Evaluate (2016^2-1)/2015.
Compute the value of .
[Source is the official answer key (GABARITO); the original multiple-choice statement and options are not reproduced. From the solution: . Alternatively, .]
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
Evaluare (2016^2-1)/2015.
Calcolare il valore di .
[Fonte: la chiave di risposta ufficiale (GABARITO); la dichiarazione di scelta pluriennale originale e le opzioni non sono riprodotte. Dalla soluzione: . In alternativa, .]
Risposta: E src_obm_2016_n1_f1__Q01
Area of the largest square ABCD in a figure.
Find the area of the largest square in the given figure.
[Source is the answer key; original statement/options not reproduced. From the solution: the area of the largest square is .]
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
Area del più grande quadrato ABCD in una figura.
Trova l’area del più grande quadrato nella figura data.
[Fonte è la chiave di risposta; dichiarazione/opzioni originali non riprodotte. Dalla soluzione: la superficie del quadrato più grande è .]
Risposta: D src_obm_2016_n1_f1__Q02
Five-digit numbers with distinct odd digits; bound on houses with no newspaper.
[Source is the answer key; original statement/options not reproduced. From the solution: there are odd digits: . Hence there are numbers of exactly five digits all odd and with an odd sum of digits. Therefore at most houses did not receive the newspaper.]
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
Numeri a cinque cifre con cifre odd distinte; legati a case senza giornale.
[Fonte è la chiave di risposta; dichiarazione/opzioni originali non riprodotte. Dalla soluzione: ci sono numeri unici: . Quindi ci sono numeri di esattamente cinque cifre tutti strani e con una somma pari di cifre. Pertanto, al massimo le case non hanno ricevuto il giornale.]
Risposta: D src_obm_2016_n1_f1__Q03
Numbers on the vertices of a solid so each face has equal sum; total of all vertices.
Numbers are written on the vertices of the figure so that the numbers appearing on the faces are the same. Find the sum of the numbers written on all the vertices.
[Source is the answer key; original statement/options not reproduced. From the solution: the faces meeting at the vertex with number give and ; for all faces to be equal the face values lead to , and one deduces the bottom vertex equals . The sum over all vertices is .]
Topic: Combinatoria, Geometria solida, Logica Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
Numeri sulle vertici di un solido in modo che ogni faccia abbia la somma uguale; totale di tutti i vertici.
I numeri sono scritti sulle cime della figura in modo che i numeri che appaiono sulle facce siano gli stessi. Trova la somma dei numeri scritti su tutti i vertici.
[Fonte è la chiave di risposta; dichiarazione/opzioni originali non riprodotte. Dalla soluzione: le facce che si incontrano al vertice con il numero danno e ; per tutte le facce essere uguali i valori delle facce portano a , e si deduce il vertice inferiore uguale . La somma di tutti i vertici è .]
Risposta: C src_obm_2016_n1_f1__Q04
Boy/girl reading magazines per week; on which date they become equal.
[Source is the answer key; original statement/options not reproduced. From the solution: with the number of weeks, weeks. Counting days from the start of the second week of February, and since (March, April, May) plus the remaining February days total days, one concludes the boy equals the girl in number of magazines only at the end of the first week of June.]
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Modellizzazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
Giochi/ragazze che leggono riviste settimanali; a che data diventano uguali.
[Fonte è la chiave di risposta; dichiarazione/opzioni originali non riprodotte. Dalla soluzione: con il numero di settimane, settimane. Contando giorni dall’inizio della seconda settimana di febbraio, e dal momento che (marzo, aprile, maggio) più i giorni di febbraio rimanenti totali giorni, si conclude che il ragazzo equivale alla ragazza nel numero di riviste solo alla fine della prima settimana di giugno.]
Risposta: D src_obm_2016_n1_f1__Q05
Which letters (O, B, M) can appear in the shaded cell of a 3x3 grid.
Determine which of the letters can appear in the shaded cell of the grid.
[Source is the answer key; original statement/options not reproduced. From the solution: the following examples show that any of the letters can appear in the shaded (gray) cell: ]
Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
Quali lettere (O, B, M) possono apparire nella cella ombrata di una griglia 3x3.
Determina quali lettere possono apparire nella cella ombrata della griglia.
[Fonte è la chiave di risposta; dichiarazione/opzioni originali non riprodotte. Dalla soluzione: i seguenti esempi mostrano che qualsiasi delle lettere può apparire nella cella ombrata (grigio): ]
Risposta: E src_obm_2016_n1_f1__Q06
Least number of equal pieces divisible among 2, 3 or 5 people.
Find the least number of equal pieces into which something can be cut so that it can be shared equally among , or people.
