Olimpíada Brasileira de Matemática 2015 — Nível 2 — Fase 2

Smallest positive integer leaving five distinct remainders when divided by 2,3,4,5,6

What is the smallest positive integer that leaves five different remainders when divided by $2$, $3$, $4$, $5$, and $6$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

L’intero più piccolo positivo che lascia cinque rimanenti distinti quando diviso per 2,3,4,5,6

Qual è il numero intero positivo più piccolo che lascia cinque rimanenti diversi quando diviso da $2$, $3$, $4$, $5$ e $6$?

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Area of equiangular octagon with given side lengths

João cut the four corners of a rectangular sheet and obtained an equiangular octagon $ABCDEFGH$, as shown in the figure. Given that $AB=2\sqrt{2}$, $BC=7$, $CD=3\sqrt{2}$, $DE=3$, $EF=4\sqrt{2}$, and $GH=5\sqrt{2}$, determine the area of this octagon.

Topic: Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Area di ottagone equiangolare con lunghezze laterali indicate

João tagliò i quattro angoli di un foglio rettangolare e ottenne un ottagono equiangolare $ABCDEFGH$, come mostrato nella figura. Dato che $AB=2\sqrt{2}$, $BC=7$, $CD=3\sqrt{2}$, $DE=3$, $EF=4\sqrt{2}$ e $GH=5\sqrt{2}$ determinano l’area di questo ottagone.

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Find m+n for a linear equation with solution less than 60

Professor Piraldo gave Esmeralda an equation of the form $ax=b$, where $a$ and $b$ are real numbers. Esmeralda made an error and solved the equation $bx=a$ instead, obtaining a solution that is exactly equal to the correct solution minus $60$. If the correct solution has the form $m+\sqrt{n}$ with $m$ and $n$ integers, what is the value of $m+n$?

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca m+n per un’equazione lineare con soluzione inferiore a 60

Il professor Piraldo ha dato a Esmeralda un’equazione della forma $ax=b$, dove $a$ e $b$ sono numeri reali. Esmeralda ha commesso un errore e ha risolto invece l’equazione $bx=a$, ottenendo una soluzione che è esattamente uguale alla soluzione corretta meno $60$. Se la soluzione corretta ha la forma $m+\sqrt{n}$ con $m$ e $n$ integri, qual è il valore di $m+n$?

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Minimum boxes to store 2015 water bottles and 2015 orange juice cartons

A factory has several boxes, each with a capacity of $31$ litres. It has $2015$ water bottles, each holding $3$ litres, and $2015$ orange juice cartons, each holding $5$ litres. Each box can hold any combination of bottles and cartons, as long as their total volume does not exceed the box’s capacity. No box may be overfilled. What is the minimum number of boxes the factory needs to store all the bottles and all the cartons it has produced?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Casse minime per la conservazione delle bottiglie d’acqua 2015 e delle scatole di succo d’arancia 2015

Una fabbrica dispone di diverse scatole, ciascuna con una capacità di $31$ litri. Ha bottiglie d’acqua $2015$, ciascuna contenente $3$ litri, e cartoni di succo d’arancia $2015$, ciascuna contenente $5$ litri. Ogni scatola può contenere qualsiasi combinazione di bottiglie e cartoni, purché il loro volume totale non superi la capacità della scatola. Nessuna scatola può essere sovraempempiegata. Qual è il numero minimo di scatole di cui ha bisogno l’azienda per immagazzinare tutte le bottiglie e tutte le scatole che ha prodotto?

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Find integer closest to z/y given a system in x,y,z

The real numbers $x$, $y$, and $z$ satisfy the system $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}=2015,\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=37.$ Determine the integer closest to $\frac{z}{y}$.

Topic: Algebra Metodo: skill_manipolazione_algebrica Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova un numero intero più vicino a z/y dato un sistema in x,y,z

I numeri reali $x$, $y$ e $z$ soddisfano il sistema $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}=2015,\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=37.$ Determinano il numero intero più vicino a $\frac{z}{y}$.

src_obm_2015_n2_f2__Q05

Length of AB given two tangent circles through A and B with PB=QB=1000

Two circles $C_1$ and $C_2$ intersect at points $A$ and $B$. The tangent to $C_1$ at $A$ meets $C_2$ again at $P$; the tangent to $C_2$ at $A$ meets $C_1$ again at $Q$. Given that $PB=QB=1000$, determine the length of segment $AB$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Lunghezza di AB data a due cerchi tangenti attraverso A e B con PB=QB=1000

