Olimpíada Brasileira de Matemática 2016 — Nível 2 — Fase 1

Sum of numbers at vertices of a tetrahedron given face sums with 2 and 7

Numbers are written at the vertices of a tetrahedron. It is given that on certain edges/faces appear the numbers $2$ and $7$ (as shown in the figure), and that the faces containing the number $2$ satisfy $2+x+7=2+7+y=x+2+7$, which forces $x=y=7$, so the sum of the numbers at the vertices of each face equals $2+7+7=16$, and the number at the lower vertex is found to be $2$. What is the sum of the numbers written at all the vertices of the tetrahedron? (Note: original multiple-choice options are not reproduced in the source gabarito.)

Topic: Teoria dei Numeri, Geometria solida Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF

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Summa di numeri alle vertici di un tetraedro dati sommi facciali con 2 e 7

I numeri sono scritti ai vertici di un tetraedro. Si ritiene che su alcuni bordi/facce appaiano i numeri $2$ e $7$ (come mostrato nella figura), e che i volti contenenti il numero $2$ soddisfino $2+x+7=2+7+y=x+2+7$, il che costringe $x=y=7$, quindi la somma dei numeri alle vertici di ciascuna faccia è uguale $2+7+7=16$, e il numero al vertice inferiore è $2$. Qual è la somma dei numeri scritti a tutti i vertici del tetraedro? (Nota: le opzioni multiple di scelta originali non sono riprodotte nel gabarito sorgente.)

Risposta: C src_obm_2016_n2_f1__Q01

Position of Josias in a line given people before and after

Let $x$ be the position of Josias in a line. Then $x-1$ people arrived before him and $2016-x$ people arrived after him. Determine $x$. (Note: original multiple-choice options are not reproduced in the source gabarito.)

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Modellizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

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Posizione di Josias in una linea data alle persone prima e dopo

Lasciate che la posizione di Josias in una riga sia $x$. Poi arrivarono persone prima di lui e persone dopo. Determinare $x$. (Nota: le opzioni multiple di scelta originali non sono riprodotte nel gabarito sorgente.)

Risposta: C src_obm_2016_n2_f1__Q02

Households not receiving a newspaper, two-digit odd-digit codes

There are $5$ odd digits: $1$, $3$, $5$, $7$, $9$. Therefore there are $5\cdot 5=25$ two-digit numbers using only these digits. Consequently at most $25-18=7$ households did not receive the newspaper. How many households did not receive the newspaper? (Note: original multiple-choice options are not reproduced in the source gabarito.)

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

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Le famiglie che non ricevono un giornale, codici a due cifre a poche cifre

Ci sono $5$ numeri unici: $1$, $3$, $5$, $7$, $9$. Pertanto ci sono $5\cdot 5=25$ numeri a due cifre che utilizzano solo queste cifre. Di conseguenza, la maggior parte delle famiglie $25-18=7$ non ha ricevuto il giornale. Quante famiglie non hanno ricevuto il giornale? (Nota: le opzioni multiple di scelta originali non sono riprodotte nel gabarito sorgente.)

Risposta: D src_obm_2016_n2_f1__Q03

Which letter can occupy the grey cell of a 3x3 grid of O, B, M

The grid is filled with the letters O, B, M (as shown). The following examples show that any one of the letters can occupy the grey cell. Which letter can be placed in the grey cell? (Note: original multiple-choice options are not reproduced in the source gabarito; the answer key indicates all three letters O, B and M are possible.)

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF

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Che lettera può occupare la cella grigia di una griglia 3x3 di O, B, M

La griglia è riempita dalle lettere O, B, M (come mostrato). Gli esempi che seguono mostrano che una delle lettere può occupare la cella grigia. Quale lettera può essere inserita nella cella grigia? (Nota: le opzioni multiple di scelta originali non sono riprodotte nel gabarito sorgente; la chiave di risposta indica che sono possibili tutte e tre le lettere O, B e M.)

Risposta: E src_obm_2016_n2_f1__Q04

Number of equal candies divisible among groups of 2, 3 or 4

Since the candies are equal and can be divided into groups of $2$, $3$ or $4$ people, the number of candies must be a multiple of the least common multiple of $2$, $3$ and $4$, namely $12$. Among the options only one is a multiple of $12$ (with $30$ pieces such a division is verified to be possible). How many candies are there? (Note: original multiple-choice options are not reproduced in the source gabarito.)

