Olimpíada Brasileira de Matemática 2016 — Nível 3 — Fase 1

Which of the letters O, B, M can occupy a given (gray) cell of a 3x3 grid

In a $3\times 3$ grid one fills the cells with the letters O, B, M (subject to the rules of the problem). The examples below show that any one of the letters may appear in the highlighted (gray) cell. Which letters can occupy that cell? [Reconstructed from the answer key; the original option list is not reproduced in the source. Answer key indicates: O, B and M.]

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF

Quale delle lettere O, B, M può occupare una data cella (grige) di una griglia 3x3

In una griglia $3\times 3$ si riempiono le celle con le lettere O, B, M (soggetto alle regole del problema). Gli esempi di seguito mostrano che una delle lettere può apparire nella cella evidenziata (grigio). Quali lettere possono occupare quella cella? [Ricostruito a partire dalla chiave di risposta; l’elenco originale delle opzioni non è riprodotto nella fonte. Le chiavi di risposta indicano: O, B e M.]

Risposta: E src_obm_2016_n3_f1__Q01

Josias’s position in a line, with the number ahead one quarter of the number behind

Josias is standing in a line. Let $x$ be his position, so $x-1$ people arrived before him and the people who arrived after him number $2016-x$. They satisfy $x-1=\frac{2016-x}{4}$, equivalently $4(x-1)=2016-x$. What is Josias’s position $x$ in the line? [Answer key value: $x=404$.]

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF

*Posizione di Josias in una linea, con il numero davanti un quarto del numero dietro *

Josias sta in fila. Lasciate che la sua posizione sia $x$, così $x-1$ persone sono arrivate prima di lui e le persone che sono arrivate dopo di lui numero $2016-x$. Esse soddisfano $x-1=\frac{2016-x}{4}$, equivalentemente $4(x-1)=2016-x$. Qual è la posizione di Josias $x$ nella riga? [Valore della chiave di risposta: $x=404$.]

Risposta: A src_obm_2016_n3_f1__Q02

Side of a square equal in area to a rectangle of integer dimensions with perimeter 58 and square product

Let $x$ and $y$ be the integer dimensions of a rectangle whose perimeter is $58$, so $x+y=29$. The possible pairs are $(1,28),(2,27),(3,26),\dots ,(14,15)$. Exactly one such pair has product $x\cdot y$ equal to a perfect square, namely $4\cdot 25=100$. Find the side $n$ of a square having the same area as that rectangle, i.e. $n=\sqrt{4\cdot 25}=\sqrt{100}=10$. [Answer key value: $n=10$.]

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF

Side di un quadrato uguale in superficie a un rettangolo di dimensioni interi con perimetro 58 e prodotto quadrato

$x$ e $y$ siano le dimensioni interi di un rettangolo il cui perimetro è $58$, quindi $x+y=29$. Le possibili coppie sono $(1,28),(2,27),(3,26),\dots ,(14,15)$. Esattamente una di queste coppie ha il prodotto $x\cdot y$ pari a un quadrato perfetto, vale a dire $4\cdot 25=100$. Trova il lato $n$ di un quadrato con la stessa area di quel rettangolo, ovvero $n=\sqrt{4\cdot 25}=\sqrt{100}=10$. [Valore della chiave di risposta: $n=10$.]

Risposta: C src_obm_2016_n3_f1__Q03

Whether a pyramid over a regular 2016-gon can have 1008 congruent lateral faces; conclusion it cannot

Let $A_1{A}_2\dots A_{2016}$ be a regular polygon forming the base of a pyramid, and let the apex lie on the line perpendicular to the base through the diagonal $A_1{A}_{1009}$, so positioned that the orthogonal projection of the apex onto the base plane is distinct from the center of the polygon. The pyramid has $2016$ congruent-or-not triangular lateral faces; one asks whether it is possible to choose $1008$ lateral faces that are pairwise congruent and not sharing a common edge in pairs. The solution shows that there are at most $1008$ classes of congruent faces, and by the pigeonhole principle the configuration forcing the projection of the apex to be the circumcenter is absurd, since the pyramid is not regular. Is such a choice of $1008$ congruent lateral faces possible? [Answer key indicates the conclusion (option B).]

Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

Se una piramide sopra un normale 2016-gon può avere 1008 facce laterali congruenti; conclusione non può*

Lasciate che $A_1{A}_2\dots A_{2016}$ sia un poligono regolare che forma la base di una piramide, e lasciate che l’apice sia sulla linea perpendicolare alla base attraverso la diagonale $A_1{A}_{1009}$, così posizionata che la proiezione ortogonale dell’apice sul piano base sia distinta dal centro del poligono. La piramide ha facce laterali congruenti o non triangolari $2016$; si chiede se sia possibile scegliere facce laterali $1008$ congruenti in coppia e non condividendo un bordo comune in coppia. La soluzione dimostra che ci sono al massimo $1008$ classi di facce congruenti, e secondo il principio del buco di piccione la configurazione che costringe la proiezione dell’apice ad essere il circoncentro è assurda, poiché la piramide non è regolare. È possibile una tale scelta di facce laterali congruenti $1008$? [La chiave di risposta indica la conclusione (opzione B).]

Risposta: B src_obm_2016_n3_f1__Q04

People in a line who alternately tell the truth and lie; counting the liars among 2016

There are people standing in a line, each making a statement (about those behind them). The first person tells the truth; the second lies; analysis shows the statements alternate true/false down the line, with $2016$ people in total. The truth-tellers and liars alternate. How many of the people are lying? The solution concludes there are $2016/2=1008$ liars. [Answer key value: $1008$.]

Topic: Logica, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF

Le persone in fila che si alternano per dire la verità e mentire; contando i bugiardi tra il 2016

Ci sono gente che sta in fila, ognuna di loro fa una dichiarazione. La prima persona dice la verità; la seconda mente; l’analisi mostra che le affermazioni si alternano vero/falso lungo la linea, con $2016$ persone in totale. I veritieri e i bugiardi si alternano. Quante persone mentono? La soluzione conclude che ci sono mentitori $2016/2=1008$. [Valore della chiave di risposta: $1008$.]

Risposta: C src_obm_2016_n3_f1__Q05

Maximizing x+9 where x,y count odd/even numbers in a 10-number list satisfying a parity-pair equation

Janaina has a list of $10$ numbers; let $x$ and $y$ be, respectively, how many are odd and how many are even, so $x+y=10$. The number of unordered pairs with equal parity is $\frac{x(x-1)}{2}+\frac{y(y-1)}{2}$ and the number of pairs whose sum is even is set equal to $4xy$, giving $\frac{x(x-1)}{2}+\frac{y(y-1)}{2}=4xy(\ast )$ (the left side counts pairs of equal parity and the right side counts pairs giving an even sum, both having the same parity). Substituting $y=10-x$ yields the equation $x^2-x+9=0$ in the analysis, whose relevant solutions are $x=1$ or $x=9$; since $(x,y)=(9,1)$ satisfies the condition $(\ast )$, the maximum value of $x+9$ is sought. [Answer key value corresponds to option E.]

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF

Maximizzare x+9 dove x,y contano numeri odd/even in un elenco di 10 numeri che soddisfano un’equazione di coppia di parità

Janaina ha un elenco di numeri $10$; lasciamo $x$ e $y$ essere, rispettivamente, quanti sono pari e quanti sono pari, quindi $x+y=10$. Il numero di coppie non ordinate con parità uguale è $\frac{x(x-1)}{2}+\frac{y(y-1)}{2}$ e il numero di coppie la cui somma è pari è impostato uguale a $4xy$, dando $\frac{x(x-1)}{2}+\frac{y(y-1)}{2}=4xy(\ast )$ (il lato sinistro conta coppie di parità uguale e il lato destro conta coppie dando una somma pari, entrambe aventi la stessa parità). Substituendo $y=10-x$ si ottiene nell’analisi l’equazione $x^2-x+9=0$, le cui soluzioni pertinenti sono $x=1$ o $x=9$; poiché $(x,y)=(9,1)$ soddisfa la condizione $(\ast )$, si cerca il valore massimo di $x+9$. [Il valore della chiave di risposta corrisponde all’opzione E.]