[Source is the answer key; original statement/options not reproduced. From the solution: since the pieces are all equal and can be divided into groups of , or , the number of pieces must be a multiple of the least common multiple of these numbers, i.e. a multiple of . With equal pieces the desired division is indeed possible.]
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
Minimo numero di pezzi uguali divisibili tra 2, 3 o 5 persone.
Trova il minor numero di pezzi uguali in cui si può tagliare qualcosa in modo che possa essere diviso in modo uguale tra , o persone.
[Fonte è la chiave di risposta; dichiarazione/opzioni originali non riprodotte. Dalla soluzione: poiché tutti i pezzi sono uguali e possono essere divisi in gruppi di , o , il numero di pezzi deve essere un multiple del più piccolo comune di questi numeri, ovvero un multiple di . Con pezzi uguali la divisione desiderata è effettivamente possibile.]
Risposta: D src_obm_2016_n1_f1__Q07
Josias’s position in a queue given a ratio between people before and after him.
Find Josias’s position in the queue.
[Source is the answer key; original statement/options not reproduced. From the solution: people arrived before Josias and people arrived after him, with , i.e. , giving .]
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
La posizione di Josias in fila data la proporzione tra persone prima e dopo di lui.
Trova la posizione di Josias nella coda.
[Fonte è la chiave di risposta; dichiarazione/opzioni originali non riprodotte. Dalla soluzione: persone sono arrivate prima di Josias e persone sono arrivate dopo di lui, con , cioè , con .]
Risposta: A src_obm_2016_n1_f1__Q08
Rectangle of integer sides with perimeter 58 and square area; find side of square.
A rectangle has integer dimensions and and its area equals that of a square of side . Find .
[Source is the answer key; original statement/options not reproduced. From the solution: so ; the possible pairs are . Of these, only gives a product that is a perfect square, , so .]
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri, Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
Rettangolo di lati interi con perimetro 58 e superficie quadrata; trovare lato di quadrato.
Un rettangolo ha dimensioni interi e e la sua superficie è uguale a quella di un quadrato laterale . Trova .
[Fonte è la chiave di risposta; dichiarazione/opzioni originali non riprodotte. Dalla soluzione: quindi ; le possibili coppie sono . Di questi, solo dà un prodotto che è un quadrato perfetto, , quindi .]
Risposta: C src_obm_2016_n1_f1__Q09
Erase points from a 12-point figure so no four remaining points form a forbidden configuration.
In the figure of points, decide how many points must be erased.
[Source is the answer key; original statement/options not reproduced. From the solution: one erases certain points of the , leaving . Examining the segments, every group of points joined by a segment lies over a square configuration; eliminating one point of each such pair removes exactly points. Reasoning through the items, the answer is .]
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
Sborra i punti da una figura di 12 punti in modo che non siano rimasti quattro punti che formino una configurazione proibita.
Nella figura dei punti , decidere quanti punti devono essere cancellati.
[Fonte è la chiave di risposta; dichiarazione/opzioni originali non riprodotte. Dalla soluzione: si cancella alcuni punti del , lasciando . Esaminando i segmenti, ogni gruppo di punti uniti da un segmento si trova su una configurazione quadrata; eliminando un punto di ciascuna di tali coppie rimuove esattamente punti. Ragionando attraverso le voci, la risposta è .]
Risposta: D src_obm_2016_n1_f1__Q10
People in a row alternate truth-tellers and liars; count the liars.
In a row of people, each is either honest or a liar; find how many are liars.
[Source is the answer key; original statement/options not reproduced. From the solution: the first person to answer cannot be telling the truth; the second told the truth, the third lied, the fourth told the truth, and so on, so liars and honest people alternate. Therefore there are liars in the row.]
Topic: Logica, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
Le persone in fila si alternano a dire la verità e a mentire; contare i bugiardi.
In una fila di persone, ognuno è onesto o bugiardo. Scopri quanti sono i bugiardi.
[Fonte è la chiave di risposta; dichiarazione/opzioni originali non riprodotte. Dalla soluzione: la prima persona a rispondere non può dire la verità; la seconda ha detto la verità, la terza ha mentito, la quarta ha detto la verità, e così via, quindi i bugiardi e le persone oneste si alternano. Quindi ci sono mentitori nella fila.]
Risposta: C src_obm_2016_n1_f1__Q11
Ratio of total green to total red surface area after cutting a painted cube into 8.
After cutting the cube into eight smaller blocks, find the ratio of total green surface area to total red surface area.
[Source is the answer key; original statement/options not reproduced. From the solution: each green face of the eight smaller blocks obtained after cutting the cube is opposite to a red one, and vice versa. Hence the ratio of total green area to total red area is .]