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

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Numero di dolci uguali divisibili tra gruppi di 2, 3 o 4

Poiché le caramelle sono uguali e possono essere suddivise in gruppi di persone $2$, $3$ o $4$, il numero di caramelle deve essere un multiple del più piccolo comune di $2$, $3$ e $4$, vale a dire $12$. Tra le opzioni solo una è un multiple di $12$ (con $30$ pezzi è verificata la possibilità di tale divisione). Quante caramelle ci sono? (Nota: le opzioni multiple di scelta originali non sono riprodotte nel gabarito sorgente.)

Risposta: D src_obm_2016_n2_f1__Q05

Evaluate (x^3-1)/(1+x^2+(x+1)^2) for x=2015

Let $x=2015$. The given expression can be rewritten as $\frac{x^3-1^3}{1^2+x^2+(x+1{)}^2}=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{2(x^2+x+1)}=\frac{x-1}{2}.$ Thus the value sought is $\frac{2015-1}{2}=1007$. What is the value of the expression? (Note: original multiple-choice options are not reproduced in the source gabarito.)

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF

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Evaluare (x^3-1)/(1+x^2+(x+1)^2) per x=2015

Let $x=2015$. L’espressione data può essere riscritta come $\frac{x^3-1^3}{1^2+x^2+(x+1{)}^2}=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{2(x^2+x+1)}=\frac{x-1}{2}.$ Quindi il valore ricercato è $\frac{2015-1}{2}=1007$. Qual è il valore dell’espressione? (Nota: le opzioni multiple di scelta originali non sono riprodotte nel gabarito sorgente.)

Risposta: B src_obm_2016_n2_f1__Q06

Which value cannot be the variable side of triangles ABC and ABD

By the triangle inequality applied to triangles $ABC$ and $ABD$, respectively, $x<4+3=7$ and $8+x>10$, that is $2<x<7$. In principle the possible values of $x$ are $3$, $4$, $5$ or $6$. By the converse of the triangle inequality, three positive numbers are side lengths of a triangle only if the largest is less than the sum of the other two; the four found values satisfy the conditions. Which value of $x$ is not admissible? (Note: original multiple-choice options are not reproduced in the source gabarito.)

Topic: Geometria piana Metodo: Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF

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Il quale non può essere il lato variabile dei triangoli ABC e ABD

Per la disuguaglianza del triangolo applicata ai triangoli $ABC$ e $ABD$, rispettivamente $x<4+3=7$ e $8+x>10$, si intende $2<x<7$. In linea di principio i valori possibili di $x$ sono $3$, $4$, $5$ o $6$. Con l’inverso della disuguaglianza del triangolo, tre numeri positivi sono lunghezze laterali di un triangolo solo se il più grande è inferiore alla somma degli altri due; i quattro valori trovati soddisfano le condizioni. Quale valore di $x$ non è ammissibile? (Nota: le opzioni multiple di scelta originali non sono riprodotte nel gabarito sorgente.)

Risposta: C src_obm_2016_n2_f1__Q07

Which statement about average grades of two classes is true

The table shows the sum of the grades of the students of classes A and B on the Mathematics and Portuguese tests: Class A Mathematics $6\cdot 20=120$, Class B Mathematics $9\cdot 30=270$, Class A Portuguese $8\cdot 20=160$, Class B Portuguese $5\cdot 30=150$. Analysing the data shows items (a) and (b) are false; the joint Mathematics average of the two classes is $\frac{120+270}{50}$, so (c) is false; the averages of the two tests are $280/40=7$ and $420/60=7$, making (d) false; and (e) is true since the overall average is $\frac{120+160+270+150}{20+20+30+30}=7.$ Which statement is correct? (Note: original multiple-choice options are not reproduced in the source gabarito.)

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio Abilita: Lettura attenta, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF

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Qual affermazione sulla media delle note di due classi è vera

La tabella mostra la somma dei voti degli studenti delle classi A e B per i test di matematica e di portoghese: classe A matematica $6\cdot 20=120$, classe B matematica $9\cdot 30=270$, classe A portoghese $8\cdot 20=160$, classe B portoghese $5\cdot 30=150$. L’analisi dei dati mostra che i punti a) e b) sono falsi; la media matematica comune delle due classi è $\frac{120+270}{50}$, quindi (c) è falsa; le medie dei due test sono $280/40=7$ e $420/60=7$, rendendo (d) falsa; e (e) è vera poiché la media complessiva è $\frac{120+160+270+150}{20+20+30+30}=7.$ Quale affermazione è corretta? (Nota: le opzioni multiple di scelta originali non sono riprodotte nel gabarito sorgente.)