Risposta: E src_obm_2016_n3_f1__Q06

Original number of people sharing a 6000 cost when 3 drop out and each remaining pays 100 more

A total cost of $6000$ reais is to be split equally among the participants, each paying $\frac{6000}{x}$ reais. Then $3$ people drop out and the remaining each pay $100$ reais more, i.e. $\frac{6000}{x-3}$ reais. Thus $\frac{6000}{x}+100=\frac{6000}{x-3}$, which simplifies to $60x(x-3)=60\cdot 6000$ giving $x^2-3x-180=0$. Find the original number $x$ of people. [Answer key value corresponds to option B.]

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

Numero originale di persone che condividono un costo di 6000 quando 3 si ritirano e ogni rimanente paga 100 in più

Un costo totale di $6000$ reais deve essere ripartito in modo uguale tra i partecipanti, ognuno pagando $\frac{6000}{x}$ reais. Poi le persone $3$ abbandonano e il resto di ciascuna retribuzione $100$ è maggiore, cioè $\frac{6000}{x-3}$ reais. Quindi $\frac{6000}{x}+100=\frac{6000}{x-3}$, che si semplifica a $60x(x-3)=60\cdot 6000$ dando $x^2-3x-180=0$. Trova il numero originale $x$ di persone. [Il valore della chiave di risposta corrisponde all’opzione B.]

Risposta: B src_obm_2016_n3_f1__Q07

Finding angle x from configuration with regular polygons (square, pentagon, octagon) and isosceles triangles

The interior angle of a regular polygon with $n$ sides is $\frac{180^{\circ }(n-2)}{n}$. In the configuration one has $\angle ABL=90^{\circ }$, $\angle ABI=108^{\circ }$ and $\angle ABC=135^{\circ }$ (angles of a square, a regular pentagon and a regular octagon), hence $\angle CBI=27^{\circ }$ and $\angle LBC=360^{\circ }-90^{\circ }-135^{\circ }=135^{\circ }$. Since $LB=BC=BI$, triangles $LBC$ and $CBI$ are isosceles with bases $LC$ and $CI$, giving $x=\angle LCB+\angle BCI=\frac{180^{\circ }-135^{\circ }}{2}+\frac{180^{\circ }-27^{\circ }}{2}=99^{\circ }$. Find $x$. [Answer key value: $x=99^{\circ }$.]

Topic: Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF

Ricerca dell’angolo x dalla configurazione con poligoni regolari (quadrato, pentagono, ottagono) e triangoli a pieghe uguali

L’angolo interno di un poligono regolare con lati $n$ è $\frac{180^{\circ }(n-2)}{n}$. Nella configurazione uno ha $\angle ABL=90^{\circ }$, $\angle ABI=108^{\circ }$ e $\angle ABC=135^{\circ }$ (angoli di un quadrato, un pentagono regolare e un ottagono regolare), quindi $\angle CBI=27^{\circ }$ e $\angle LBC=360^{\circ }-90^{\circ }-135^{\circ }=135^{\circ }$. Poiché $LB=BC=BI$, i triangoli $LBC$ e $CBI$ sono uguali a base $LC$ e $CI$, dando $x=\angle LCB+\angle BCI=\frac{180^{\circ }-135^{\circ }}{2}+\frac{180^{\circ }-27^{\circ }}{2}=99^{\circ }$. Trova $x$. [Valore della chiave di risposta: $x=99^{\circ }$.]

