Olimpíada Brasileira de Matemática 2016 — Nível 1 — Fase 3

Angle bisectors, parallel conditions; prove AB=AC from collinearity

Let $ABC$ be a triangle. The lines $r$ and $s$ are the internal bisectors of $\angle ABC$ and $\angle BCA$, respectively. The points $E$ on $r$ and $D$ on $s$ are such that $AD\parallel BE$ and $AE\parallel CD$. The lines $BD$ and $CE$ meet at $F$. Show that if the points $A$, $F$, $E$ are collinear, then $AB=AC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Bissettori d’angolo, condizioni parallele; dimostrare AB=AC dalla collinearità

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo. Le linee $r$ e $s$ sono rispettivamente i bisettori interni di $\angle ABC$ e $\angle BCA$. I punti $E$ su $r$ e $D$ su $s$ sono tali da $AD\parallel BE$ e $AE\parallel CD$. Le linee $BD$ e $CE$ si incontrano a $F$. Indicare che se i punti $A$, $F$, $E$ sono collineari, allora $AB=AC$.

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Smallest n: any n integer-coordinate points have two with squared distance divisible by 2016

Find the smallest $n$ such that any set of $n$ points in the Cartesian plane, all with integer coordinates, contains two points whose squared distance is a multiple of $2016$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Principio dei cassetti, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Nello più piccolo: ogni n punto di coordinate interi ha due con distanza quadrata divisibile entro il 2016

Trova il più piccolo $n$ in modo che qualsiasi insieme di punti $n$ nel piano cartesiano, tutti con coordinate interi, contenga due punti la cui distanza quadrata è un multiple di $2016$.

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Two-player game replacing numbers by differing in k binary digits; count losing positions

Let $N_0$ be a fixed positive integer. Alberto and Beraldo play the following game starting from $N_0$: they alternately perform the following operation — given a number $n$, replace it by a number $m$ such that $m<n$ and, in their base-$2$ representations, $m$ and $n$ differ in exactly $\ell$ digits for some $\ell$ with $1\le \ell \le k$. The player who cannot move loses. We say that a player receiving $n$ has a winning strategy if they can always choose a move that leads to a win regardless of the opponent’s play; otherwise we say they lose. Prove that, for every positive integer $N$, the number of non-negative losing integers less than $2^N$ is at most $2^N-\lfloor {\log }_2(\lfloor N/1\rfloor )\rfloor$. (Observation: $\lfloor x\rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to $x$. For example, $\lfloor 3.14\rfloor =3$, $\lfloor 2\rfloor =2$, $\lfloor -4.6\rfloor =-5$.)

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Induzione, Casework Abilita: Lettura attenta, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Gioco a due giocatori che sostituiscono i numeri con k di cifre binarie; contare le posizioni perdenti

$N_0$ sia un intero positivo fisso. Alberto e Beraldo giocano il seguente gioco a partire da $N_0$: eseguono alternativamente la seguente operazione data un numero $n$, sostituendolo con un numero $m$ in modo tale che $m<n$ e, nelle loro rappresentazioni di base-$2$, $m$ e $n$ differiscono esattamente in $\ell$ cifre per alcuni $\ell$ con $1\le \ell \le k$. Il giocatore che non può muoversi perde. Diciamo che un giocatore che riceve $n$ ha una strategia vincente se può sempre scegliere una mossa che porta alla vittoria indipendentemente dal gioco dell’avversario; altrimenti diciamo che perde. Prove che per ogni intero positivo $N$, il numero di interi non negativi perdenti inferiori a $2^N$ è massimo $2^N-\lfloor {\log }_2(\lfloor N/1\rfloor )\rfloor$. (Osservazione: $\lfloor x\rfloor$ indica il numero intero più grande inferiore o uguale a $x$. Ad esempio, $\lfloor 3.14\rfloor =3$, $\lfloor 2\rfloor =2$, $\lfloor -4.6\rfloor =-5$.)

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Max subset of {1,…,2016} with no two elements differing by 1, 2, or 6

What is the greatest number of positive integers less than or equal to $2016$ that we can choose so that no two of the chosen numbers differ by $1$, $2$, or $6$?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio, Invarianti Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sottoinsieme massimo di {1,…2016} senza due elementi diversi di 1, 2 o 6

Qual è il maggior numero di interi positivi inferiori o uguali a $2016$ che possiamo scegliere in modo che nessuno dei due numeri scelti differisca da $1$, $2$ o $6$?

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Polynomial sequence from recurrence; prove negative value for all n, then count such integers

Consider the degree-$2$ polynomial $P_1(x)=4x^2+12x-3015$. Define the sequence of polynomials by $P_{n+1}(x)=\frac{P_n(x{)}^2}{2016}$ for every integer $n\ge 1$.

(a) Prove that there exists a real number $r$ such that $P_n(r)<0$ for every positive integer $n$.

(b) Determine the number of integers $m$ such that $P_n(m)<0$ for infinitely many positive integers $n$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Fattorizzazione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Stima Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza polinomica da ricorrenza; dimostrare valore negativo per tutte le n, quindi contare tali interi

Considera il polinomio $P_1(x)=4x^2+12x-3015$ di grado-$2$. Definire la sequenza dei polinomi per $P_{n+1}(x)=\frac{P_n(x{)}^2}{2016}$ per ogni intero $n\ge 1$.

a) Prove che esiste un numero reale $r$ tale da $P_n(r)<0$ per ogni intero positivo $n$.

b) Determinare il numero di integri $m$ tale che $P_n(m)<0$ per infiniti integri positivi $n$.

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Convex non-cyclic quadrilateral; circumcenters of bisector quadrilaterals and radical axis point are collinear

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral, not cyclic, with no parallel sides. The lines $AB$ and $CD$ meet at $L$. Let $M\ne L$ be the second intersection point of the circumcircles of triangles $ADL$ and $BCL$. The internal bisectors of $ABCD$ determine a convex cyclic quadrilateral with circumcenter $I$, and the external bisectors of $ABCD$ determine a convex cyclic quadrilateral with circumcenter $J$. Prove that $I$, $J$, and $M$ are collinear.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Astrazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilaterali convexi non ciclici; i circoncenti dei quadrilaterali bisettori e il punto dell’asse radicale sono collineari

Il $ABCD$ deve essere un quadrilaterale convex, non ciclico, senza lati paralleli. Le linee $AB$ e $CD$ si incontrano a $L$. $M\ne L$ sia il secondo punto di intersezione dei circoncircoli dei triangoli $ADL$ e $BCL$. I bisettori interni di $ABCD$ determinano un quadrilatero ciclico convex con circumcenter $I$, e i bisettori esterni di $ABCD$ determinano un quadrilatero ciclico con convex con circumcenter $J$. Provare che $I$, $J$ e $M$ sono collineari.

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