Risposta: E src_obm_2016_n2_f1__Q08

Inscribed angle ECF with parallel chords CD and AB, arc CA=44 degrees

Since arc $CA$ measures $44^{\circ }$ and $CD$ and $AB$ are parallel, the arcs $DB$, $CE$ and $FD$ are congruent and also measure $44^{\circ }$. Since $CB$ is a diameter, arc $EF$ measures $180^{\circ }-44^{\circ }-44^{\circ }=48^{\circ }$. Finally $\angle ECF$ is the inscribed angle determined by arc $EF$, so its value is $48^{\circ }/2=24^{\circ }$. What is the value of $\angle ECF$? (Note: original multiple-choice options are not reproduced in the source gabarito.)

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF

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Angolo inciso ECF con accordi paralleli CD e AB, arco CA=44 gradi

Poiché le misure $CA$ $44^{\circ }$ e $CD$ e $AB$ sono parallele, le misure $DB$, $CE$ e $FD$ sono congruenti e misurano anche $44^{\circ }$. Poiché $CB$ è un diametro, l’arco $EF$ misura $180^{\circ }-44^{\circ }-44^{\circ }=48^{\circ }$. Infine $\angle ECF$ è l’angolo inserito determinato da arco $EF$, quindi il suo valore è $48^{\circ }/2=24^{\circ }$. Qual è il valore di $\angle ECF$? (Nota: le opzioni multiple di scelta originali non sono riprodotte nel gabarito sorgente.)

Risposta: C src_obm_2016_n2_f1__Q09

Smallest n with n! a multiple of 2016

Factoring $2016$ into primes gives $2016=2^5\cdot 3^2\cdot 7$. Thus $n!$ must contain at least these prime powers as divisors. For the factor $7$ to appear we need $n\ge 7$; from $7!=5040$ the next candidate is $8!=40320=20\cdot 2016$. Therefore the smallest value is $n=8$. What is the smallest $n$ such that $n!$ is a multiple of $2016$? (Note: original multiple-choice options are not reproduced in the source gabarito.)

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

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La più piccola n con n! un multiple di 2016

Factoring $2016$ in numeri primi dà $2016=2^5\cdot 3^2\cdot 7$. Pertanto $n!$ deve contenere almeno queste potenze prime come divisori. Per far apparire il fattore $7$ abbiamo bisogno di $n\ge 7$; da $7!=5040$ il candidato successivo è $8!=40320=20\cdot 2016$. Pertanto il valore più piccolo è $n=8$. Qual è la minima $n$ tale che $n!$ sia un multiple di $2016$? (Nota: le opzioni multiple di scelta originali non sono riprodotte nel gabarito sorgente.)

Risposta: B src_obm_2016_n2_f1__Q10

Maximum video-game distance from centre to a corner of the screen

Divide the video-game screen into four equal rectangles $A$, $B$, $C$, $D$, and consider the rectangle $R$ formed by the centres of these four rectangles. The video-game distance is always less than or equal to the usual Euclidean distance on the screen, and swapping the positions of two of these rectangles sharing a common side does not change the video-game distance between the others (a rotated figure keeps its Euclidean distance). One can suppose there are two points whose distance equals the diagonal of a video-game rectangle. Since the largest distance in $R$ is its diagonal, measuring $\frac{\sqrt{2^2+4^2}}{2}=2.5$, no minimal video-game distance exceeds $2.5$; moreover the video-game distance between the centre of the screen and any corner is $2.5$. What is this distance? (Note: original multiple-choice options are not reproduced in the source gabarito.)

Topic: Geometria analitica, Combinatoria Metodo: Coordinate Abilita: Astrazione, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

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Distanza massima del videogioco dal centro all’angolo dello schermo

Dividere lo schermo del videogioco in quattro rettangoli uguali $A$, $B$, $C$, $D$, e considerare il rettangolo $R$ formato dai centri di questi quattro rettangoli. La distanza tra videogiochi è sempre inferiore o uguale alla distanza euclidica usuale sullo schermo, e lo scambio delle posizioni di due di questi rettangoli che condividono un lato comune non cambia la distanza tra gli altri (una figura rotata mantiene la sua distanza euclidica). Si può supporre che ci siano due punti la cui distanza è uguale alla diagonale di un rettangolo di videogioco. Poiché la distanza più grande in $R$ è la sua diagonale, misurando $\frac{\sqrt{2^2+4^2}}{2}=2.5$, nessuna distanza minima del videogioco supera $2.5$; inoltre la distanza del videogioco tra il centro dello schermo e qualsiasi angolo è $2.5$. Qual e’ questa distanza? (Nota: le opzioni multiple di scelta originali non sono riprodotte nel gabarito sorgente.)