Risposta: D src_obm_2016_n3_f1__Q08

Counting sequences of 9 pearls (two colors) with respect to having equivalent sequences

Consider strings of pearls in two colors B and P, with an equivalence relation between strings. The string $BBBPBPPP$ has eight pearls and no equivalent sequence. The problem analyzes strings of $9$ pearls: by cases (whether or not there exist three consecutive pearls of the same color), it is shown that any sequence of $9$ pearls has exactly two equivalent sequences, the only sequence admitting an extension keeping a single equivalent being $BBBPBPPP$. Determine the relevant count for sequences of $9$ pearls. [Answer key value corresponds to option D.]

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

Sequenze di conteggio di 9 perle (due colori) per avere sequenze equivalenti

Considerate le stringhe di perle di due colori B e P, con una relazione di equivalenza tra le stringhe. La stringa $BBBPBPPP$ ha otto perle e nessuna sequenza equivalente. Il problema analizza le stringhe di perle $9$: per casi (esistono o meno tre perle consecutive dello stesso colore), viene dimostrato che qualsiasi sequenza di perle $9$ ha esattamente due sequenze equivalenti, l’unica sequenza che ammette un’estensione mantenendo un singolo equivalente è $BBBPBPPP$. Determinare il numero pertinente per le sequenze di perle $9$. [Il valore della chiave di risposta corrisponde all’opzione D.]

Risposta: D src_obm_2016_n3_f1__Q09

Length SR in a circle configuration of chords with equal arcs and similar triangles

Points lie on a circle with center $O$. Let $I$ be the intersection of $AD$ and $BF$. Since $FA=AB$ and $AY=AX$, the arcs $FX$ and $BX$ are equal, so $FB\parallel XY$. Then triangles $RSA$ and $XYA$ are similar, and $\frac{SR}{2}=\frac{SR}{XY}=\frac{AI}{AO}=\frac{1\cdot (\mathrm{sen}\angle ABI)}{1}=\frac{1}{2}$, since $\angle ABI=30^{\circ }$ and $AB=AO=OB$. Hence $SR=1$. Find $SR$. [Answer key value: $SR=1$.]

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF

Lunghezza SR in una configurazione circolare di accordi con archi uguali e triangoli simili

I punti si trovano su un cerchio con il centro $O$. Il $I$ è l’intersezione di $AD$ e $BF$. Dal momento che $FA=AB$ e $AY=AX$, gli archi $FX$ e $BX$ sono uguali, quindi $FB\parallel XY$. Quindi i triangoli $RSA$ e $XYA$ sono simili, e $\frac{SR}{2}=\frac{SR}{XY}=\frac{AI}{AO}=\frac{1\cdot (\mathrm{sen}\angle ABI)}{1}=\frac{1}{2}$, poiché $\angle ABI=30^{\circ }$ e $AB=AO=OB$. Di conseguenza $SR=1$. Trova $SR$. [Valore della chiave di risposta: $SR=1$.]

Risposta: A src_obm_2016_n3_f1__Q10

Computing TU in a configuration with a square, a regular hexagon side, and a 15-degree angle

In the figure $XAYD$ is a square, so $m(\widehat{TAU})=90^{\circ }$. Also $m(\widehat{TUA})=\frac{m(\widehat{DY})-m(\widehat{AB})}{2}=15^{\circ }$ and $m(\widehat{UA})=m(\widehat{AYD})=90^{\circ }$, so $ABDY$ is cyclic. $AB$ is the side of a regular hexagon inscribed in the circle of radius $1$, hence $AB=1$. In right triangle $UBA$, $AT=\frac{1}{\mathrm{sen}15^{\circ }}$, and in right triangle $TAU$, $\frac{AU}{TU}=\cos 15^{\circ }$, so $TU=\frac{1}{\mathrm{sen}15^{\circ }\cos 15^{\circ }}=\frac{2}{\mathrm{sen}30^{\circ }}=4$, using $\mathrm{sen}2x=2\mathrm{sen}x\cos x$. Find $TU$. [Answer key value: $TU=4$.]

