Olimpíada Brasileira de Matemática 2015 — Nível 3 — Fase 2

Esmeralda solves bx=a instead of ax=b; her root is the correct root minus 60; find m+n from correct root m+sqrt(n)

(Part A) Professor Piraldo gave Esmeralda an equation of the form $ax=b$, where $a$ and $b$ are real. Esmeralda makes a mistake and solves the equation $bx=a$, obtaining a solution that is equal to the correct solution minus $60$. If the correct solution is of the form $m+\sqrt{n}$ with $m$ and $n$ integers, what is the value of $m+n$?

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Esmeralda risolve bx=a invece di ax=b; la sua radice è la radice corretta meno 60; trova m+n dalla radice corretta m+sqrt(n) *

(Parte A) Il professor Piraldo ha dato a Esmeralda un’equazione della forma $ax=b$, dove $a$ e $b$ sono reali. Esmeralda commette un errore e risolve l’equazione $bx=a$, ottenendo una soluzione pari alla soluzione corretta meno $60$. Se la soluzione corretta è della forma $m+\sqrt{n}$ con $m$ e $n$ integri, qual è il valore di $m+n$?

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Two intersecting circles, tangent lines define P and Q; given PBQB=640 and QBAB=1000 find AB

(Part A) Two circles $C_1$ and $C_2$ intersect at points $A$ and $B$. The tangent to $C_1$ at $A$ cuts $C_2$ again at point $P$, and the tangent to $C_2$ at $A$ cuts $C_1$ again at point $Q$. Knowing that $PB\cdot QB=640$ and $QB\cdot AB=1000$, determine the length of segment $AB$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due cerchi che si intersecano, linee tangenti che definiscono P e Q; dato PBQB=640 e QBAB=1000 trovi AB

(Parte A) Due cerchi $C_1$ e $C_2$ si intersecano ai punti $A$ e $B$. La tangente di $C_1$ a $A$ taglia di nuovo $C_2$ al punto $P$, e la tangente di $C_2$ a $A$ taglia di nuovo $C_1$ al punto $Q$. Sapendo che $PB\cdot QB=640$ e $QB\cdot AB=1000$, determinare la lunghezza del segmento $AB$.

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Triangle inscribed in circle with given angles; random interior point X, probability X is closer to B than to A or C; find pq*

(Part A) Three points $A$, $B$ and $C$ are marked on the boundary of a circle in such a way that $m(\widehat{BAC})=60^{\circ }$, $m(\widehat{ABC})=80^{\circ }$ and $m(\widehat{ACB})=40^{\circ }$. A point $X$ is chosen at random in the interior of the circle. The probability that, among $A$, $B$ or $C$, the point $X$ is closer to $B$ is $\frac{p}{q}$, where $p$ and $q$ are coprime integers. How much is $p\cdot q$?

Topic: Geometria piana, Probabilità Metodo: Casework, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Triangolo inciso in cerchio con angoli dati; punto interno casuale X, probabilità X è più vicino a B che a A o C; trovare pq*

(Parte A) Tre punti $A$, $B$ e $C$ sono contrassegnati sul confine di un cerchio in modo tale che $m(\widehat{BAC})=60^{\circ }$, $m(\widehat{ABC})=80^{\circ }$ e $m(\widehat{ACB})=40^{\circ }$. Un punto $X$ viene scelto a caso all’interno del cerchio. La probabilità che, tra $A$, $B$ o $C$, il punto $X$ sia più vicino a $B$ è $\frac{p}{q}$, dove $p$ e $q$ sono integri coprimi. Quanto è $p\cdot q$?

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Count 5-element subsets of {1,…,20} that in increasing order have consecutive differences greater than 1,2,3,4

(Part A) A subset of $5$ elements of the set $\{1,2,3,\dots ,20\}$ is called $largo$ (large) if, when we write its elements in increasing order, they have the property that the difference between the second and the first element is greater than $1$, the difference between the third and the second is greater than $2$, the difference between the fourth and the third is greater than $3$, and the difference between the fifth and the fourth is greater than $4$. How many large subsets are there?

Topic: Combinatoria Metodo: Biiezione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i sottogruppi di 5 elementi di {1,…,20} che, in ordine crescente, hanno differenze consecutive superiori a 1,2,3,4

(Parte A) Un sottogruppo di $5$ elementi dell’insieme $\{1,2,3,\dots ,20\}$ è chiamato $largo$ (grande) se, quando scriviamo i suoi elementi in ordine crescente, hanno la proprietà che la differenza tra il secondo e il primo elemento è maggiore di $1$, la differenza tra il terzo e il secondo è maggiore di $2$, la differenza tra il quarto e il terzo è maggiore di $3$, e la differenza tra il quinto e il quarto è maggiore di $4$. Quanti grandi sottoinsiemi ci sono?

