voti?

• (A) AA con più del 47% dei voti.
• (B) BB con più del 35% dei voti.
• (C) AA con il 51% dei voti.
• (D) BB con più del 47% dei voti.
• (E) Nessuna delle dichiarazioni precedenti deriva dalle informazioni fornite.

src_obm_2015_n2_f1__Q07

Sum of squares of vowel and consonant counts in the correct answer

What is the sum of the squares of the quantities of vowels and consonants of the correct answer? Note: do not count the letters A, B, C, D, E of the alternatives.

(A) Twenty-six (B) Seventy-three (C) Eighty-five (D) Ninety-six (E) One hundred and sixteen

Topic: Logica, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Summa dei quadrati delle vocali e delle consonanti contati nella risposta corretta

Qual è la somma dei quadrati delle quantità di vocali e consonanti della risposta corretta? Nota: non contare le lettere A, B, C, D, E delle alternative.

(A) Venti-sei (B) Settanta-tre (C) Ottantacinque (D) Novanta-sei (E) cento sedici

src_obm_2015_n2_f1__Q08

Length GC in figure with equilateral triangle and trisected segment

In the figure beside, the sides $CD$ and $AB$ are parallel. $ABC$ is an equilateral triangle, $DG=GF=FE$ and $AB=12$; determine the length of $GC$.

(A) 4 (B) 3 (C) 8 (D) 5 (E) 2

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Lunghezza GC in figura con triangolo equilaterale e segmento triciclato

Nella figura accanto, i lati $CD$ e $AB$ sono paralleli. $ABC$ è un triangolo equilaterale, $DG=GF=FE$ e $AB=12$; determina la lunghezza di $GC$.

(A) 4 (B) 3 (C) 8 (D) 5 (E) 2

src_obm_2015_n2_f1__Q09

Next year after 2015 that coincides with it (same days and weekdays)

We say that two years coincide if they have the same number of days and the same days of the week on all dates that coincide. The year 2015 coincides with 2009. What is the next year after 2015 that coincides with 2015? Remember that we use multiples of 4 to find the leap years of century XXI (but the multiples of 100 are not leap, except multiples of 400), which have 366 days; the others have 365 days.

(A) 2021 (B) 2022 (C) 2023 (D) 2025 (E) 2026

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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*L’anno successivo dopo il 2015 che coincide con esso (gli stessi giorni e giorni feriali) *

Noi diciamo che due anni coincidono se hanno lo stesso numero di giorni e gli stessi giorni della settimana su tutte le date che coincidono. L’anno 2015 coincide con il 2009. Qual è il prossimo anno dopo il 2015 che coincide con il 2015? Ricordate che usiamo multipli di 4 per trovare gli anni a salto del XXI secolo (ma i multipli di 100 non sono salti, eccetto i multipli di 400), che hanno 366 giorni; gli altri hanno 365 giorni.

(A) 2021 (B) 2022 (C) 2023 (D) 2025 (E) 2026

src_obm_2015_n2_f1__Q10

Smallest integer that is double a square and triple a cube

The number $5^2=25$ is a perfect square and the number $4^3=64$ is a perfect cube. What is the smallest positive integer that is double a perfect square and at the same time triple a perfect cube?

(A) 72 (B) 98 (C) 144 (D) 216 (E) 256

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Il numero intero più piccolo che è doppio di un quadrato e triplo di un cubo

Il numero $5^2=25$ è un quadrato perfetto e il numero $4^3=64$ è un cubo perfetto. Qual è il numero intero positivo più piccolo che è doppio di un quadrato perfetto e allo stesso tempo triplo di un cubo perfetto?

(A) 72 (B) 98 (C) 144 (D) 216 (E) 256

src_obm_2015_n2_f1__Q11

Sum of numbers in white squares under parity and max-odd-sum constraints

Violeta wants to write the numbers from 1 to 9 in the squares of the board below, in such a way that the sum of two numbers in neighboring squares is always odd. Moreover, she wants the sum of the numbers written in the gray squares to be the largest possible odd number. What is the sum of the numbers written in the white squares?

(A) 15 (B) 16 (C) 22 (D) 29 (E) 30

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Colorazione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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*Summa di numeri nei quadrati bianchi sotto restrizioni di parità e somma massima di probabilità *

Violeta vuole scrivere i numeri da 1 a 9 nei quadrati della lavagna di sotto, in modo tale che la somma di due numeri nei quadrati vicini sia sempre strana. Inoltre, vuole che la somma dei numeri scritti nei quadrati grigi sia il più grande numero impar. Qual è la somma dei numeri scritti nei quadrati bianchi?