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, skill_ragionamento_geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF

Computing TU in una configurazione con un quadrato, un lato esagonale regolare e un angolo di 15 gradi

Nella figura $XAYD$ è un quadrato, quindi $m(\widehat{TAU})=90^{\circ }$. Anche $m(\widehat{TUA})=\frac{m(\widehat{DY})-m(\widehat{AB})}{2}=15^{\circ }$ e $m(\widehat{UA})=m(\widehat{AYD})=90^{\circ }$, quindi $ABDY$ è ciclico. $AB$ è il lato di un esagono regolare inserito nel cerchio del raggio $1$, quindi $AB=1$. Nel triangolo rettangolo $UBA$, $AT=\frac{1}{\mathrm{sen}15^{\circ }}$, e nel triangolo rettangolo $TAU$, $\frac{AU}{TU}=\cos 15^{\circ }$, quindi $TU=\frac{1}{\mathrm{sen}15^{\circ }\cos 15^{\circ }}=\frac{2}{\mathrm{sen}30^{\circ }}=4$, utilizzando $\mathrm{sen}2x=2\mathrm{sen}x\cos x$. Trova $TU$. [Valore della chiave di risposta: $TU=4$.]

Risposta: E src_obm_2016_n3_f1__Q11

Counting solutions of an equation involving the floor of x over [38,2053]

Rewrite the given equation as $\lfloor x\rfloor =\frac{\lfloor x\rfloor -38}{2016}$ (the source writes $\{x\}=\frac{\lfloor x\rfloor -38}{2016}$). Since $0\le \{x\}<1$, we need $0\le \frac{\lfloor x\rfloor -38}{2016}<1$, i.e. $38\le \lfloor x\rfloor \le 2054$, so $1<\lfloor x\rfloor \le \cdots \le 2054$. As $\lfloor x\rfloor$ is an integer it ranges over $38,\dots ,2053$, a total of $2016$ values, and for each value there is exactly one $x$; therefore there are $2016$ solutions. How many solutions does the equation have? [Answer key value: $2016$.]

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

Soluzioni di conteggio di un’equazione che coinvolge il pavimento di x su [38,2053]

Riscrivere l’equazione data come $\lfloor x\rfloor =\frac{\lfloor x\rfloor -38}{2016}$ (la fonte scrive $\{x\}=\frac{\lfloor x\rfloor -38}{2016}$). Dato che $0\le \{x\}<1$, abbiamo bisogno di $0\le \frac{\lfloor x\rfloor -38}{2016}<1$, cioè $38\le \lfloor x\rfloor \le 2054$, so $1<\lfloor x\rfloor \le \cdots \le 2054$. Poiché $\lfloor x\rfloor$ è un numero intero che va oltre $38,\dots ,2053$, un totale di valori $2016$, e per ogni valore c’è esattamente un $x$; quindi ci sono $2016$ soluzioni. Quante soluzioni ha l’equazione? [Valore della chiave di risposta: $2016$.]

Risposta: D src_obm_2016_n3_f1__Q12

Counting ways to form committees over n people with day-by-day restrictions

One chooses, on the first day, two of the $n$ people in $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)$ ways; on subsequent days the remaining $n-2$ people can be chosen in $(n-2)$ ways each (subject to the imposed restrictions), and the final count of ways to form the committees is $(n-2)(n-3)$ (as stated in the solution). Determine the number of ways to choose the committees. [Answer key value corresponds to option A.]

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF

Contare i modi per formare comitati su n persone con restrizioni quotidiane

Si sceglie, il primo giorno, due delle persone $n$ in $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)$ modi; nei giorni successivi le persone $n-2$ rimanenti possono essere scelte in $(n-2)$ modi ciascuno (soggetto alle restrizioni imposte), e il numero finale di modi per formare i comitati è $(n-2)(n-3)$ (come indicato nella soluzione). Determinare il numero di modi di scegliere i comitati. [Il valore della chiave di risposta corrisponde all’opzione A.]

