Olimpíada Brasileira de Matemática 2015 — Nível 3 — Fase 1

Number 1–9 in 3×3 grid: odd neighbor sums, maximize white-square sum

Violeta wants to number the squares of a $3\times 3$ blackboard from 1 to 9, so that in each row the number of squares whose sum with all their neighbors (squares sharing a side) is odd is the maximum possible. Moreover, she wants the sum of the numbers written in the white squares to be as large as possible. What is the sum of the numbers written in the white squares?

(A) 15 \quad (B) 16 \quad (C) 22 \quad (D) 29 \quad (E) 30

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Lettura attenta, Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF

*Numero 19 in 3 ×3 griglia: somma pari dei vicini, massimizzazione della somma quadrata bianca *

Violeta vuole numerare i quadrati di una lavagna $3\times 3$ da 1 a 9, in modo che in ogni riga il numero di quadrati la cui somma con tutti i loro vicini (quadrati che condividono un lato) è pari è il massimo possibile. Inoltre, vuole che la somma dei numeri scritti nei quadrati bianchi sia il più grande possibile. Qual è la somma dei numeri scritti nei quadrati bianchi?

(A) 15 \quad (B) 16 \quad (C) 22 \quad (D) 29 \quad (E) 30

Risposta: C src_obm_2015_n3_f1__Q01

Max tower height stacking 55 cubes of three colors, no two same-color adjacent

Fabiana has 55 cubes of the same size: 10 red, 15 blue, and 30 green. She wants to build a tower by stacking these cubes so that no two adjacent cubes have the same color. At most, how many cubes can she stack?

(A) 39 \quad (B) 51 \quad (C) 52 \quad (D) 54 \quad (E) 55

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

Altezza massima della torre impilata 55 cubetti di tre colori, senza due adiacenti dello stesso colore

Fabiana ha 55 cubetti della stessa taglia: 10 rossi, 15 blu e 30 verdi. Vuole costruire una torre impiandone questi cubetti in modo che non ci siano due cubetti adiacenti dello stesso colore. Quanti cubetti può mettere a piombo?

(A) 39 \quad (B) 51 \quad (C) 52 \quad (D) 54 \quad (E) 55

Risposta: B src_obm_2015_n3_f1__Q02

Value of CP so two regions of two overlapping rectangles have equal areas

In the figure, rectangles $ARGH$ and $CDEF$ have sides of length 4 cm and 6 cm respectively. Point $P$ lies on line $\ell$ passing through $B$, $C$, $G$, $F$, where $C$ is the midpoint of $BG$. Segment $AP$ divides the figure formed by the two rectangles into two regions: one white and one gray. For these two regions to have equal areas, what should the value of $a=CP$ be?

(A) $\frac{4}{5}$ \quad (B) $\frac{18}{25}$ \quad (C) $1$ \quad (D) $\frac{26}{25}$ \quad (E) $\frac{3}{2}$

Topic: Geometria piana, Algebra Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF

Valore di CP in modo che due regioni di due rettangoli che si sovrappongono abbiano aree uguali

Nella figura, i rettangoli $ARGH$ e $CDEF$ hanno rispettivamente lati di lunghezza di 4 cm e 6 cm. Il punto $P$ si trova sulla linea $\ell$ che attraversa $B$, $C$, $G$, $F$, dove $C$ è il punto medio di $BG$. Il segmento $AP$ divide la figura formata dai due rettangoli in due regioni: una bianca e una grigia. Per che queste due regioni abbiano superficie uguale, quale dovrebbe essere il valore di $a=CP$?

(A) $\frac{4}{5}$ \quad (B) $\frac{18}{25}$ \quad (C) $1$ \quad (D) $\frac{26}{25}$ \quad (E) $\frac{3}{2}$

Risposta: D src_obm_2015_n3_f1__Q03

Self-referential: count vowels and consonants in the correct answer

What is the number of vowels and consonants in the correct answer? The answers are not the letter labels (A, B, C, D, E) but the option texts themselves.