(A) 15 (B) 16 (C) 22 (D) 29 (E) 30

src_obm_2015_n2_f1__Q12

Price of cinema entrance from a shared-payment situation

Carlos and his five friends, Danilo and Edson, went to the cinema. Carlos paid the entrance for everyone; Danilo paid back to Carlos his share. So that the amount each one would pay is the same when splitting the common cost, Danilo and Edson paid R$ 8.00 and R$ 14.00 respectively. To Carlos, however, since the total per-head value was R$ 32.00. What is the price of the cinema entrance?

(A) R$ 10.00 (B) R$ 12.00 (C) R$ 15.00 (D) R$ 18.00 (E) R$ 20.00

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Prezzo di ingresso al cinema da una situazione di pagamento condiviso

Carlos e i suoi cinque amici, Danilo ed Edson, andarono al cinema. Carlos pagò l’ingresso per tutti; Danilo restituì a Carlos la sua parte. In modo che l’importo che ciascuno avrebbe pagato fosse lo stesso quando si divide il costo comune, Danilo ed Edson hanno pagato rispettivamente R$ 8.00 and R$ 14.00. Per Carlos, tuttavia, dal momento che il valore totale per testa era R$ 32,00. Qual è il prezzo dell’ingresso al cinema?

(A) R$ 10.00 (B) R$ 12.00 (C) R$ 15.00 (D) R$ 18.00 (E) R$ 20.00

src_obm_2015_n2_f1__Q13

Maximum number of square tiles covering a 7-meter wall without overlap

The artist Juliana wants to cover a wall, 7 meters wide, with rectangular tiles, without superposition of the tiles. None of the tiles has a fractional measure (all are whole numbers of meters). In the figure, an arrangement model with square tiles is shown. Suppose Renata wants to do the covering with the largest possible number of tiles. How many tiles fit on the wall?

(A) 10 (B) 14 (C) 18 (D) 20 (E) 24

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

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Nombre massimo di piastrelle quadrate che coprono una parete di 7 metri senza sovrapposizione

L’artista Juliana vuole coprire un muro largo 7 metri, con piastrelle rettangolari, senza superposizione delle piastrelle. Nessuna delle piastrelle ha una misura frazionaria (tutte sono numeri interi di metri). La figura mostra un modello di disposizione con piastrelle quadrate. Supponiamo che Renata voglia rivestire il più possibile di piastrelle. Quante piastrelle si adattano al muro?

(A) 10 (B) 14 (C) 18 (D) 20 (E) 24

src_obm_2015_n2_f1__Q14

Max cubes stackable in a tower so neighbors differ in color

Fabiana has 55 cubes of the same size, being 10 red ones, 15 blue ones and 30 green ones. She wants to build a single tower stacking these cubes in such a way that two neighboring cubes always have different colors. At most, how many cubes can she stack?

(A) 39 (B) 51 (C) 52 (D) 54 (E) 55

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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Max cubes stackable in una torre in modo che i vicini differiscono di colore

Fabiana ha 55 cubes della stessa taglia, 10 rossi, 15 blu e 30 verdi. Lei vuole costruire una singola torre che impichi questi cubetti in modo tale che due cubetti vicini abbiano sempre colori diversi. Quanti cubetti può mettere a piombo?

(A) 39 (B) 51 (C) 52 (D) 54 (E) 55

src_obm_2015_n2_f1__Q15

Find x = CP making two gray regions equal in a two-squares figure

In the figure, the squares $ABGH$ and $CDEF$ have sides of measures 4 and 6 cm, respectively. The point $P$ belongs to the line containing the points $B,C,G,$ and $F$, and the point $M$ is the midpoint of the side $BG$. The segment $AP$ divides the figure formed by the two squares into two gray regions. If we want these two regions to have equal areas, what must be the value of $x=CP$?

(A) $\frac{2}{5}$ (B) $\frac{18}{25}$ (C) 1 (D) $\frac{26}{25}$ (E) $\frac{3}{2}$

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Ricerca x = CP che rende due regioni grigie uguali in una figura quadrata

Nella figura, i quadrati $ABGH$ e $CDEF$ hanno rispettivamente lati di misura 4 e 6 cm. Il punto $P$ appartiene alla linea contenente i punti $B,C,G,$ e $F$, e il punto $M$ è il punto medio del lato $BG$. Il segmento $AP$ divide la figura formata dai due quadrati in due regioni grigie. Se vogliamo che queste due regioni abbiano superficie uguale, quale deve essere il valore di $x=CP$?