Risposta: B src_obm_2016_n2_f1__Q11

Digits a, b so that ab2016 is divisible by 11 (and 9)

By the divisibility criterion for $11$, for $\overline{ab2016}$ to be divisible by $11$ we need $11\mid (a+2+1)-(b+0+6)=a-b-3$. Also, since the number has many digits, $9\mid a+b+2+0+1+6=a+b+9$. As $a+b\le 18$, the possibilities are $a+b=9$ or $a+b=18$, leading to $a-b=3$. Determine the digits $a$ and $b$. (Note: original multiple-choice options are not reproduced in the source gabarito; the answer key gives $(a,b)=(6,3)$.)

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

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Cifri a, b in modo che ab2016 sia divisibile per 11 (e 9)

Per il criterio di divisibilità per $11$, per $\overline{ab2016}$ di essere divisibile da $11$ abbiamo bisogno di $11\mid (a+2+1)-(b+0+6)=a-b-3$. Inoltre, poiché il numero ha molte cifre, $9\mid a+b+2+0+1+6=a+b+9$. Come $a+b\le 18$, le possibilità sono $a+b=9$ o $a+b=18$, portando a $a-b=3$. Determinare le cifre $a$ e $b$. (Nota: le opzioni multiple di scelta originali non sono riprodotte nel gabarito sorgente; la chiave di risposta dà $(a,b)=(6,3)$.)

Risposta: C src_obm_2016_n2_f1__Q12

Find x via congruent triangles BAD, EAC and Pythagoras

Let $p$ and $q$ be the measures of angles $\angle BAD$ and $\angle EAC$ respectively. Since $BA=DE$, $\angle ABE=\angle BAE=p$; analogously since $AC=DC$, $\angle DAC=\angle ADC=x+q$. By the converse of the Pythagorean Theorem, since $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$, one gets $p+q+x=90^{\circ }$. Analysing the angle sum of triangle $DAE$, $180^{\circ }=(p+x)+(q+x)=90^{\circ }+2x$, so $x=45^{\circ }$. What is the value of $x$? (Note: original multiple-choice options are not reproduced in the source gabarito.)

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF

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Ricerca x attraverso i triangoli congruenti BAD, EAC e Pitagora

Le misure $p$ e $q$ siano rispettivamente le misure degli angoli $\angle BAD$ e $\angle EAC$. Da $BA=DE$, $\angle ABE=\angle BAE=p$; analogamente da $AC=DC$, $\angle DAC=\angle ADC=x+q$. Con il contrario del teorema di Pitagore, dal momento che $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$, si ottiene $p+q+x=90^{\circ }$. Analizzare la somma angolare del triangolo $DAE$, $180^{\circ }=(p+x)+(q+x)=90^{\circ }+2x$, quindi $x=45^{\circ }$. Qual è il valore di $x$? (Nota: le opzioni multiple di scelta originali non sono riprodotte nel gabarito sorgente.)

Risposta: D src_obm_2016_n2_f1__Q13

Number of liars among 2016 people each speaking about the next

The first person to answer cannot be telling the truth, since then the next behind would also be telling the truth, and so on, making everyone truthful, a contradiction. A truthful person makes the next a liar, and a liar makes the next truthful, so honest and lying people alternate. Thus there are $2016/2=1008$ liars. How many of the people are lying? (Note: original multiple-choice options are not reproduced in the source gabarito.)

Topic: Logica Metodo: Invarianti Abilita: Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF

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Numero di bugiardi tra le persone del 2016 che parlano ciascuna della successiva

La prima persona a rispondere non può dire la verità, poiché allora il prossimo dietro sarebbe anche dire la verità, e così via, rendendo tutti veritieri, una contraddizione. Una persona sincera fa mentire l’altra, e un bugiardo fa essere sincera l’altra, quindi le persone oneste e mentite si alternano. Quindi ci sono mentitori. Quante persone mentono? (Nota: le opzioni multiple di scelta originali non sono riprodotte nel gabarito sorgente.)

Risposta: E src_obm_2016_n2_f1__Q14

Extra meetings of the hands of Esmeralda’s clock vs a normal clock

The point where the hands of a clock meet rotates faster than the hour hand. For Esmeralda’s clock, where the hour hand makes a complete turn faster, the encounters occur at instants corresponding to hour-hand displacements of sizes $\frac{l}{13},\frac{2l}{13},\dots ,\frac{12l}{13}$. For a normal clock the next encounter occurs when $12k-k=l$, i.e. $k=\frac{l}{11}$, giving encounters at $\frac{l}{11},\frac{2l}{11},\dots ,\frac{10l}{11}$. Thus in $12$ hours there are $2$ more encounters in Esmeralda’s clock than in a normal one, and over a full day $y=x+4$. Determine the relation between the numbers of encounters. (Note: original multiple-choice options are not reproduced in the source gabarito.)