(A) Vinte e cinco ;[Twenty-five] \quad (B) Setenta e tr^{e}s ;[Seventy-three] \quad (C) Oitenta e cinco ;[Eighty-five] \ (D) Noventa e sete ;[Ninety-seven] \quad (E) Cento e dezoito ;[One hundred and eighteen]

Topic: Logica Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF

Auto-referenziale: contare vocali e consonanti nella risposta corretta

Qual è il numero di vocali e consonanti nella risposta corretta? Le risposte non sono le etichette (A, B, C, D, E) ma i testi delle opzioni stesse.

(A) Vinte e cinque ;[Venticinque] \quad (B) Setenta e tr^{e}s ;[Venticinque] \quad (C) Oitenta e cinque ;[Venticinque] \ (D) Noventa e sete ;[Novecento sette] \quad (E) Cento e dezoito ;[Cento diciotto]

Risposta: A src_obm_2015_n3_f1__Q04

Next year after 2015 with identical calendar (same day-of-week for every date)

We say that two years have the same calendar if they have the same number of days and the days of the week coincide on every date. The year 2015 coincides with 2009. Knowing that years that are multiples of 4 in the 21st century (with the exception of 2100) are leap years with 366 days, and all others have 365 days, what is the next year after 2015 that has the same calendar as 2015?

(A) 2021 \quad (B) 2022 \quad (C) 2023 \quad (D) 2025 \quad (E) 2026

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF

*Anno successivo dopo il 2015 con calendario identico (lo stesso giorno della settimana per ogni data) *

Diciamo che due anni hanno lo stesso calendario se hanno lo stesso numero di giorni e i giorni della settimana coincidono in ogni data. L’anno 2015 coincide con il 2009. Sapendo che gli anni che sono multipli di 4 nel 21 ° secolo (ad eccezione del 2100) sono anni biscotti con 366 giorni, e tutti gli altri hanno 365 giorni, qual è il prossimo anno dopo il 2015 che ha lo stesso calendario del 2015?

(A) 2021 \quad (B) 2022 \quad (C) 2023 \quad (D) 2025 \quad (E) 2026

Risposta: E src_obm_2015_n3_f1__Q05

Triangle with distinct integer sides, largest side 2015, minimize area

A triangle has all sides with distinct integer lengths, the largest of which is 2015. What are the lengths of the other two sides that make the area of the triangle as small as possible?

(A) 2 and 2014 \quad (B) 3 and 2013 \quad (C) 1006 and 1010 \quad (D) 1007 and 1009 \quad (E) 1008 and 1009

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Stima, Lettura attenta Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF

Triangolo con diversi lati interi, lato più grande 2015, riducendo al minimo l’area

Un triangolo ha tutti i lati con lunghezze interi distinte, il più grande dei quali è il 2015. Quali sono le lunghezze degli altri due lati che rendono l’area del triangolo il più piccolo possibile?

(A) 2 e 2014 \quad (B) 3 e 2013 \quad (C) 1006 e 1010 \quad (D) 1007 e 1009 \quad (E) 1008 e 1009

Risposta: E src_obm_2015_n3_f1__Q06

Cyclist Esmeralda meets walker Jade on the way back; find total walk time

Esmeralda and Jade left the secretary’s office of the Botanical Garden at the same time. Esmeralda went by bicycle and Jade on foot. Esmeralda’s speed is four times Jade’s speed, and both speeds are constant. Esmeralda arrived at the garden 5 minutes early and waited for Jade. When Jade was at the halfway point of the path, Esmeralda began walking back and met Jade. How long does Jade’s entire walk from the secretary’s office to the Botanical Garden take?

(A) 30 min \quad (B) 35 min \quad (C) 40 min \quad (D) 45 min \quad (E) 50 min

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Backward Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

Il ciclista Esmeralda incontra il camminatore Jade sulla strada di ritorno; trova il tempo totale di camminata

Esmeralda e Jade hanno lasciato l’ufficio del segretario del Giardino Botanico allo stesso tempo. Esmeralda andava in bicicletta e Jade a piedi. La velocità di Esmeralda è quattro volte quella di Jade, e entrambe le velocità sono costanti. Esmeralda arrivò al giardino 5 minuti prima e aspettò Jade. Quando Jade era a metà strada, Esmeralda iniziò a tornare indietro e incontrò Jade. Quanto tempo ci vuole per andare da Jade all’ufficio della segretaria al giardino botanico?