Topic: Geometria solida, Combinatoria Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
*Relazione tra superficie totale verde e superficie totale rossa dopo aver tagliato un cubo dipinto in 8. *
Dopo aver tagliato il cubo in otto blocchi più piccoli, trova il rapporto tra superficie verde totale e superficie rossa totale.
[Fonte è la chiave di risposta; dichiarazione/opzioni originali non riprodotte. Dalla soluzione: ogni faccia verde degli otto blocchi più piccoli ottenuti dopo aver tagliato il cubo è opposta a quella rossa e viceversa. Pertanto il rapporto tra superficie verde totale e superficie rossa totale è .]
Risposta: A src_obm_2016_n1_f1__Q12
List of 10 numbers split into odd/even counts x,y; relation between same- and mixed-parity pairs; max x.
In a list of numbers, let and be the quantities of odd and even numbers. Find the maximum value of .
[Source is the answer key; original statement/options not reproduced. From the solution: in a set of elements the number of two-element subsets is . With and the condition (since the sum of two same-parity numbers is even and a mixed pair is odd). Substituting gives , with solutions or . Since satisfies the condition, the maximum value of is .]
Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
Lista di 10 numeri divisi in numeri odd/even x,y; relazione tra coppie di parità uguale e miscela; max x.
In un elenco di numeri , e siano le quantità di numeri odd e pari. Trova il valore massimo di .
[Fonte è la chiave di risposta; dichiarazione/opzioni originali non riprodotte. Dalla soluzione: in un insieme di elementi il numero di sottoinsiemi di due elementi è . Con e la condizione (dal momento che la somma di due numeri con la stessa parità è pari e una coppia mista è impar). Substituendo si ottiene , con soluzioni o . Poiché soddisfa la condizione, il valore massimo di è .]
Risposta: E src_obm_2016_n1_f1__Q13
Sum/average of Math and Portuguese grades for classes A and B; which statements are false.
The table shows the sums of the students’ grades in classes A and B on the Mathematics and Portuguese tests. Decide which statements (a)-(d) are false.
[Source is the answer key; original statement/options not reproduced. From the solution, the table is: Analysis of the graph shows immediately that items (a) and (b) are false. The Mathematics average of the two classes together is , so item (c) is also true. The averages of the two tests in classes A and B are and respectively. The overall average of all grades is , so item (d) is true.]
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Lettura attenta, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
Summa/media delle classi di matematica e di portoghese per le classi A e B; quali dichiarazioni sono false.
La tabella mostra la somma dei voti degli studenti delle classi A e B nelle prove di matematica e di portoghese. Decidere quali affermazioni (a) - (d) sono false.
[Fonte è la chiave di risposta; dichiarazione/opzioni originali non riprodotte. Dalla soluzione, la tabella è: L’analisi del grafico mostra immediatamente che i punti (a) e (b) sono falsi. La media matematica delle due classi insieme è , quindi anche il punto (c) è vero. Le medie delle due prove delle classi A e B sono rispettivamente e . La media complessiva di tutte le classi è , quindi la lettera d) è vera.]
Risposta: E src_obm_2016_n1_f1__Q14
Minimum single-token moves to rearrange a colored-token grid into a target.
Find the minimum number of moves needed to rearrange the colored tokens of the grid into the target configuration.
[Source is the answer key; original statement/options not reproduced. From the solution: a third column already has the repeated arrangement so needs no movement; the first and a second column each need a move; a single move is not enough because two tokens lie in different rows. Two moves are sufficient, as illustrated.]
Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
Minimum di movimenti singoli per riorganizzare una griglia di tokeni colorati in un obiettivo.
Trova il numero minimo di mosse necessarie per riordinare i token colorati della griglia nella configurazione di destinazione.
[Fonte è la chiave di risposta; dichiarazione/opzioni originali non riprodotte. Dalla soluzione: una terza colonna ha già la disposizione ripetuta quindi non ha bisogno di movimento; la prima e la seconda colonna hanno bisogno di un movimento ciascuno; un solo movimento non è sufficiente perché due token si trovano in diverse righe. Due mosse sono sufficienti, come illustrato.]
Risposta: B src_obm_2016_n1_f1__Q15
Booklet pagination: relate page numbers on the front/back of a sheet.
In a booklet, determine the requested page number(s) on a sheet.
[Source is the answer key; original statement/options not reproduced. From the solution: page has page on its back and pages and on its other part. So page (which is ) has on its back page (which is ) and pages () and () on its other part.]
Topic: Teoria dei Numeri, Logica Abilita: Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
Paginazione del libretto: collegare i numeri delle pagine nella parte anteriore/retro di un foglio.