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Ricorsione Abilita: Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF

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Ulteriori incontri delle mani dell’orologio di Esmeralda contro un orologio normale

Il punto in cui le mani di un orologio si incontrano ruota più velocemente della mano dell’ora. Per l’orologio di Esmeralda, dove la mano oraria fa una rotazione completa più veloce, gli incontri si verificano in momenti corrispondenti a spostamenti orari di dimensioni $\frac{l}{13},\frac{2l}{13},\dots ,\frac{12l}{13}$. Per un orologio normale il prossimo incontro si verifica quando $12k-k=l$, cioè $k=\frac{l}{11}$, che indica incontri a $\frac{l}{11},\frac{2l}{11},\dots ,\frac{10l}{11}$. Pertanto, nelle ore $12$ si verificano $2$ più incontri nell’orologio di Esmeralda di quello normale, e su un’intera giornata $y=x+4$. Determinare la relazione tra il numero di incontri. (Nota: le opzioni multiple di scelta originali non sono riprodotte nel gabarito sorgente.)

Risposta: D src_obm_2016_n2_f1__Q15

Angle x with a regular polygon and isosceles triangles LBC, CBI

The interior angle of any regular polygon with $n$ sides is $\frac{180^{\circ }(n-2)}{n}$. Consequently $\angle ABL=90^{\circ }$, $\angle LBC=135^{\circ }$, $\angle ABC=135^{\circ }$, $\angle CBI=27^{\circ }$. Since $LB=BC=BI$, the triangles $LBC$ and $CBI$ are isosceles with bases $LC$ and $CI$. Hence $x=\angle LCB+\angle BCI=\frac{180^{\circ }-135^{\circ }}{2}+\frac{180^{\circ }-27^{\circ }}{2}=99^{\circ }.$ What is the value of $x$? (Note: original multiple-choice options are not reproduced in the source gabarito.)

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF

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Angolo x con un poligono regolare e triangoli di uguali dimensioni LBC, CBI

L’angolo interno di qualsiasi poligono regolare con lati $n$ è $\frac{180^{\circ }(n-2)}{n}$. Di conseguenza $\angle ABL=90^{\circ }$, $\angle LBC=135^{\circ }$, $\angle ABC=135^{\circ }$, $\angle CBI=27^{\circ }$. Poiché $LB=BC=BI$, i triangoli $LBC$ e $CBI$ sono uguali a base $LC$ e $CI$. Quindi $x=\angle LCB+\angle BCI=\frac{180^{\circ }-135^{\circ }}{2}+\frac{180^{\circ }-27^{\circ }}{2}=99^{\circ }.$ Qual è il valore di $x$? (Nota: le opzioni multiple di scelta originali non sono riprodotte nel gabarito sorgente.)

Risposta: D src_obm_2016_n2_f1__Q16

Minimum merge operations to equalize piles 1,2,…,9,11 summing to 56

The total sum of the stones is $1+2+3+\cdots +9+11=56$. For the piles to have a common value $k$, this must divide $56$; and since some piles already have $11$ stones, each final pile has at least $11$, so the possible values are $14$, $28$ or $56$. Obtaining piles of $28$ takes two operations, piles of $56$ fewer, and piles of $14$ take $6$ operations, which can be executed as $(11+3),(9+5),(8+6),(7+4+2+1).$ What is the minimum number of operations? (Note: original multiple-choice options are not reproduced in the source gabarito.)

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

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*Minimum di operazioni di fusione per igualarne le pile 1,2,…,9,11 sommando a 56 *

La somma totale delle pietre è $1+2+3+\cdots +9+11=56$. Per che le pile abbiano un valore comune $k$, questo deve dividere $56$; e poiché alcune pile hanno già pietre $11$, ogni pile finale ha almeno $11$, quindi i valori possibili sono $14$, $28$ o $56$. Per ottenere pile di $28$ occorrono due operazioni, pile di $56$ meno e pile di $14$ occorrono $6$ operazioni, che possono essere eseguite come $(11+3),(9+5),(8+6),(7+4+2+1).$ Qual è il numero minimo di operazioni? (Nota: le opzioni multiple di scelta originali non sono riprodotte nel gabarito sorgente.)