(A) 30 min (B) 35 min (C) 40 min (D) 45 min (E) 50 min

Risposta: C src_obm_2015_n3_f1__Q07

Identify which number is a root of a quadratic with odd integer coefficients

A number is called \emph{impar-quadratic} (irrational-odd) if it is a root of a quadratic equation with odd integer coefficients. For example, $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$ is impar-quadratic, since it is a root of $x^2-x-1=0$. Which of the following numbers is impar-quadratic?

(A) $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$ \quad (B) $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ \quad (C) $\frac{1+\sqrt{6}}{2}$ \quad (D) $\frac{1+\sqrt{8}}{2}$ \quad (E) $\frac{1+\sqrt{13}}{2}$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

Identificare quale numero sia la radice di un quadratico con coefficienti interi dispari

Un numero è chiamato \emph{impar-quadratic} (irrazionale-odd) se è la radice di un’equazione quadratica con coefficienti interi odd. Ad esempio, $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$ è impar-quadratico, poiché è una radice di $x^2-x-1=0$. Quale dei seguenti numeri è impar-quadrato?

(A) $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$ \quad (B) $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ \quad (C) $\frac{1+\sqrt{6}}{2}$ \quad (D) $\frac{1+\sqrt{8}}{2}$ \quad (E) $\frac{1+\sqrt{13}}{2}$

Risposta: B src_obm_2015_n3_f1__Q08

Count positive integers n dividing 2032 with remainder 17

How many positive integers $n$ are there such that dividing 2032 by $n$ leaves remainder 17?

(A) 4 \quad (B) 5 \quad (C) 6 \quad (D) 7 \quad (E) 8

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

Contare i numeri interi positivi n dividendo 2032 con il rimanente 17

Quanti integri positivi $n$ ci sono tali che dividendo il 2032 per $n$ lascia il rimanente 17?

(A) 4 \quad (B) 5 \quad (C) 6 \quad (D) 7 \quad (E) 8

Risposta: C src_obm_2015_n3_f1__Q09

Count encased and reverse-encased clock moments in non-leap year 2015

Jonas used to observe digital clocks in his city that show the date and time. By coincidence, the day he noticed this was 12/06, and the clock showed 12:06. He called this an \emph{encased moment} (momento encaixado): a moment when the date (DD/MM) and the time (HH:MM) are formed by the same digits in the same order. He also called a moment \emph{reverse-encased} when the time is the date written in reverse order — for example, on 21/06 at 06:21. Since 2015 is not a leap year, how many encased moments are there from 01/01/2015 at 00:00 to 31/12/2015 at 23:59?

(A) 365 \quad (B) 455 \quad (C) 465 \quad (D) 629 \quad (E) 699

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF

Conteggio dei momenti dell’orologio incollati e incollati in senso inverso nell’anno fisso 2015

Jonas osservava orologi digitali nella sua città che indicavano la data e l’ora. Per coincidenza, il giorno in cui ha notato questo è stato il 12/06, e l’orologio ha mostrato 12:06. Lo chiamava un momento incassato (momento encaixado): un momento in cui la data (DD/MM) e l’ora (HH:MM) sono formate dalle stesse cifre nello stesso ordine. Ha anche chiamato un momento \emph{reverse-encased} quando l’ora è la data scritta in ordine inverso ad esempio, il 21/06 alle 06:21. Dal momento che il 2015 non è un anno bisbalto, quanti momenti chiusi ci sono dal 01/01/2015 alle 00:00 al 31/12/2015 alle 23:59?

(A) 365 \quad (B) 455 \quad (C) 465 \quad (D) 629 \quad (E) 699

Risposta: C src_obm_2015_n3_f1__Q10

Length CF: tangent from C to semicircle of diameter AB in square ABCD of side 4

In the figure below, segment $CF$ is tangent to the semicircle of diameter $AB$. $ABCD$ is a square of side 4. Determine the length of $CF$.