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Recursively defined functions f,g on nonnegative integers; count n in [0,2015] with f(n)=0

(Part A) Let $f$ and $g$ be functions from the nonnegative integers to the nonnegative integers such that $f(0)=g(0)=0$, and (functional equations relating $f(2x+1)$, $g(2x)$, $f(x)$, $g(2x+1)$, and $x$) hold for every nonnegative integer $x$. How many values of $n$ with $0\le n\le 2015$ satisfy $f(n)=0$?

Topic: Teoria dei Numeri, Insiemi e funzioni Metodo: Ricorsione, Induzione, Conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Funzioni definite ricorrentemente f,g su enti interi non negativi; contare n in [0,2015] con f(n) = 0

(Parte A) Lasciate che $f$ e $g$ siano funzioni dai numeri interi non negativi ai numeri interi non negativi in modo tale che $f(0)=g(0)=0$, e (equazioni funzionali relative a $f(2x+1)$, $g(2x)$, $f(x)$, $g(2x+1)$, e $x$) siano valide per ogni numero intero non negativo $x$. Quanti valori di $n$ con $0\le n\le 2015$ soddisfano $f(n)=0$?

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System 1/(ab)=b+2c, 1/(bc)=2c+3a, 1/(ca)=3a+b; (a+b+c)^3=p/q, find p+q

(Part A) The real numbers $a$, $b$ and $c$ satisfy the equations $\frac{1}{ab}=b+2c$, $\frac{1}{bc}=2c+3a$, $\frac{1}{ca}=3a+b$. We have $(a+b+c{)}^3=\frac{p}{q}$, with $p$ and $q$ coprime integers and $q>0$. Calculate $p+q$.

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sistema 1/(ab)=b+2c, 1/(bc)=2c+3a, 1/(ca)=3a+b; (a+b+c)^3=p/q, trovare p+q

(Parte A) I numeri reali $a$, $b$ e $c$ soddisfano le equazioni $\frac{1}{ab}=b+2c$, $\frac{1}{bc}=2c+3a$, $\frac{1}{ca}=3a+b$. Abbiamo $(a+b+c{)}^3=\frac{p}{q}$, con $p$ e $q$ integri copri e $q>0$. Calcolare $p+q$.

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Count distinct colorings of a 2015x37 chessboard obtainable by row/column inversion buttons

(Part B) Consider a $2015\times 37$ board, painted like a chessboard. Each row and column has a button that inverts the color of every cell of the corresponding row or column, for a total of $2015+37=2052$ buttons. How many different colorings of the board can be obtained?

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Invarianti, Conteggio, Doppio conteggio Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Contare i colori distinti di una scacchiera 2015x37 ottenuti con i pulsanti di inversione delle righe/colonne

(Parte B) Considerate una tabella $2015\times 37$, dipinta come una scacchiera. Ogni riga e colonna hanno un pulsante che inverte il colore di ogni cella della riga o colonna corrispondente, per un totale di pulsanti $2015+37=2052$. Quanti colori diversi si possono ottenere sulla lavagna?

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Parallelogram ABCD (AB=8, BC=4); circle through A,C, midpoint M of BC, tangent to AD, meets CD at P; find MP

(Part B) Let $ABCD$ be a parallelogram with $AB=8$ and $BC=4$. The circle $\Gamma$ passes through $A$, $C$ and through the midpoint $M$ of $BC$, and cuts the side $CD$ at the point $P\ne C$. It is known that $AD$ is tangent to $\Gamma$. Calculate the measure of segment $MP$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Parallelogramma ABCD (AB=8, BC=4); cerchio attraverso A,C, punto medio M di BC, tangente ad AD, incontra CD a P; trovare MP

(Parte B) Che $ABCD$ sia un parallelo con $AB=8$ e $BC=4$. Il cerchio $\Gamma$ passa attraverso $A$, $C$ e attraverso il punto medio $M$ di $BC$, e taglia il lato $CD$ al punto $P\ne C$. È noto che $AD$ è tangente a $\Gamma$. Calcolare la misura del segmento $MP$.

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Smallest integer a>1 such that a^(2^n)-1 is a multiple of 2015 for some positive integer n

(Part B) What is the smallest integer $a>1$ for which there exists a positive integer $n$ such that $a^{2^n}-1$ is a multiple of $2015$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Il numero intero più piccolo a>1 tale che a^(2^n)-1 è un multiple di 2015 per qualche numero intero positivo n

(Parte B) Qual è il più piccolo intero $a>1$ per il quale esiste un intero positivo $n$ tale che $a^{2^n}-1$ sia un multiple di $2015$?

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