Risposta: D src_obm_2016_n2_f1__Q17

Smallest square root of product of rectangle dimensions, perimeter 58

Let $x$ and $y$ be the dimensions of the rectangle and $n$ the side of the square. Since $2x+2y=58$, $x+y=29$. Assuming $x\le y$, the possible dimensions are $(x,y)\in \{(1,28),(2,27),(3,26),\dots ,(14,15)\}$. Of these, only $(4,25)$ has product a perfect square, so $n=\sqrt{4\cdot 25}=10$. What is the value of $n$? (Note: original multiple-choice options are not reproduced in the source gabarito.)

Topic: Teoria dei Numeri, Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF

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La radice quadrata più piccola del prodotto delle dimensioni rettangolari, perimetro 58

$x$ e $y$ siano le dimensioni del rettangolo e $n$ il lato del quadrato. Da $2x+2y=58$, $x+y=29$. Supponendo $x\le y$, le dimensioni possibili sono $(x,y)\in \{(1,28),(2,27),(3,26),\dots ,(14,15)\}$. Di questi, solo $(4,25)$ ha prodotto un quadrato perfetto, quindi $n=\sqrt{4\cdot 25}=10$. Qual è il valore di $n$? (Nota: le opzioni multiple di scelta originali non sono riprodotte nel gabarito sorgente.)

Risposta: C src_obm_2016_n2_f1__Q18

Compute SR=1 in a circle with similar triangles RSA and XYA

Let $I$ be the intersection of $AD$ and $BF$ and $O$ the centre of the circle. Since $FA=AB=AY=AX$, $FB$ is parallel to $XY$, so triangles $RSA$ and $XYA$ are similar and $\frac{SR}{2}=\frac{SR}{XY}=\frac{AI}{AO}=\frac{1\cdot (\sin \angle ABI)}{1}=\frac{1}{2},$ since $\angle ABI=30^{\circ }$ and $AB=AO=OB$. Thus $SR=1$. What is the value of $SR$? (Note: original multiple-choice options are not reproduced in the source gabarito.)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF

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Computare SR=1 in un cerchio con triangoli simili RSA e XYA

Il $I$ è l’intersezione tra $AD$ e $BF$ e $O$ del centro del cerchio. Poiché $FA=AB=AY=AX$, $FB$ è parallelo a $XY$, quindi i triangoli $RSA$ e $XYA$ sono simili e $\frac{SR}{2}=\frac{SR}{XY}=\frac{AI}{AO}=\frac{1\cdot (\sin \angle ABI)}{1}=\frac{1}{2},$ dal momento che $\angle ABI=30^{\circ }$ e $AB=AO=OB$. Quindi $SR=1$. Qual è il valore di $SR$? (Nota: le opzioni multiple di scelta originali non sono riprodotte nel gabarito sorgente.)

Risposta: A src_obm_2016_n2_f1__Q19

Largest x with x+y=10 satisfying a parity-counting equation

In a set with $n$ elements the number of two-element subsets is $\frac{n(n-1)}{2}$. Let $x$ and $y$ be the quantities of even and odd numbers in Janaina’s list, with $x+y=10$. The stated condition gives $\frac{x(x-1)}{2}+\frac{y(y-1)}{2}=4xy$. Substituting $y=10-x$ yields $x^2-9x+10=0$, with solutions $x=1$ or $x=9$. Since $(x,y)=(9,1)$ satisfies the condition, the maximum value of $x$ is $9$. What is the maximum value of $x$? (Note: original multiple-choice options are not reproduced in the source gabarito.)

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Casi e conteggio, Conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF

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X più piccolo con x+y=10 che soddisfa un’equazione di conteggio di parità

In un insieme con elementi $n$ il numero di sottoinsiemi di due elementi è $\frac{n(n-1)}{2}$. $x$ e $y$ siano le quantità di numeri pari e impar nella lista di Janaina, con $x+y=10$. La condizione indicata dà $\frac{x(x-1)}{2}+\frac{y(y-1)}{2}=4xy$. Rimpiazzando $y=10-x$ il rendimento $x^2-9x+10=0$, con soluzioni $x=1$ o $x=9$. Poiché $(x,y)=(9,1)$ soddisfa la condizione, il valore massimo di $x$ è $9$. Qual è il valore massimo di $x$? (Nota: le opzioni multiple di scelta originali non sono riprodotte nel gabarito sorgente.)