Due cerchi $C_1$ e $C_2$ si incrociano ai punti $A$ e $B$. La tangente di $C_1$ a $A$ incontra di nuovo $C_2$ a $P$; la tangente di $C_2$ a $A$ incontra di nuovo $C_1$ a $Q$. Dato che $PB=QB=1000$, determinare la lunghezza del segmento $AB$.

src_obm_2015_n2_f2__Q06

Count colorings of a 2x5 chessboard-like grid after pressing buttons

Maria has a $2\times 5$ table divided into $1\times 1$ squares, painted alternately black and white like a chessboard. Associated with each row and each column is a button that swaps the color of every square in that row or column from black to white or from white to black.

(a) Considering the table with the initial coloring shown in the figure above, draw the $2\times 5$ table with the colors of each square after Maria presses buttons $L2$, $C1$, and $C4$.

(b) Considering again the table with the initial coloring shown in the figure, draw the $2\times 5$ table with the colors of each square after Maria presses buttons $L1$, $C2$, $C3$, and $C5$.

(c) Maria swapped her $2\times 5$ table for a $2\times 2015$ table, as indicated in the figure below. Associated with each row and each column is a button that swaps the color of every square in that row or column, for a total of $2+2015=2017$ buttons. How many colorings of the $2\times 2015$ table can be obtained by pressing some of these buttons?

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i colori di una griglia simile a una scacchiera da 2x5 dopo aver premuto i pulsanti

Maria ha un tavolo $2\times 5$ diviso in quadrati $1\times 1$, dipinto alternatamente in bianco e nero come una scacchiera. A ogni riga e a ogni colonna viene associato un pulsante che cambia il colore di ogni quadrato di quella riga o colonna da nero a bianco o da bianco a nero.

(a) Considerando la tabella con la colorazione iniziale mostrata nella figura precedente, disegnare la tabella $2\times 5$ con i colori di ogni quadrato dopo che Maria ha premuto i pulsanti $L2$, $C1$ e $C4$.

b) Considerando di nuovo la tabella con la colorazione iniziale mostrata nella figura, disegnare la tabella $2\times 5$ con i colori di ogni quadrato dopo che Maria ha premuto i pulsanti $L1$, $C2$, $C3$ e $C5$.

(c) Maria ha sostituito la sua tabella $2\times 5$ con una tabella $2\times 2015$, come indicato nella figura seguente. Con ogni riga e colonna è associato un pulsante che cambia il colore di ogni quadrato di quella riga o colonna, per un totale di pulsanti $2+2015=2017$. Quanti colori della tabella $2\times 2015$ si possono ottenere premendo alcuni di questi pulsanti?

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Count positive integers n<100 making (8n+5)/(5n+8) irreducible

Determine the number of positive integers $n$ less than $100$ such that the fraction $\frac{8n+5}{5n+8}$ is irreducible.

A fraction is called irreducible when the greatest common divisor (GCD) of its numerator and its denominator equals $1$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare i numeri interi positivi n<100 rendendo (8n+5)/(5n+8) irriducibile

Determinare il numero di integri positivi $n$ inferiori a $100$ in modo tale che la frazione $\frac{8n+5}{5n+8}$ sia irriducibile.

Una frazione è chiamata irriducibile quando il più grande divisore comune (GCD) del suo numeratore e del suo denominatore è uguale a $1$.

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Measure of angle EOF in right triangle ABC with altitudes and circumcenter

In a right triangle $ABC$, the angle at $A$ is $45^{\circ }$. Let $BE$ and $CF$ be the altitudes from $B$ and $C$ to the sides $AC$ and $AB$ respectively, $E$ on $AC$ and $F$ on $AB$, and let $O$ be the circumcenter of triangle $ABC$ (i.e., the center of the circle passing through $A$, $B$, and $C$). Calculate the measure of angle $EOF$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Meditazione dell’angolo EOF nel triangolo rettangolo ABC con altitudini e circoncentro

In un triangolo rettangolo $ABC$, l’angolo di $A$ è $45^{\circ }$. Le altitudini $BE$ e $CF$ siano le altitudini da $B$ e $C$ ai lati $AC$ e $AB$ rispettivamente, $E$ su $AC$ e $F$ su $AB$, e $O$ sia il centro circostante del triangolo $ABC$ (cioè il centro del cerchio che attraversa $A$, $B$ e $C$). Calcolare la misura dell’angolo $EOF$.

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