Risposta: A src_obm_2016_n3_f1__Q13

Number of distinct products P=SEIZ in a SEIPZ-type cryptarithm with nonzero digits*

All the digit-letters are non-null. Cancelling repeated terms gives $Z=S^3\times I^2$. Since $Z$ is a single digit, $I^2=4$ or $I^2=9$; the second case is impossible (it would force $5\cdot I=1$), so the only possibilities are $(S,I)=(1,2),(1,3)$ or $(2,1)$. With $E$ different from $I$ and $S$ there are $7$ options for $E$ in each case. Building a table of possible products $P=S\times E\times I\times Z$ and excluding combinations giving $Z$ equal to a letter already chosen, the distinct possible values of $P$ are $6,10,12,14,15,16,18,20,21,24,28$ and $36$, that is $12$ distinct values. How many distinct values can $P$ take? [Answer key value: $12$.]

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Casi e conteggio Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF

Numero di prodotti distinti P=SEIZ in un criptaritmo di tipo SEIPZ con cifre non zero*

Tutte le lettere digitali non sono nulo. L’annullamento di termini ripetuti dà $Z=S^3\times I^2$. Poiché $Z$ è una cifra singola, $I^2=4$ o $I^2=9$; il secondo caso è impossibile (forzerebbe $5\cdot I=1$), quindi le uniche possibilità sono $(S,I)=(1,2),(1,3)$ o $(2,1)$. Se $E$ è diverso da $I$ e $S$, ci sono opzioni $7$ per $E$ in ogni caso. Costruendo una tabella di possibili prodotti $P=S\times E\times I\times Z$ e escludendo le combinazioni che danno $Z$ uguale a una lettera già scelta, i valori possibili distinti di $P$ sono $6,10,12,14,15,16,18,20,21,24,28$ e $36$, cioè $12$ valori distinti. Quanti valori distinti può contenere $P$? [Valore della chiave di risposta: $12$.]

Risposta: A src_obm_2016_n3_f1__Q14

Ordering probabilities p1, p2, p3 of obtaining large sums with 1, 2 and 3 dice

Let $p_1=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ be the probability of getting a result equal to $5$ or $6$ with one die. For two dice ($6^2=36$ outcomes), the favorable outcomes are sums equal to $10,11,12$: $2+1+2+1=6$ favorable, so $p_2=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$. For three dice ($6^3=216$ outcomes), counting sums $15,16,17,18$ gives $20$ favorable outcomes, so $p_3=\frac{20}{216}=\frac{5}{54}$. Hence $p_3<p_2<p_1$. Order $p_1$, $p_2$, $p_3$. [Answer key value: $p_3<p_2<p_1$.]

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casi e conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF

Possibilità di ordinare p1, p2, p3 di ottenere grandi somme con 1, 2 e 3 dadi

$p_1=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ sia la probabilità di ottenere un risultato uguale a $5$ o $6$ con un dado. Per due dadi (risultati $6^2=36$), i risultati favorevoli sono somme uguali a $10,11,12$: $2+1+2+1=6$ favorevoli, quindi $p_2=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$. Per tre dadi (risultati $6^3=216$), il conteggio delle somme $15,16,17,18$ dà $20$ risultati favorevoli, quindi $p_3=\frac{20}{216}=\frac{5}{54}$. Di conseguenza $p_3<p_2<p_1$. Ordini $p_1$, $p_2$, $p_3$. [Valore della chiave di risposta: $p_3<p_2<p_1$.]

Risposta: E src_obm_2016_n3_f1__Q15

Largest possible ‘video-game’ distance between points placed in four equal sub-rectangles of a screen

The video-game screen is divided by the perpendicular bisectors of its sides into four equal rectangles $A,B,C,D$. Consider the rectangle $R$ formed by the centers of these four rectangles. The ‘video-game distance’ between two points is always less than or equal to the usual Euclidean distance on the screen; whatever positions inside the rectangles are chosen, the maximal video-game distance equals the diagonal of $R$, which measures $\frac{\sqrt{2^2+s^2}}{2}=2.5$. Conclude that no video-game distance between two points is greater than $2.5$, and the largest possible video-game distance is $2.5$. What is the largest possible video-game distance? [Answer key value: $2.5$.]