Risposta: E src_obm_2016_n2_f1__Q20

Ratio of areas [CHAM]/[AEFG] with a square of side 6

With square side $6$, $DM=MC=CE=3$. Triangles $CEH$ and $DEA$ are similar, so $\frac{CH}{DA}=\frac{CE}{DE}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$, giving $CH=2$ and $HB=CB-CH=4$. The area $[CHAM]=[ACH]+[ACM]=\frac{3\cdot 6}{2}+\frac{2\cdot 6}{2}=15$. By the Pythagorean Theorem in triangle $ADE$, $[AEFG]=A{E}^2=A{D}^2+D{E}^2=117$. Hence $\frac{[CHAM]}{[AEFG]}=\frac{15}{117}=\frac{5}{39}$. What is this ratio? (Note: original multiple-choice options are not reproduced in the source gabarito.)

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF

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Ratio di superfici [CHAM]/[AEFG] con quadrato di lato 6

Con lato quadrato $6$, $DM=MC=CE=3$. I triangoli $CEH$ e $DEA$ sono simili, quindi $\frac{CH}{DA}=\frac{CE}{DE}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$, dando $CH=2$ e $HB=CB-CH=4$. L’area $[CHAM]=[ACH]+[ACM]=\frac{3\cdot 6}{2}+\frac{2\cdot 6}{2}=15$. Per il teorema di Pitagore in triangolo $ADE$, $[AEFG]=A{E}^2=A{D}^2+D{E}^2=117$. Di conseguenza $\frac{[CHAM]}{[AEFG]}=\frac{15}{117}=\frac{5}{39}$. Qual è questo rapporto? (Nota: le opzioni multiple di scelta originali non sono riprodotte nel gabarito sorgente.)

Risposta: A src_obm_2016_n2_f1__Q21

Count distinct products in a cryptarithm-style multiplication table

Since all the digits are nonzero, the repeated terms can be cancelled. In the first case $I^2=4$ so $I=2$, with possibilities $(S,I)=(1,2),(1,3),(2,1)$. Since $E$ differs from $I$ and $S$, there are $7$ choices for it. Building the table of resulting products $P$ and values $Z$ and excluding combinations where $Z$ equals an already chosen letter, there are $12$ distinct values for $P$: $6,10,12,14,15,16,18,20,21,24,28,36$. How many distinct values are there? (Note: original multiple-choice options are not reproduced in the source gabarito.)

Topic: Combinatoria Metodo: Casi e conteggio, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF

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Contare prodotti distinti in una tabella di moltiplicazione in stile criptaritmico

Poiché tutte le cifre non sono zero, i termini ripetuti possono essere annullati. Nel primo caso $I^2=4$ quindi $I=2$, con possibilità $(S,I)=(1,2),(1,3),(2,1)$. Poiché $E$ differisce da $I$ e $S$, vi sono $7$ opzioni per esso. All’interno della tabella dei prodotti $P$ e dei valori $Z$ e escludendo le combinazioni in cui $Z$ è uguale a una lettera già scelta, ci sono $12$ valori distinti per $P$: $6,10,12,14,15,16,18,20,21,24,28,36$. Quanti sono i valori distinti? (Nota: le opzioni multiple di scelta originali non sono riprodotte nel gabarito sorgente.)

Risposta: A src_obm_2016_n2_f1__Q22

Next year after 2016 with 53 Saturdays

Note a month has $4$ or $5$ Saturdays and $365=7\cdot 52+1$, so a year has $52$ complete weeks plus $1$ or $2$ extra days, depending on whether it is a leap year. Calling $x$ a counting variable, $5x+4(12-x)=52\Rightarrow x=4$ and $5x+4(12-x)=53\Rightarrow x=5$. A year has $53$ Saturdays when $1$ January is a Saturday, or when $2$ January is a Saturday and the year is a leap year (as in $2016$). Tabulating $1$ January of successive years: 2016 Saturday, 2017 Sunday, 2018 Monday, 2019 Tuesday, 2020 Wednesday, 2021 Friday, 2022 Saturday. Therefore the next year with $53$ Saturdays is $2022$. What is the next year with $53$ Saturdays? (Note: original multiple-choice options are not reproduced in the source gabarito.)

Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF

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Anno successivo dopo il 2016 con 53 sabati

Si noti che un mese ha $4$ o $5$ sabati e $365=7\cdot 52+1$, quindi un anno ha $52$ settimane complete più $1$ o $2$ giorni extra, a seconda se si tratta di un anno bisuale. Chiamare $x$ una variabile di conteggio, $5x+4(12-x)=52\Rightarrow x=4$ e $5x+4(12-x)=53\Rightarrow x=5$. Un anno ha $53$ sabati quando $1$ gennaio è sabato, o quando $2$ gennaio è sabato e l’anno è un anno bisuale (come in $2016$). Tabellare $1$ gennaio degli anni successivi: 2016 Sabato, 2017 Domenica, 2018 Lunedì, 2019 Martedì, 2020 Mercoledì, 2021 Venerdì, 2022 Sabato. Pertanto l’anno successivo con $53$ sabato è $2022$. Qual è il prossimo anno con $53$ sabato? (Nota: le opzioni multiple di scelta originali non sono riprodotte nel gabarito sorgente.)

