Olimpíada Brasileira de Matemática 2015 — Nível 3 — Fase 3

Collinearity of A, D, N iff angle BAC = 45 degrees

Let $ABC$ be a scalene acute triangle and $N$ the center of the circle passing through the feet of the three altitudes of the triangle. Let $D$ be the intersection of the tangent lines to the circumcircle of $ABC$ at $B$ and $C$. Prove that $A$, $D$, and $N$ are collinear if and only if $\angle BAC=45^{\circ }$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Collinearità di A, D, N se angolo BAC = 45 gradi

Che $ABC$ sia un triangolo acuto scaleno e $N$ il centro del cerchio che attraversa i piedi delle tre altitudini del triangolo. $D$ è l’intersezione delle linee tangenti al circoncircolo di $ABC$ a $B$ e $C$. Provare che $A$, $D$ e $N$ sono collineari se e solo se $\angle BAC=45^{\circ }$.

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Largest k so every 4n-element subset contains k pairs {a,b} with b multiple of a

Let $S=\{1,2,3,\dots ,6n\}$, $n>1$. Find the largest value of $k$ for which the following statement is true: every subset $A$ of $S$ with $4n$ elements has at least $k$ two-element subsets $\{a,b\}$ with $a<b$ and $b$ a multiple of $a$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Modellizzazione, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

La k più piccola, quindi ogni sottoinsieme di elementi 4n contiene k coppie {a,b} con b multiple di a

Per esempio, $S=\{1,2,3,\dots ,6n\}$, $n>1$. Trovare il valore più grande di $k$ per il quale è corretto la seguente affermazione: ogni sottoinsieme $A$ di $S$ con $4n$ elementi ha almeno $k$ sottoinsiemi di due elementi $\{a,b\}$ con $a<b$ e $b$ un multiple di $a$.

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Infinitely many n with f(n) = f(n-1)+1 for the false derivative

Given a natural number $n>1$ with prime factorization $n=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\cdots p_k^{{\alpha }_k}$, its \emph{false derivative} is defined by $f(n)={\alpha }_1{p}_1^{{\alpha }_1-1}{\alpha }_2{p}_2^{{\alpha }_2-1}\cdots {\alpha }_k{p}_k^{{\alpha }_k-1}.$ Prove that there are infinitely many natural numbers $n$ such that $f(n)=f(n-1)+1$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Fattorizzazione, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Infinitamente molti n con f(n) = f(n-1) +1 per la derivazione falsa

Dato un numero naturale $n>1$ con fattorizzazione primaria $n=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\cdots p_k^{{\alpha }_k}$, la sua \emph{false derivative} è definita da $f(n)={\alpha }_1{p}_1^{{\alpha }_1-1}{\alpha }_2{p}_2^{{\alpha }_2-1}\cdots {\alpha }_k{p}_k^{{\alpha }_k-1}.$ Prove che ci sono infinitamente molti numeri naturali $n$ tali che $f(n)=f(n-1)+1$.

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Divisors alternating sum identity and characterization, find three solutions

Let $n$ be a positive integer and let $n=d_1>d_2>\cdots >d_k=1$ be its positive divisors.

(a) Prove that $d_1-d_2+d_3-\cdots +(-1{)}^{k-1}{d}_k=n-1$ if and only if $n$ is prime or $n=4$.

(b) Determine the three positive integers $n$ for which $d_1-d_2+d_3-\cdots +(-1{)}^{k-1}{d}_k=n-4.$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Divisioni alternando la somma identità e la caratterizzazione, trovare tre soluzioni

Che $n$ sia un intero positivo e che $n=d_1>d_2>\cdots >d_k=1$ sia il suo divisore positivo.

(a) Dimostra che $d_1-d_2+d_3-\cdots +(-1{)}^{k-1}{d}_k=n-1$ se e solo se $n$ è primo o $n=4$.

b) Determinare i tre integri positivi $n$ per i quali $d_1-d_2+d_3-\cdots +(-1{)}^{k-1}{d}_k=n-4.$

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Polynomial f with rational coefficients and integer-valued set S of size n+1 forcing g(t)=f(t) for all t

Is it true that for every polynomial $f(x)$ with rational coefficients, not all integer coefficients, of degree $n>0$, and for every polynomial $g(x)$ with all integer coefficients, there exists a set $S$ with $n+1$ integers such that $g(t)=f(t)$ for all $t\in S$?

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Polinomio f con coefficienti razionali e set di valori interi S di dimensione n+1 che forza g(t)=f(t) per tutte le t

È vero che per ogni polinomio $f(x)$ con coefficienti razionali, non tutti i coefficienti interi, di grado $n>0$, e per ogni polinomio $g(x)$ con tutti i coefficienti interi, esiste un insieme $S$ con $n+1$ interi tali che $g(t)=f(t)$ per tutti $t\in S$?

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Circumcircles of BXZ and CXY meet at P on circle with diameter through H and G

Let $ABC$ be a scalene triangle and $X$, $Y$, $Z$ points on lines $BC$, $CA$, $AB$, respectively, such that $\angle AXB=\angle BYC=\angle CZA$. The circumcircles of $BXZ$ and $CXY$ intersect at a point $P\ne X$. Prove that $P$ lies on the circle whose diameter has endpoints at the orthocenter $H$ and the centroid $G$ of $ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

I cerchi di BXZ e CXY si incontrano a P su un cerchio di diametro attraverso H e G

Il $ABC$ deve essere un triangolo di scalene e $X$, $Y$, $Z$ punti sulle linee $BC$, $CA$, $AB$, rispettivamente, in modo tale che $\angle AXB=\angle BYC=\angle CZA$. I circoncircoli di $BXZ$ e $CXY$ si intersecano in un punto $P\ne X$. Prova che $P$ si trova sul cerchio il cui diametro ha punti terminali all’ortocentro $H$ e al centroide $G$ di $ABC$.

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