Topic: Geometria analitica, Geometria piana Metodo: Coordinate, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Stima Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF

La più grande distanza possibile di “video-gioco” tra i punti posizionati in quattro sub rettangoli uguali di uno schermo

Lo schermo del videogioco è diviso dai bisettori perpendicolari dei suoi lati in quattro rettangoli uguali $A,B,C,D$. Considerate il rettangolo $R$ formato dai centri di questi quattro rettangoli. La “distanza videogioco” tra due punti è sempre inferiore o uguale alla distanza euclidiana abituale sullo schermo; qualunque sia la posizione all’interno dei rettangoli scelti, la distanza massima videogioco è uguale alla diagonale di $R$, che misura $\frac{\sqrt{2^2+s^2}}{2}=2.5$. Concludere che nessuna distanza di gioco video tra due punti è superiore a $2.5$ e la distanza di gioco video più grande possibile è $2.5$. Qual è la più grande distanza possibile per i videogiochi? [Valore della chiave di risposta: $2.5$.]

Risposta: B src_obm_2016_n3_f1__Q16

Number of solutions of abc=b^2+c^2=c^2+a^2=a^2+b^2 with a,b,c nonzero

The system can be rewritten as $abc=b^2+c^2=c^2+a^2=a^2+b^2$, with $a,b,c$ non-null. This forces $a^2=b^2=c^2$. Supposing $a=b=c$ gives $a=b=c=2$, the solution $(2,2,2)$. If $a=b=-c$ then $a=b=-c=2$, giving $(2,2,-2)$; permuting this triple gives also $(-2,2,-2)$ and $(2,-2,-2)$, for a total of $4$ solutions. How many solutions does the system have? [Answer key value: $4$.]

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

Numero di soluzioni di abc=b^2+c^2=c^2+a^2=a^2+b^2 con a,b,c non zero*

Il sistema può essere riscritto come $abc=b^2+c^2=c^2+a^2=a^2+b^2$, con $a,b,c$ non-zero. Questo forza $a^2=b^2=c^2$. Supponendo $a=b=c$ si ottiene $a=b=c=2$, la soluzione $(2,2,2)$. Se $a=b=-c$, allora $a=b=-c=2$, dando $(2,2,-2)$; permutando questo triplo, si ottiene anche $(-2,2,-2)$ e $(2,-2,-2)$, per un totale di soluzioni $4$. Quante soluzioni ha il sistema? [Valore della chiave di risposta: $4$.]

Risposta: D src_obm_2016_n3_f1__Q17

First year after 2016 in which a given date is again a Saturday

Note that every month has $4$ or $5$ Saturdays and that $365=7\cdot 52+1$. A non-leap year has $52$ complete weeks and $1$ extra day, while a leap year has $52$ weeks and $2$ extra days. Letting $x$ be the number of leap years, the analysis uses $5x+4(12-x)=52\Rightarrow x=8$ and $5x+4(12-x)=53\Rightarrow x=5$. January 1 was a Saturday in $2016$ (wait: the table starts with sexta for 2016); the table of the weekday of 1 January reads: 2016 sexta, 2017 domingo, 2018 segunda, 2019 terca, 2020 quarta, 2021 sexta, 2022 sabado. Thus the next year in which the date is again a Saturday (sabado) is $2022$. In which next year is the date again a Saturday? [Answer key value: $2022$.]

Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF

Primo anno successivo al 2016 in cui una data data è nuovamente sabato

Si noti che ogni mese ha $4$ o $5$ sabati e che $365=7\cdot 52+1$. In un anno bisesuale sono $52$ settimane complete e $1$ giorno extra, mentre in un anno bisesuale sono $52$ settimane e $2$ giorni extra. Se si considera che $x$ sia il numero di anni biscotti, l’analisi utilizza $5x+4(12-x)=52\Rightarrow x=8$ e $5x+4(12-x)=53\Rightarrow x=5$. Il 1° gennaio è stato un sabato in $2016$ (aspettate: la tabella inizia con la setta per il 2016); la tabella della giornata di lavoro del 1° gennaio dice: 2016 setta, 2017 domingo, 2018 segunda, 2019 terca, 2020 quarta, 2021 setta, 2022 sabato. L’anno successivo in cui la data è nuovamente sabato è $2022$. In quale anno il prossimo è di nuovo sabato? [Valore della chiave di risposta: $2022$.]