Risposta: E src_obm_2016_n2_f1__Q23

Count of four-digit numbers abcd with abcd-(sum of digits) a multiple of 1000

Consider a number of at most four digits $\overline{abcd}$ and the difference $\overline{abcd}-(a+b+c+d)=999a+99b+9c$. Analysing the possible digit choices and counting those for which the difference is the same value modulo the required condition, one finds there are exactly $100$ such numbers. How many such numbers are there? (Note: the source solution text for this item is partly garbled; statement reconstructed from context. Original multiple-choice options are not reproduced; the answer key gives $100$.)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casi e conteggio, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF

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Conte dei numeri a quattro cifre abcd con abcd-(somma di cifre) multiplo di 1000

Considerare un numero di almeno quattro cifre $\overline{abcd}$ e la differenza $\overline{abcd}-(a+b+c+d)=999a+99b+9c$. Analizzando le possibili scelte digitali e contando quelle per le quali la differenza è lo stesso valore modulo la condizione richiesta, si scopre che ci sono esattamente $100$ tali numeri. Quanti sono questi numeri? (Nota: il testo della soluzione sorgente di questa voce è parzialmente distorto; dichiarazione ricostruita dal contesto. Le opzioni multiple di scelta originali non sono riprodotte; la chiave di risposta dà $100$.)

Risposta: C src_obm_2016_n2_f1__Q24

Every necklace of 9 two-colour pearls contains two equivalent 5-pearl sequences

The sequence $BBBPBPPP$ possesses no two equivalent subsequences. Consider any sequence of $9$ pearls (each pearl black $B$ or white $P$). Case 1: if there are no three consecutive pearls of the same colour, then either the pearls strictly alternate (and any block of $5$ consecutive pearls contains two equivalent sequences), or there are two adjacent equal pearls and some neighbouring block of $5$ contains a sequence of type $PBBP$, giving two equivalent sequences. Case 2: if there are three consecutive pearls $BBB$ and a continuation at one extreme is not the opposite colour, two equivalent sequences appear immediately; if both continuations are the opposite colour and not at an extreme, the block $PBBBP$ contains two equivalent sequences; if $BBB$ sits at one extreme (say the left) with no three equal letters outside the extremes, the possible continuations $BBBPPB$, $BBBPBB$ give three equivalent sequences, while the only continuation avoiding two equivalent sequences is $BBBPBPPP$, after which any added pearl at the right extreme generates two equivalent sequences. Hence any sequence of $9$ pearls possesses two equivalent sequences. Prove this. (Note: original multiple-choice options are not reproduced in the source gabarito.)

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Principio dei cassetti Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

Estratto/tradotto da verificare con la fonte.

Ogni colletto di 9 perle a due colori contiene due sequenze equivalenti di 5 perle

La sequenza $BBBPBPPP$ non ha due subsequenze equivalenti. Considerare qualsiasi sequenza di perle $9$ (ogni perla è nera $B$ o bianca $P$). Caso 1: se non ci sono tre perle consecutive dello stesso colore, o le perle si alternano strettamente (e ogni blocco di perle consecutive $5$ contiene due sequenze equivalenti), o ci sono due perle equivalenti adiacenti e un blocco vicino di $5$ contiene una sequenza di tipo $PBBP$, dando due sequenze equivalenti. Caso 2: se ci sono tre perle consecutive $BBB$ e una continuazione ad un estremo non è del colore opposto, immediatamente appaiono due sequenze equivalenti; se entrambe le continuità sono del colore opposto e non ad un estremo, il blocco $PBBBP$ contiene due sequenze equivalenti; se $BBB$ si trova ad un estremo (diciamo a sinistra) senza tre lettere uguali al di fuori degli estremi, le possibili continuazioni $BBBPPB$, $BBBPBB$ danno tre sequenze equivalenti, mentre l’unica continuazione che evita due sequenze equivalenti è $BBBPBPPP$, dopo di che qualsiasi perla aggiunta all’estremo destro genera due sequenze equivalenti. Pertanto ogni sequenza di perle $9$ possiede due sequenze equivalenti. Prove questo. (Nota: le opzioni multiple di scelta originali non sono riprodotte nel gabarito sorgente.)

Risposta: D src_obm_2016_n2_f1__Q25