Olimpíada Brasileira de Matemática 2016 — Nível 2 — Fase 3

Football championship scoring with wins, draws and losses

Four football teams will dispute a championship in which each team plays each other team exactly once, with no rematches. A win is worth $3$ points and each draw is worth $1$ point for each team; losses give no points. In this championship:

a) If the champion gets $9$ points, the runner-up $6$ points and the third-placed team $3$ points, how many points will the fourth-placed team get?

b) If the champion gets $5$ points, two teams finish in the same position with $3$ points each, and the last one gets $2$ points, how many draws will have occurred?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Score di campionato di calcio con vincite, pareggio e sconfitte

Quattro squadre di calcio disputeranno un campionato in cui ciascuna squadra giocherà l’altra squadra esattamente una volta, senza ripartite. Una vittoria vale $3$ punti e ogni pareggio vale $1$ punti per ogni squadra; le perdite non danno punti. In questo campionato:

a) Se il campione ottiene $9$ punti, il secondo posto $6$ punti e la squadra al terzo posto $3$ punti, quanti punti riceverà la squadra al quarto posto?

b) Se il campione ottiene $5$ punti, due squadre finiscono nella stessa posizione con $3$ punti ciascuno, e l’ultimo ottiene $2$ punti, quante gare si saranno verificate?

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Sequence of squares, each new square built on the diagonal of the previous larger one

Janaina draws a sequence of figures as shown below. Each figure has one square more than the previous figure, and each added square has side equal to the diagonal of the larger square of the previous figure. Moreover, all the squares of each figure share a common vertex. The square of figure $1$ has area $2{\mathrm{cm}}^2$.

a) What is the area of the larger square of figure $2$?

b) What is the total area of figure $2$?

c) What is the total area of figure $6$?

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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*Sequenza di quadrati, ogni nuovo quadrato costruito sulla diagonale del precedente più grande *

Janaina disegna una sequenza di figure come mostrato di seguito. Ogni figura ha un quadrato in più della figura precedente, e ogni quadrato aggiunto ha un lato uguale alla diagonale del quadrato più grande della figura precedente. Inoltre, tutti i quadrati di ciascuna figura condividono un vertice comune. Il quadrato della figura $1$ ha superficie $2{\mathrm{cm}}^2$.

a) Qual è l’area del quadrato più grande della figura $2$?

b) Qual è la superficie totale della figura $2$?

c) Qual è la superficie totale della figura $6$?

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Partition of integers 1 to 99 into groups so no two in a group sum to a multiple of 3

The integers from $1$ to $99$ are divided into $n$ groups, obeying the following rules:

I- each number belongs to exactly one group;

II- each group has at least two distinct elements;

III- if two numbers belong to the same group, then their sum is not a number divisible by $3$.

Knowing this:

a) Explain why the number $n$ of groups cannot be $50$.

b) What is the smallest possible value of $n$?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework, Principio dei cassetti Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Spartizione dei numeri interi da 1 a 99 in gruppi in modo che non ci siano due in una somma di gruppo a un multiple di 3

I numeri interi da $1$ a $99$ sono suddivisi in gruppi $n$, rispettando le seguenti regole:

I- ogni numero appartiene esattamente a un gruppo;

II- ciascun gruppo ha almeno due elementi distinti;

III- se due numeri appartengono allo stesso gruppo, la loro somma non è un numero divisibile per $3$.

Sapendo questo:

a) Spiegare perché il numero $n$ dei gruppi non può essere $50$.

b) Qual è il valore minimo possibile di $n$?

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Four-digit numbers, distinct digits summing to 12, two even and two odd

Carlinhos makes a list of all the four-digit numbers with distinct digits satisfying the following conditions: the sum of the digits is $12$, and among the digits two are even and two are odd. The number $2703$, for example, is in his list. Remember that the number cannot have a leading zero (zero on the left).

a) What is the number closest to $2016$ that is in Carlinhos’s list?

b) Determine the sum of all the numbers in Carlinhos’s list that are smaller than $2016$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Casi e conteggio, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Numeri a quattro cifre, numeri distinti che sommano a 12, due pari e due unici

Carlinhos fa un elenco di tutti i numeri a quattro cifre con cifre distinte che soddisfano le seguenti condizioni: la somma delle cifre è $12$, e tra le cifre due sono pari e due sono odd. Il numero $2703$, ad esempio, è nella sua lista. Ricordate che il numero non può avere un primo zero (zero a sinistra).

a) Qual è il numero più vicino a $2016$ che figura nell’elenco di Carlinhos?

b) Determinare la somma di tutti i numeri della lista di Carlinhos inferiori a $2016$.

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Two-player coprime-halving number game; determine the winner for given N

Let $N$ be an integer, $N\ge 2$.

The OBM game has the participation of two players $A$ and $B$ and begins with player $A$ receiving the number $N$. He must then choose a new number $m$, with $m$ and $N$ coprime and $m$ greater than or equal to half of $N$ and less than $N$. This number is passed to player $B$.

Player $B$ then receives the number $n$ and must choose a new number, namely a number $p$, with $p$ and $n$ coprime and $p$ greater than or equal to half of $n$ and less than $n$. Then he passes to his opponent the number $p$. The process repeats until one of the two players can only choose the number $1$. That player is the winner!

For example, for $N=9$, player $A$ can choose the number $5$ (observe that the choices are $5$, $7$ or $8$); if $B$ then chooses the number $3$, $A$ is forced to choose the number $2$ (this being the only option respecting the rules of the game), and then $B$ chooses $1$ and wins.

Determine, for each value of $N$ below, which player has a winning strategy, i.e., manages to win no matter what the plays of his opponent are.

a) $N=7$.

b) $N=2016$.

Remark: we say that two numbers are coprime if they do not have a common divisor greater than or equal to $2$ (greater than $1$). For instance, $9$ and $4$ are coprime, since $1$ is their only common divisor.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Backward, Casework, Congruenze Abilita: Casework accurato, Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Gioco a due giocatori di coprime-halving numero; determinare il vincitore per un dato N

$N$ sia un numero intero, $N\ge 2$.

Il gioco OBM ha la partecipazione di due giocatori $A$ e $B$ e inizia con il giocatore $A$ che riceve il numero $N$. Deve quindi scegliere un nuovo numero $m$, con coprimo $m$ e $N$ e $m$ maggiore o uguale alla metà di $N$ e inferiore a $N$. Questo numero viene trasmesso al giocatore $B$.

Il giocatore $B$ riceve quindi il numero $n$ e deve scegliere un nuovo numero, vale a dire un numero $p$, con coprimo $p$ e $n$ e $p$ maggiore o uguale alla metà di $n$ e inferiore a $n$. Poi passa al suo avversario il numero $p$. Il processo si ripete fino a quando uno dei due giocatori può scegliere solo il numero $1$. Quel giocatore è il vincitore!

Per esempio, per $N=9$, il giocatore $A$ può scegliere il numero $5$ (nota che le scelte sono $5$, $7$ o $8$); se $B$ sceglie il numero $3$, $A$ è costretto a scegliere il numero $2$ (questo è l’unica opzione rispetto alle regole del gioco), e quindi $B$ sceglie $1$ e vince.

Determinare, per ogni valore $N$ di seguito, quale giocatore ha una strategia vincente, ovvero riesce a vincere indipendentemente dalle mosse del suo avversario.

a) $N=7$.

b) $N=2016$.

Nota: diciamo che due numeri sono copriemi se non hanno un divisore comune maggiore o uguale a $2$ (più grande di $1$). Ad esempio, $9$ e $4$ sono coprime, poiché $1$ è il loro unico divisore comune.

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