(A) $\frac{2}{5}$ (B) $\frac{18}{25}$ (C) 1 (D) $\frac{26}{25}$ (E) $\frac{3}{2}$

src_obm_2015_n2_f1__Q16

Two distinct integer sides with largest 2015 minimizing triangle area

A triangle has all distinct integer sides, the largest of them measuring 2015. What are the measures of the other two sides so that the area of the triangle is the smallest possible?

(A) 2 and 2014 (B) 3 and 2013 (C) 1006 and 1010 (D) 1007 and 1009 (E) 1008 and 1009

Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Due lati interi distinti con la superficie triangolare minimizzata più grande del 2015

Un triangolo ha tutti i lati interi distinti, il più grande di loro misura il 2015. Quali sono le misure degli altri due lati in modo che l’area del triangolo sia la più piccola possibile?

(A) 2 e 2014 (B) 3 e 2013 (C) 1006 e 1010 (D) 1007 e 1009

src_obm_2015_n2_f1__Q17

Relation among angles using midpoint of a side in a triangle

In the triangle $ABC$, $AB=2$, $BC=\sqrt{2}$. Let $M$ be the midpoint of the side $AB$. If $m(BAC)=\alpha$, $m(\beta )$ and $m(MBC)=\gamma$, then:

(A) $\alpha +\beta =\gamma$ (B) $\alpha +\beta =2\gamma$ (C) $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$ (D) $\alpha +\beta =90^{\circ }$ (E) $\alpha +\beta =45^{\circ }$

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Relazione tra gli angoli utilizzando il punto medio di un lato in un triangolo

Nel triangolo $ABC$, $AB=2$, $BC=\sqrt{2}$. Il punto medio del lato $AB$ deve essere $M$. Se $m(BAC)=\alpha$, $m(\beta )$ e $m(MBC)=\gamma$:

(A) $\alpha +\beta =\gamma$ (B) $\alpha +\beta =2\gamma$ (C) $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$ (D) $\alpha +\beta =90^{\circ }$ (E) $\alpha +\beta =45^{\circ }$

src_obm_2015_n2_f1__Q18

Smallest n so mean of n naturals can be strictly between 25.65 and 25.75

The mean of $n$ natural numbers is greater than 25.65 and smaller than 25.75. What is the smallest possible value for $n$?

(A) 5 (B) 3 (C) 6 (D) 100 (E) 50

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità Abilita: Stima, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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La minima n so media di n naturali può essere strettamente compresa tra 25,65 e 25,75

La media dei numeri naturali $n$ è superiore a 25,65 e inferiore a 25,75. Qual è il minimo valore possibile per $n$?

(A) 5 (B) 3 (C) 6 (D) 100 (E) 50

src_obm_2015_n2_f1__Q19

How many positive integers divide 2032 leaving remainder 17

How many positive integers $n$ are there such that dividing 2032 by $n$ leaves remainder 17?

(A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5 (E) 4

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Quanti numeri interi positivi dividono il 2032 lasciando il rimanente 17

Quanti integri positivi $n$ ci sono tali che dividendo il 2032 per $n$ lascia il rimanente 17?

(A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5 (E) 4

src_obm_2015_n2_f1__Q20

Count of digital-clock moments where time encodes or reverses the date in 2015

Jonas likes to observe the digital clocks scattered around his city that inform him of the hour and the date. Because they are digital, the time appears in the format (hour : minute) and the date in the format (day / month). On a certain day a coincidence occurred: the hour (hour and minute, e.g. 12:06) coincided with the date in the format day/month (the same digits as day and month). He calls this an encoded moment. It can also occur that the hour coincides with the date read in reverse (e.g. 60:21 read backwards), and he calls this a reverse-encoded moment. Considering the whole year 2015 (taken as a leap year), from 01/01/2015 at 00:00 until 31/12/2015 at 23:59, how many encoded or reverse-encoded moments are there?

