Olimpíada Brasileira de Matemática 2016 — Nível 2 — Fase 2

Angle AEG in regular pentagon with adjacent equilateral triangle

In the figure below, $ABCDE$ is a regular pentagon and $EFG$ is an equilateral triangle. Determine the measure, in degrees, of angle $A\hat{E}G$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Angolo AEG in pentagono regolare con triangolo equilaterale adiacente

Nella figura seguente, $ABCDE$ è un pentagono regolare e $EFG$ è un triangolo equilaterale. Determinare la misura, in gradi, dell’angolo $A\hat{E}G$.

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Max students who voted on math exam postponement

In a classroom, the teacher held a vote to decide whether the Mathematics exam would be postponed or not. All students voted and, as a result, one third of the students voted in favour of the postponement and the rest voted against. Several students argued and then had a new vote; 8 students changed their minds, so that $\frac{5}{9}$ of the students ended up being against the postponement. At most, how many students participated in the vote?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Max studenti che hanno votato sul rinvio degli esami di matematica

In una classe, l’insegnante ha tenuto un voto per decidere se l’esame di matematica sarebbe stato rinviato o meno. Tutti gli studenti hanno votato e, di conseguenza, un terzo degli studenti ha votato a favore del rinvio e il resto ha votato contro. Diversi studenti hanno discusso e poi hanno votato di nuovo; 8 studenti hanno cambiato idea, così che $\frac{5}{9}$ degli studenti hanno finito per essere contro il rinvio. Quanti studenti hanno partecipato al voto?

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Max pairwise sums of 5 distinct integers divisible by 3

The sum of the elements of each $2$-element subset of a set $S$ of $5$ distinct integers is calculated. What is the maximum number of these sums that can be divisible by $3$?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Maxime somme in coppia di 5 numeri interi distinti divisibili per 3

Si calcola la somma degli elementi di ciascun sottoinsieme $2$ di elementi di un insieme $S$ di $5$ di integri distinti. Qual è il numero massimo di queste somme che possono essere divisibili per $3$?

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Positive integer solutions to x^2 - y^4 = 36

Determine the number of solutions with $x$ and $y$ positive integers of the equation $x^2-y^4=36.$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Soluzioni a numeri interi positivi a x^2 - y^4 = 36

Determinare il numero di soluzioni con $x$ e $y$ integri positivi dell’equazione $x^2-y^4=36.$

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Ways to earn exactly 15 points in 7 soccer games

In super bola, a new soccer game, the player competes in seasons. Each season consists of seven games, and in each game a player can earn $3$ points for a win, $1$ point for a draw, or $0$ points for a loss. In how many different ways can a player earn exactly $15$ points in a season?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Come guadagnare esattamente 15 punti in 7 partite di calcio

Nel Super Bola, una nuova partita di calcio, il giocatore compete in stagioni. Ogni stagione è composta da sette partite, e in ogni partita un giocatore può guadagnare $3$ punti per una vittoria, $1$ punti per un pareggio, o $0$ punti per una perdita. In quanti modi diversi un giocatore può guadagnare esattamente $15$ punti in una stagione?

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Min interior points of 4x4 square hit by every inscribed unit disk

Let $ABCD$ be a square of side $4$. The set $S$ of points in the interior of $ABCD$ has the following property: every circle of radius $1$ that is entirely contained in $ABCD$ (including on its boundary) contains at least one point of $S$. What is the minimum number of points of $S$?

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Stima Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Min punti interiori di 4x4 quadrati colpiti da ogni disco unitario inserito

$ABCD$ sia un quadrato di lato $4$. L’insieme $S$ di punti all’interno di $ABCD$ ha la seguente proprietà: ogni cerchio di raggio $1$ interamente contenuto in $ABCD$ (anche sul suo confine) contiene almeno un punto $S$. Qual è il numero minimo di punti di $S$?

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Cantor’s chocolate road trip: counts and product identity

Cantor makes an eternal car trip along an infinite road, starting from kilometre zero. Whenever Cantor completes an integer number of kilometres he makes a stop. It is known that:

• whenever the stop occurs at a kilometre of the form $6k+2$, where $k$ is an integer, he eats one chocolate of type 1 exactly once;
• whenever the stop occurs at a kilometre of the form $4k+1$, where $k$ is an integer, he eats one chocolate of type 2 exactly once;
• at every $a$ kilometres he eats one chocolate of type 3 exactly once;
• at every $b$ kilometres he eats one chocolate of type 4 exactly once;
• at every $c$ kilometres he eats one chocolate of type 5 exactly once. There are exactly 5 types of chocolates and, at each stop, he eats exactly one of the five types.

a) At the moment when Cantor stops at kilometre $2016$, how many chocolates of type 1 will he have eaten? How many of type 2?

b) Knowing that the product of the numbers $a$, $b$, $c$ is $144$, determine the value of $ab+bc+ac$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Viaggio di cioccolato di Cantor: conteggio e identità del prodotto

Cantor fa un eterno viaggio in macchina lungo una strada infinita, partendo dal chilometro zero. Ogni volta che Cantor completa un numero intero di chilometri si ferma. È noto che: - ogni volta che la sospensione si verifica in un chilometro della forma $6k+2$, dove $k$ è un numero intero, si mangia esattamente una cioccolata di tipo 1; - ogni volta che la sospensione si verifica in un chilometro della forma $4k+1$, dove $k$ è un numero intero, si mangia esattamente una cioccolata di tipo 2; - a ogni $a$ chilometro si mangia esattamente una cioccolata di tipo 3 una volta; - a ogni $b$ chilometro si mangia esattamente una cioccolata di tipo 4 una volta; - a ogni $c$ chilometro si mangia esattamente una cioccolata di tipo 5. Ci sono esattamente 5 tipi di cioccolati e, a ogni sosta, mangia esattamente uno dei cinque tipi.

a) Nel momento in cui Cantor si ferma al chilometro $2016$, quanti cioccolati di tipo 1 avrà mangiato? Quanti di tipo 2?

b) Sapendo che il prodotto dei numeri $a$, $b$, $c$ è $144$, determinare il valore di $ab+bc+ac$.

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Ratio EG/GD in equilateral triangle with side trisection points

In the figure below, triangle $ABC$ is equilateral and $BD=CE=AF=\frac{AB}{3}$. Determine the ratio $\frac{EG}{GD}$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ratio EG/GD in triangolo equilaterale con punti di trisezione laterale

Nella figura seguente, il triangolo $ABC$ è equilaterale e $BD=CE=AF=\frac{AB}{3}$. Determinare il rapporto $\frac{EG}{GD}$.

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Real solutions of iterated quadratic p(p(x))=x^2 and p(p(x))=p(x)

Consider the degree-two trinomial $p(x)=x^2-x+1$.

a) Determine the number of distinct real solutions of the equation $p(p(x))=x^2$, that is, $(x^2-x+1{)}^2-(x^2-x+1)+1=x^2.$

b) Determine the number of distinct real solutions of the equation $p(p(x))=p(x).$

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Soluzioni reali di p(p(x))=x^2 e p(p(x))=p(x) *

Considerate il trinomio di grado due $p(x)=x^2-x+1$.

a) Determinare il numero di soluzioni reali distinte dell’equazione $p(p(x))=x^2$, cioè $(x^2-x+1{)}^2-(x^2-x+1)+1=x^2.$

b) Determinare il numero di soluzioni reali distinte dell’equazione $p(p(x))=p(x).$

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