Olimpíada Brasileira de Matemática 2016 — Nível 1 — Fase 2

Count integers less than 2016 whose cube has fewer than 10 digits

Raising the number $2016$ to the cube gives the $10$-digit number $8,193,540,096$. How many positive integers less than $2016$ have a cube with fewer than ten digits?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità Abilita: Lettura attenta, Stima, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare i numeri interi inferiori al 2016 il cui cubo ha meno di 10 cifre

L’aumento del numero $2016$ al cubo dà il numero $10$ a cifre $8,193,540,096$. Quanti numeri interi positivi inferiori a $2016$ hanno un cubo con meno di dieci cifre?

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Used-car dealer: 20% profit on one car, 20% loss on another at same price; total result

A used-car dealer sold two cars at $12,000$ reais each. On one of them he made a profit of $20\%$ over cost, and on the other he suffered a loss of $20\%$ over cost. It seems that since he neither lost nor gained on either transaction, the overall result was break-even — but in reality he did make or lose money. What was his total profit or loss, in reais?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Concessionario di auto usate: 20% di profitto su una macchina, 20% di perdita su un’altra al medesimo prezzo; risultato totale*

Un concessionario di auto usate ha venduto due auto a $12,000$ reais ciascuno. In una di esse ha ottenuto un profitto di $20\%$ rispetto al costo, e nell’altra ha subito una perdita di $20\%$ rispetto al costo. Sembra che, poiché non ha perso né guadagnato in nessuna delle due transazioni, il risultato complessivo sia stato un equilibrio, ma in realtà ha fatto o perso denaro. Qual era il suo profitto o perdita totale, in reais?

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Square ABCD split into two congruent rectangles and two squares of areas 64 and 121; find area of ABCD

The square $ABCD$ is divided into two congruent rectangles and two squares whose areas, in square metres, are indicated in the figure ($64$ and $121$). What is the area of square $ABCD$ in square metres?

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

L’ABCD quadrato è diviso in due rettangoli congruenti e due quadrati delle aree 64 e 121; trova area di ABCD

Il quadrato $ABCD$ è diviso in due rettangoli congruenti e due quadrati le cui aree, in metri quadrati, sono indicate nella figura ($64$ e $121$). Qual è la superficie di $ABCD$ quadrato in metri quadrati?

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Long multiplication AAB × CC with digits 2,3,5,7 as A,B,C,D; find ABCD

In the multiplication below, the prime digits $2,3,5,7$ are represented by the letters $A$, $B$, $C$, $D$ (not necessarily in that order). What is the number $ABCD$?\n$\begin{array}{r}AAB\\ \times CC\\ DCDB\\ DBAB\\ DBAB\end{array}$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Lettura attenta, Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Lunga moltiplicazione AAB × CC con cifre 2,3,5,7 come A,B,C,D; trovare ABCD

Nella moltiplicazione di seguito, i numeri primi $2,3,5,7$ sono rappresentati dalle lettere $A$, $B$, $C$, $D$ (non necessariamente in tale ordine). Qual è il numero $ABCD$?\n$\begin{array}{r}AAB\\ \times CC\\ DCDB\\ DBAB\\ DBAB\end{array}$

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Two gray squares share a vertex; white square has a vertex on each side; find angle X

In the figure, the two gray squares share a common vertex, and the white square has one vertex on each side of those gray squares. The measures of some angles (in degrees) are shown in the figure: $47^{\circ }$, $122^{\circ }$, and $X^{\circ }$. What is the value of $X$?

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due quadrati grigi condividono una vertica; quadrato bianco ha una vertica su ogni lato; trovare angolo X

Nella figura, i due quadrati grigi condividono un vertice comune, e il quadrato bianco ha un vertice su ogni lato di quei quadrati grigi. Le misure di alcuni angoli (in gradi) sono indicate nella figura: $47^{\circ }$, $122^{\circ }$ e $X^{\circ }$. Qual è il valore di $X$?

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Board m×n covered by T-tetromino (leaving 3) and L-tromino (leaving 2); find minimum m·n

The following figure shows two types of pieces: Type 1, with $4$ unit squares (an L-shaped tetromino), and Type 2, with $3$ unit squares (an L-shaped tromino). A board with $m$ rows and $n$ columns was covered, without overlapping, by Type 1 pieces with the exception of exactly $3$ unit squares left uncovered. Then the same board was covered, also without overlapping, by Type 2 pieces with the exception of exactly $2$ unit squares left uncovered. The pieces may be rotated but may not extend outside the board. What is the smallest possible value of the product $m\cdot n$?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework, Invarianti Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Tabella m×n coperta da T-tetromino (seconda 3) e L-tromino (seconda 2); trovare il minimo m·n

La figura seguente mostra due tipi di pezzi: tipo 1, con quadrati di unità $4$ (un tetromino a forma di L) e tipo 2, con quadrati di unità $3$ (un tromino a forma di L). Un tabellone con righe $m$ e colonne $n$ è stato coperto, senza sovrapposizioni, da pezzi di tipo 1, ad eccezione di quadrati di unità $3$ che non sono stati coperti. Poi la stessa lavagna è stata coperta, anche senza sovrapposizioni, da pezzi di tipo 2, con l’eccezione di quadrati di unità $2$ esclusi. I pezzi possono essere rotati ma non possono estendersi al di fuori della tavola. Qual è il minimo valore possibile del prodotto $m\cdot n$?