In un opuscolo, indicare il numero della pagina richiesta (s) su un foglio.
[Fonte è la chiave di risposta; dichiarazione/opzioni originali non riprodotte. Dalla soluzione: la pagina ha la pagina sul retro e le pagine e sull’altra parte. Quindi la pagina (che è ) ha sulla sua pagina posteriore (che è ) e le pagine () e () dall’altra parte.]
Risposta: E src_obm_2016_n1_f1__Q16
Total length of a chain/necklace of 20 linked rings.
Find the requested total length obtained by laying out the linked rings.
[Source is the answer key; original statement/options not reproduced. From the solution: dividing or gluing the parts as shown, the requested length is .]
Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
Lunghezza totale di una catena/colletto di 20 anelli collegati.
Trovare la lunghezza totale richiesta ottenuta all’interno degli anelli collegati.
[Fonte è la chiave di risposta; dichiarazione/opzioni originali non riprodotte. Dalla soluzione: divisione o incollazione delle parti come mostrato, la lunghezza richiesta è .]
Risposta: A src_obm_2016_n1_f1__Q17
Area of a gray region in a square with marked equal segments (AB=BC=CD=AE=EG=GH=2).
With , find the area of the gray region.
[Source is the answer key; original statement/options not reproduced. From the solution: the area of triangle is . The area of triangle is (with , the midpoint of side and the center of the square). The area of triangle is and the area of triangle is , so quadrilateral has area ; by symmetry, triangle has area . It remains to find the areas of triangles and . Splitting into four triangles like gives . The gray area inside triangle is , so by symmetry the total gray area is .]
Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
Area di una regione grigia in un quadrato con segmenti segnalati uguali (AB=BC=CD=AE=EG=GH=2).
Con si trova l’area della regione grigia.
[Fonte è la chiave di risposta; dichiarazione/opzioni originali non riprodotte. Dalla soluzione: l’area del triangolo è . L’area del triangolo è (con , il punto medio del lato e il centro del quadrato). La superficie del triangolo è e la superficie del triangolo è , quindi il quadrilaterale ha superficie ; per simmetria, il triangolo ha superficie . Resta da trovare le aree dei triangoli e . Dividere in quattro triangoli come dà . L’area grigia all’interno del triangolo è , quindi per simmetria l’area grigia totale è .]
Risposta: B src_obm_2016_n1_f1__Q18
Trip cost of 6000 split among friends; three drop out raising each share by 100; find number/cost.
A trip costing reais is to be shared equally among friends, but three drop out, raising each remaining person’s share by reais. Set up and solve for the number of people.
[Source is the answer key; original statement/options not reproduced. From the solution: initially each of people would pay reais; after three drop out, each of the travelers pays , which is reais more, so .]
Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
Costo di viaggio di 6000 dividiti tra amici; tre drop out aumentando ogni quota di 100; trovare numero/costo.
Un viaggio che costa reais deve essere condiviso in modo uguale tra gli amici, ma tre abbandonano, aumentando la quota di ciascuna persona rimanente di reais. Si imposta e si risolve per il numero di persone.
[Fonte è la chiave di risposta; dichiarazione/opzioni originali non riprodotte. Dalla soluzione: inizialmente ciascuna delle persone pagherebbe reais; dopo tre uscite, ciascuna delle persone pagherebbe , che è reais in più, quindi .]
Risposta: B src_obm_2016_n1_f1__Q19
Count distinct products P from a digit puzzle with nonzero digits and Z=S^3 x I^2.
Each letter is a nonzero digit; count the number of distinct values the product can take.
[Source is the answer key; original statement/options not reproduced. From the solution: since all digits are nonzero, cancelling repeated terms gives . As is a digit, either or . In the first case or ; in the second case the possibilities are or . Since differs from and , there are options for in each case. Listing the possible products and excluding combinations giving an already-chosen , there are distinct values for : and .]
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
Conta i prodotti distinti P da un puzzle di numeri con numeri non zero e Z=S^3 x I^2.
Ogni lettera è una cifra non zero; contare il numero di valori distinti che il prodotto può assumere.
[Fonte è la chiave di risposta; dichiarazione/opzioni originali non riprodotte. Dalla soluzione: poiché tutte le cifre non sono zero, annullare i termini ripetuti dà . Poiché è una cifra, sia che . Nel primo caso o ; nel secondo caso le possibilità sono o . Poiché differisce da e , ci sono opzioni per in ogni caso. Se si elencano i possibili prodotti ed escludono le combinazioni che danno un già scelto, ci sono valori distinti per : e .]
Risposta: A src_obm_2016_n1_f1__Q20