(A) $\frac{9}{2}$ \quad (B) $5$ \quad (C) $\frac{11}{2}$ \quad (D) $\frac{23}{4}$ \quad (E) $6$

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF

Lunghezza CF: tangente da C a semicircolo di diametro AB nel quadrato ABCD del lato 4

Nella figura seguente, il segmento $CF$ è tangente al semicircolo di diametro $AB$. $ABCD$ è il quadrato del lato 4. Determinare la lunghezza di $CF$.

(A) $\frac{9}{2}$ \quad (B) $5$ \quad (C) $\frac{11}{2}$ \quad (D) $\frac{23}{4}$ \quad (E) $6$

Risposta: A src_obm_2015_n3_f1__Q11

Angle relation in triangle ABC with midpoint M of AB and given side lengths

In triangle $ABC$, $AB=2$ and $BC=\sqrt{2}$. Let $M$ be the midpoint of side $AB$. Set $\alpha =m(\widehat{BAC})$, $\beta =m(\widehat{MBC})$, and $\gamma =m(\widehat{BMC})$. Then:

(A) $\alpha +\beta =\gamma$ \quad (B) $\alpha +\beta =2\gamma$ \quad (C) $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$ \ (D) $\alpha +\beta =90^{\circ }$ \quad (E) $\alpha =45^{\circ }$

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF

Relazione angolare nel triangolo ABC con punto medio M di AB e lunghezze laterali date

In triangolo $ABC$, $AB=2$ e $BC=\sqrt{2}$. Il punto medio del lato $AB$ è $M$. Set $\alpha =m(\widehat{BAC})$, $\beta =m(\widehat{MBC})$ e $\gamma =m(\widehat{BMC})$. Allora:

(A) $\alpha +\beta =\gamma$ \quad (B) $\alpha +\beta =2\gamma$ \quad (C) $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$ \ (D) $\alpha +\beta =90^{\circ }$ \quad (E) $\alpha =45^{\circ }$

Risposta: D src_obm_2015_n3_f1__Q12

Time for product of two iteratively updated numbers to exceed 10^50

Initially, the numbers 1 and 2 are written on a computer screen. Each second, they are replaced by their sum and their product doubled (i.e., the new pair is $(a+b,2ab)$). After approximately how long will the product of the two numbers exceed the number of atoms on Earth, approximately $10^{50}$?

(A) Seven seconds \quad (B) Seven hours \quad (C) Seven days \ (D) Seven months \quad (E) Seven years

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione Abilita: Stima, Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF

Tempo per il prodotto di due numeri aggiornati iterativamente per superare 10^50

Inizialmente, i numeri 1 e 2 vengono scritti su uno schermo del computer. Ogni secondo vengono sostituiti dalla loro somma e il loro prodotto raddoppiato (cioè la nuova coppia è $(a+b,2ab)$). Dopo circa quanto tempo il prodotto dei due numeri supererà il numero di atomi sulla Terra, circa $10^{50}$?

(A) Sette secondi (B) Sette ore (C) Sette giorni (D) Sette mesi (E) Sette anni

Risposta: A src_obm_2015_n3_f1__Q13

Max subset of dodecahedron edges that are pairwise skew

Two line segments in space are called \emph{skew} (reversas) when there is no plane containing both. A regular dodecahedron is a polyhedron with twelve regular pentagonal faces.

What is the largest number of elements in a subset $S$ of edges of a regular dodecahedron such that any two elements of $S$ are skew?

(A) 3 \quad (B) 6 \quad (C) 9 \quad (D) 12 \quad (E) 15

Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Astrazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

Sottoinsieme massimo di bordi dodecaedro che sono abbracciati in coppia

Due segmenti di linea nello spazio sono chiamati \emph{skew} (riversi) quando non esiste un piano che contenga entrambi. Un dodecaedro regolare è un poliedro con dodici volti pentagonali regolari.

Qual è il maggior numero di elementi in un sottoinsieme $S$ di bordi di un dodecaedro regolare in modo tale che due elementi di $S$ siano skew?