(A) 365 (B) 455 (C) 465 (D) 629 (E) 699

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Conteggio dei momenti dell’orologio digitale in cui il tempo codifica o inverte la data nel 2015

Jonas ama osservare gli orologi digitali sparsi in tutta la sua città che gli informano dell’ora e della data. Poiché sono digitali, l’ora appare nel formato (ora: minuto) e la data nel formato (giorno / mese). In un determinato giorno si è verificata una coincidenza: l’ora (ora e minuto, ad es. 12:06) coincideva con la data nel formato giorno/mese (le stesse cifre del giorno e del mese). Chiama questo un momento codificato. Si può anche verificare che l’ora coincida con la data lettura in senso inverso (ad es. 60:21, lettura all’indietro), e chiama questo un momento di codifica inversa. Considerando l’intero anno 2015 (considerato come un anno bisestivo), dal 01/01/2015 alle 00:00 al 31/12/2015 alle 23:59, quanti momenti sono codificati o codificati in modo inverso?

(A) 365 (B) 455 (C) 465 (D) 629 (E) 699

src_obm_2015_n2_f1__Q21

Length CF where CF is tangent to a semicircle on side of a square

In the drawing beside, the segment $CF$ is tangent to the semicircle of diameter $AB$. $ABCD$ is a square of side 4; determine the length of $CF$.

(A) $9/4$ (B) 3 (C) 4 (D) $5/4$ (E) 5

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Lunghezza CF in cui CF è tangente ad un semicircolo sul lato di un quadrato

Nel disegno accanto, il segmento $CF$ è tangente al semicircolo di diametro $AB$. $ABCD$ è un quadrato di lato 4; determinare la lunghezza di $CF$.

(A) $9/4$ (B) 3 (C) 4 (D) $5/4$ (E) 5

src_obm_2015_n2_f1__Q22

How many of 1-9 can occupy the center cell of an X with equal arm sums

Julieta made an X with nine little squares, as in the figure beside. She wants to write the numbers from 1 to 9 in these squares, in such a way that the sums of the four numbers along each of the four arms of the X are equal. How many of the numbers from 1 to 9 can occupy the central cell (in gray) of the X?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Quanti di 1-9 possono occupare la cellula centrale di un X con pari sommi di braccia

Julieta ha fatto un X con nove piccoli quadrati, come nella figura accanto. Lei vuole scrivere i numeri da 1 a 9 in questi quadrati, in modo tale che la somma dei quattro numeri lungo ciascuno dei quattro bracci della X sia uguale. Quanti dei numeri da 1 a 9 possono occupare la cellula centrale (in grigio) della X?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

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Time for Jade to walk from secretariat to Botanical Garden

Esmeralda and Jade left the secretariat of the OBM and went to the Botanical Garden. The two left at the same time, Esmeralda by bicycle and Jade walking. The speed of Esmeralda is quadruple the speed of Jade, and the two speeds are constant. Esmeralda arrived at the Botanical Garden, waited 5 minutes and then returned by the same way, meeting Jade, who was at the half of the way. How much time does Jade take to walk from the secretariat to the Botanical Garden?

(A) 30 min (B) 35 min (C) 40 min (D) 45 min (E) 50 min

Topic: Algebra Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

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Giada che Jade cammini dal segretariato al giardino botanico

Esmeralda e Jade lasciano il segretariato dell’OBM e vanno al Giardino Botanico. I due se ne andarono allo stesso tempo, Esmeralda in bicicletta e Jade a piedi. La velocità di Esmeralda è quattro volte quella di Jade, e le due velocità sono costanti. Esmeralda arrivò al giardino botanico, aspettò 5 minuti e poi tornò per la stessa strada, incontrando Jade, che era a metà strada. Quanto tempo ci vuole per andare da Jade al giardino botanico?

A) 30 minuti B) 35 minuti C) 40 minuti D) 45 minuti E) 50 minuti

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Count of ways to write 2015 as a sum of three numbers (a parcel repeated)

Julieta likes to write the number 2015 as a sum of three numbers. She does not always write it as a sum of three different numbers; for example, $2015=670+671+674$ and $175+920+920=2015$. Note that, in the second example, the number 920 appears twice in the same sum. In this way, in how many possible ways do two numbers appear equal as a same parcel?

(A) 50 (B) 100 (C) 450 (D) 858 (E) 907

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Estratto/tradotto da verificare con la fonte.

*Conta dei modi per scrivere il 2015 come somma di tre numeri (un pacchetto ripetuto) *

A Julieta piace scrivere il numero 2015 come la somma di tre numeri. Non sempre lo scrive come la somma di tre diversi numeri; ad esempio, $2015=670+671+674$ e $175+920+920=2015$. Si noti che nel secondo esempio il numero 920 appare due volte nella stessa somma. In questo modo, in quanti modi possibili due numeri sembrano uguali come lo stesso pacchetto?

(A) 50 (B) 100 (C) 450 (D) 858 (E) 907

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