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Color 7×7 table red/blue/brown so blue dominates each row and column; min red and min brown cells

[Part B] Janaína wants to paint the cells of a $7\times 7$ table with three colours — red, blue, and brown — in the following way: in each row and in each column, the number of blue cells must be greater than or equal to the number of red cells, and the number of blue cells must also be greater than or equal to the number of brown cells. All rows and columns must contain cells of all three colours.\n(a) What is the minimum number of cells that will be painted red?\n(b) What is the minimum number of cells that will be painted brown?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità, Doppio conteggio Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Colore 7×7 tabella rosso/blu/bronzo in modo che il blu domini ogni riga e colonna; min cellule rosse e min cellule marrone

[Parte B] Janaína vuole dipingere le celle di una tabella $7\times 7$ con tre colori rosso, blu e marrone in questo modo: in ogni riga e in ogni colonna, il numero di celle blu deve essere maggiore o uguale al numero di celle rosse e il numero di celle blu deve anche essere maggiore o uguale al numero di celle marrone. Tutte le righe e le colonne devono contenere cellule di tutti e tre i colori. a) Qual è il numero minimo di cellule da dipingere in rosso? b) Qual è il numero minimo di cellule da dipingere in marrone?

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Perimeter segments vs interior segments quotient for n×n grid; pattern and extremal questions

[Part B] We associate to each $n\times n$ square (divided into unit squares) the quotient of the number of unit segments on its perimeter by the number of unit segments strictly in its interior. The first three values are:\n$\frac{8}{4}=2,\frac{12}{12}=1,\frac{16}{24}=\frac{2}{3}.$\n(a) What is the quotient associated to the $5\times 5$ square?\n(b) How many values of $n$ give a quotient equal to $\frac{1}{2}$?\n(c) The absolute difference between the quotients of two consecutive squares in the sequence is always $\frac{1}{k}$ for some fixed value of $k$. What is $k$? How many unit segments are on the perimeter of the smallest square whose associated quotient is less than $\frac{1}{10}$?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Ricorsione, Telescoping, Estremalità Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

segmenti di perimetro vs quotiente di segmenti interni per n ×n griglia; modello e domande estreme

[Parte B] Associamo a ogni quadrato $n\times n$ (divisi in quadrati di unità) il quotiente del numero di segmenti unitari sul suo perimetro per il numero di segmenti unitari strettamente all’interno. I primi tre valori sono:\n$\frac{8}{4}=2,\frac{12}{12}=1,\frac{16}{24}=\frac{2}{3}.$\n(a) Qual è il quotiente associato al quadrato $5\times 5$?\n(b) Quanti valori di $n$ danno un quotiente uguale a $\frac{1}{2}$?\n(c) La differenza assoluta tra i quotienti di due quadrati consecutivi nella sequenza è sempre $\frac{1}{k}$ per un certo valore fisso di $k$. Che cos’è $k$? Quanti segmenti unitari si trovano sul perimetro del più piccolo quadrato il cui quotiente associato è inferiore a $\frac{1}{10}$?

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Write digits 1–9 in 9 boxes (some gray, some white); count arrangements by digit-parity and sum conditions

[Part B] Ana wants to write the digits from $1$ to $9$, one in each box of the diagram below (9 boxes in a row), to form a $9$-digit number $N$. The gray boxes are the boxes in positions $1,3,5,7,9$ (the 5 odd-indexed positions), and the white boxes are those in positions $2,4,6,8$.\n(a) In how many ways can Ana form the number $N$ by writing even digits in the gray boxes?\n(b) In how many ways can Ana form the number $N$ by writing only odd digits in the gray boxes?\n(c) In how many ways can she form $N$ such that the sum of the digits in the gray boxes equals twice the sum of the digits in the white boxes?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Scrivere i numeri 19 in 9 caselle (alcune in grigio, alcune in bianco); contare le disposizioni secondo le condizioni di parità digitali e di somma

[Parte B] Ana vuole scrivere le cifre da $1$ a $9$, una in ogni casella del diagramma di seguito (9 caselle consecutive), per formare un numero $9$ a cifre $N$. Le scatole grigie sono le scatole nelle posizioni $1,3,5,7,9$ (le 5 posizioni indicizzate parie), e le scatole bianche sono quelle nelle posizioni $2,4,6,8$.\n(a) In quanti modi può Ana formare il numero $N$ scrivendo numeri pari nelle scatole grigie?\n(b) In quanti modi può Ana formare il numero $N$ scrivendo solo numeri parie nelle scatole grigie?\n(c) In quanti modi può formare $N$ in modo tale che la somma delle cifre nelle scatole grigie sia pari al doppio della somma delle cifre nelle scatole bianche?

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