(A) 3 \quad (B) 6 \quad (C) 9 \quad (D) 12 \quad (E) 15

Risposta: D src_obm_2015_n3_f1__Q14

Characterize possible sizes of a perfect finite set of real numbers

A finite set $A$ of real numbers is called \emph{perfect} if it has at least two elements and, for every $b\in A$, the set $\{ab\mid a\in A,a\ne b\}$ equals $A$. For example, $\left\{1,2,\frac{1}{2}\right\}$ is perfect. However, $\{1,2,3\}$ is not perfect. How many elements can a perfect set have?

(A) Only 3 or 4 \quad (B) Any quantity congruent to 3 or 4 modulo 4 \ (C) Any odd quantity \quad (D) Any prime quantity \ (E) Any quantity greater than 2

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Astrazione, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF

Caricare le dimensioni possibili di un insieme finito perfetto di numeri reali

Un insieme finito $A$ di numeri reali è chiamato \emph{perfetto} se ha almeno due elementi e, per ogni $b\in A$, il insieme $\{ab\mid a\in A,a\ne b\}$ è uguale a $A$. Ad esempio, $\left\{1,2,\frac{1}{2}\right\}$ è perfetto. Tuttavia, $\{1,2,3\}$ non è perfetto. Quanti elementi può avere un insieme perfetto?

(A) Solo 3 o 4 \quad (B) Qualsiasi quantità congruente a 3 o 4 modulo 4 \ (C) Qualsiasi quantità imparata \quad (D) Qualsiasi quantità primaria \ (E) Qualsiasi quantità superiore a 2

Risposta: E src_obm_2015_n3_f1__Q15

Smallest n such that n! ends in exactly 2016 trailing zeros

For a positive integer $n$, the factorial is $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n$. There is no $n$ for which $n!$ ends in exactly 2015 trailing zeros. Find the smallest $n$ such that $n!$ ends in exactly 2016 trailing zeros.

(A) 8064 \quad (B) 8065 \quad (C) 8070 \quad (D) 8075 \quad (E) 8080

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

Nello più piccolo di questo n! finisce esattamente nel 2016 con i zeri tracciati

Per un intero positivo $n$, il fattorial è $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n$. Non esiste un $n$ per il quale $n!$ finisce esattamente in zero traccianti per il 2015. Trova il minimo $n$ in modo tale che $n!$ finisca esattamente negli zero traccianti del 2016.

(A) 8064 \quad (B) 8065 \quad (C) 8070 \quad (D) 8075 \quad (E) 8080

Risposta: C src_obm_2015_n3_f1__Q16

Min radius r so every circle of radius 1 centered at a lattice point is cut by a radius-r circle

At every lattice point (point with both coordinates integers), we construct a circle of radius $r$. The minimum value of $r$ for which some circle of radius 1 (centered at a lattice point) is entirely contained inside one of the radius-$r$ circles centered at a different lattice point is:

(A) $\frac{\sqrt{2}}{2}-1$ \quad (B) $1-\frac{\sqrt{2}}{2}$ \quad (C) $\sqrt{2}-1$ \quad (D) $\frac{1}{2}$ \quad (E) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Topic: Geometria analitica, Geometria piana Metodo: Estremalità, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Stima, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF

Radius r min in modo che ogni cerchio di radius 1 centrato su un punto reticolo sia tagliato da un cerchio di radius-r

In ogni punto della griglia (punto con entrambe le coordinate integri), costruiamo un cerchio di raggio $r$. Il valore minimo di $r$ per il quale un cerchio di raggio 1 (centrato in un punto reticolo) è interamente contenuto all’interno di uno dei cerchi di raggio $r$ centrati in un altro punto reticolo è:

(A) $\frac{\sqrt{2}}{2}-1$ \quad (B) $1-\frac{\sqrt{2}}{2}$ \quad (C) $\sqrt{2}-1$ \quad (D) $\frac{1}{2}$ \quad (E) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Risposta: C src_obm_2015_n3_f1__Q17

How many digits does the smallest m with digit-sum function f(m)=2015 have

The floor function $\lfloor x\rfloor$ denotes the largest integer less than or equal to $x$. For example, $\lfloor 3.45\rfloor =3$ and $\lfloor 41\rfloor =41$. Consider the function $f$ defined on non-negative integers by $f(0)=0$ and $f(n)=f\left(\lfloor \frac{n}{10}\rfloor \right)+n-10\lfloor \frac{n}{10}\rfloor$ for all positive integers $n$. How many digits does the smallest positive integer $m$ with $f(m)=2015$ have?

(A) 201 \quad (B) 202 \quad (C) 222 \quad (D) 223 \quad (E) 224

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF

*Quante cifre ha il più piccolo m con funzione somma di numeri f(m) = 2015 *

La funzione di pavimento $\lfloor x\rfloor$ indica il numero intero più grande inferiore o uguale a $x$. Per esempio, $\lfloor 3.45\rfloor =3$ e $\lfloor 41\rfloor =41$. Considera la funzione $f$ definita su interi non negativi da $f(0)=0$ e $f(n)=f\left(\lfloor \frac{n}{10}\rfloor \right)+n-10\lfloor \frac{n}{10}\rfloor$ per tutti gli interi positivi $n$. Quante cifre ha il più piccolo intero positivo $m$ con $f(m)=2015$?

(A) 201 \quad (B) 202 \quad (C) 222 \quad (D) 223 \quad (E) 224

Risposta: E src_obm_2015_n3_f1__Q18

Count non-empty subsets C of A∪B with equal intersection sizes

Let $A$ and $B$ be disjoint sets with $n(A)=5$ and $n(B)=7$, where $n(X)$ denotes the number of elements of $X$. How many non-empty subsets $C$ of $A\cup B$ are there such that $n(A\cap C)=n(B\cap C)$?

(A) 790 \quad (B) 791 \quad (C) 792 \quad (D) 793 \quad (E) 794

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Conteggio, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF

Contare i sottogruppi non vuoti C di A∪B con dimensioni di intersezione uguali

Le serie $A$ e $B$ siano dissociate da $n(A)=5$ e $n(B)=7$, dove $n(X)$ indica il numero di elementi di $X$. Quanti sottoinsiemi non vuoti $C$ di $A\cup B$ sono tali da $n(A\cap C)=n(B\cap C)$?

(A) 790 \quad (B) 791 \quad (C) 792 \quad (D) 793 \quad (E) 794

Risposta: C src_obm_2015_n3_f1__Q19

Count four-digit multiples of 99 with all distinct digits

How many multiples of 99 have exactly four distinct digits? (Four-digit numbers cannot start with zero; for example, $0123=123$ has only three digits.)

(A) 9 \quad (B) 27 \quad (C) 45 \quad (D) 72 \quad (E) 90

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF

Contare i multipli a quattro cifre di 99 con tutti i cifre distinti

Quanti multipli di 99 hanno esattamente quattro cifre distinte? (I numeri a quattro cifre non possono iniziare con lo zero; ad esempio, $0123=123$ ha solo tre cifre.)

(A) 9 \quad (B) 27 \quad (C) 45 \quad (D) 72 \quad (E) 90

Risposta: C src_obm_2015_n3_f1__Q20

Max number of distinct rational roots of integer-coefficient polynomial with P(0)=2015

The polynomial $P(x)$ has integer coefficients and $P(0)=2015$. At most how many distinct rational roots can $P(x)$ have?

(A) 3 \quad (B) 4 \quad (C) 5 \quad (D) 6 \quad (E) 8

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

Maximo numero di radici razionali distinte di polinomio a coefficiente interi con P(0)=2015

Il polinomio $P(x)$ ha coefficienti interi e $P(0)=2015$. Al massimo quante radici razionali distinte può avere $P(x)$?

(A) 3 \quad (B) 4 \quad (C) 5 \quad (D) 6 \quad (E) 8

Risposta: D src_obm_2015_n3_f1__Q21

Min obtuse angles among all triangles formed by 5 non-collinear points

Five non-collinear points are given in the plane. At minimum, how many obtuse angles (angles greater than $90^{\circ }$) are determined by three of these five points (i.e., as interior angles of triangles formed by three of the five points)?

(A) 0 \quad (B) 1 \quad (C) 2 \quad (D) 3 \quad (E) 4

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

Min angoli obtusosi tra tutti i triangoli formati da 5 punti non collineari

Nel piano sono dati cinque punti non collineari. Come minimo, quanti angoli obtusosi (angoli più grandi di $90^{\circ }$) sono determinati da tre di questi cinque punti (cioè come angoli interni di triangoli formati da tre dei cinque punti)?

(A) 0 \quad (B) 1 \quad (C) 2 \quad (D) 3 \quad (E) 4

Risposta: D src_obm_2015_n3_f1__Q22

Smallest side of triangle formed by tangents through bisector–circumcircle intersections

In triangle $ABC$, $AB=40$, $AC=42$, $BC=58$. The internal angle bisectors from $A$, $B$, $C$ meet the circumscribed circle of $ABC$ again at $K$, $L$, $M$, respectively. The lines tangent to the circumscribed circle at $K$, $L$, $M$ form a triangle. Determine the smallest side of this triangle.

(A) $\frac{280}{3}$ \quad (B) $58$ \quad (C) $145$ \quad (D) $\frac{145}{7}$ \quad (E) $\frac{2900}{17}$

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF

Il lato più piccolo del triangolo formato da tangenti attraverso intersezioni bisettoricircolo

In triangolo $ABC$, $AB=40$, $AC=42$, $BC=58$. I bisettori di angolo interno di $A$, $B$ e $C$ incontrano di nuovo il cerchio circonscritto di $ABC$ rispettivamente a $K$, $L$ e $M$. Le linee tangenti al cerchio circoscritto a $K$, $L$, $M$ formano un triangolo. Determina il lato più piccolo di questo triangolo.

(A) $\frac{280}{3}$ \quad (B) $58$ \quad (C) $145$ \quad (D) $\frac{145}{7}$ \quad (E) $\frac{2900}{17}$

Risposta: A src_obm_2015_n3_f1__Q23

Minimum x+y for positive integers satisfying a given rational equation

The positive integers $x$ and $y$ satisfy $\frac{1}{x}-\frac{1}{2015}=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}.$ What is the minimum possible value of $x+y$?

(A) 2015 \quad (B) 2016 \quad (C) 3264 \quad (D) 4836 \quad (E) 9672

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF

Minimum x+y per numeri interi positivi che soddisfano una determinata equazione razionale

I numeri interi positivi $x$ e $y$ soddisfano $\frac{1}{x}-\frac{1}{2015}=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}.$ Qual è il valore minimo possibile di $x+y$?

(A) 2015 \quad (B) 2016 \quad (C) 3264 \quad (D) 4836 \quad (E) 9672

Risposta: D src_obm_2015_n3_f1__Q24

Evaluate sum of 1/[n²(n+1)²] using the Basel series identity

Knowing that ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6},$ the value of ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2(n+1{)}^2}=\frac{1}{1^2\cdot 2^2}+\frac{1}{2^2\cdot 3^2}+\frac{1}{3^2\cdot 4^2}+\cdots$ is equal to:

(A) $\frac{{\pi }^2}{6}-1$ \quad (B) $\frac{{\pi }^2}{4}\left(\frac{{\pi }^2}{6}-1\right)$ \quad (C) $\frac{{\pi }^2}{3}-1$ \quad (D) $\frac{{\pi }^2}{3}+1$ \quad (E) $\frac{{\pi }^2}{6}-2$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF

Evaluare la somma di 1/[n2(n+1)2] utilizzando l’identità della serie di Basilea

Sapendo che ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6},$ il valore di ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2(n+1{)}^2}=\frac{1}{1^2\cdot 2^2}+\frac{1}{2^2\cdot 3^2}+\frac{1}{3^2\cdot 4^2}+\cdots$ è pari a:

(A) $\frac{{\pi }^2}{6}-1$ \quad (B) $\frac{{\pi }^2}{4}\left(\frac{{\pi }^2}{6}-1\right)$ \quad (C) $\frac{{\pi }^2}{3}-1$ \quad (D) $\frac{{\pi }^2}{3}+1$ \quad (E) $\frac{{\pi }^2}{6}-2$

Risposta: A src_obm_2015_n3_f1__Q25