Risposta: E src_obm_2016_n3_f1__Q18

Maximum size of a set in {1,…,2016} whose elements satisfy a_i | a_j+1 / coprimality property

The set $\{1,2,3,5,29,869\}$ has the property described in the statement (it has $6$ elements). One proves $X$ has at most $7$ elements. Suppose by contradiction $X=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7\}$ with $a_1<a_2<\dots$. One shows $\gcd (a_i,a_j)=1$ for $i\ne j$: if a prime $p\mid a_i$ and $p\mid a_j$ with $i<j$ then $a_i\mid a_j+1$ forces $p\nmid a_j$, a contradiction. Then $a_2$ is a multiple of the product $a_3{a}_4{a}_5{a}_6{a}_7\ge 1\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=2310$, so $a_2\ge 2309$, absurd since $a_2\le 2016$. Find the maximum number of elements of such a set. [Answer key value corresponds to option D.]

Topic: Teoria dei Numeri, Insiemi e funzioni Metodo: Estremalità, Fattorizzazione Abilita: Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF

La dimensione massima di un insieme in {1,…2016} i cui elementi soddisfano a_i ∙ a_j+1 / coprimitalità proprietà

L’insieme $\{1,2,3,5,29,869\}$ ha la proprietà descritta nella dichiarazione (ha elementi $6$). Una prova che $X$ contiene al massimo $7$ elementi. Supponiamo con contraddizione $X=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7\}$ con $a_1<a_2<\dots$. Uno mostra $\gcd (a_i,a_j)=1$ per $i\ne j$: se un primo $p\mid a_i$ e $p\mid a_j$ con $i<j$ allora $a_i\mid a_j+1$ forza $p\nmid a_j$, una contraddizione. Quindi $a_2$ è un multiple del prodotto $a_3{a}_4{a}_5{a}_6{a}_7\ge 1\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=2310$, quindi $a_2\ge 2309$, assurdo dal momento che $a_2\le 2016$. Trova il numero massimo di elementi di tale insieme. [Il valore della chiave di risposta corrisponde all’opzione D.]

Risposta: D src_obm_2016_n3_f1__Q19

Counting ‘sagaz’ numbers abcd where the number minus its digit sum is at most 999

Consider a number of up to four digits $\overline{abcd}$ and note $\overline{abcd}-(a+b+c+d)=999a+99b+9c$. If $a\ge 1$ the result is at least $1000$, and any number with $5$ or more digits gives a difference at least $1000$. So a ‘sagaz’ number must satisfy $a=0$, giving $10$ options for $b$ etc.; the analysis shows the smaller term is $b=c=0$ with the product less than $1000$, and counting carefully there are $99+1=100$ sagaz numbers less than $1000$. How many sagaz numbers are there? [Answer key value: $100$.]

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

Contare i numeri “sagaz” abcd, dove il numero meno la somma dei suoi numeri è massima di 999

Considerare un numero fino a quattro cifre $\overline{abcd}$ e nota $\overline{abcd}-(a+b+c+d)=999a+99b+9c$. Se $a\ge 1$ il risultato è almeno $1000$, e qualsiasi numero con $5$ o più cifre dà una differenza almeno $1000$. Quindi un numero di “sagaz” deve soddisfare $a=0$, dando $10$ opzioni per $b$ ecc.; l’analisi mostra che il termine più piccolo è $b=c=0$ con il prodotto inferiore a $1000$, e contando attentamente ci sono $99+1=100$ numeri di sagaz inferiori a $1000$. Quanti numeri di sagaz ci sono? [Valore della chiave di risposta: $100$.]

Risposta: B src_obm_2016_n3_f1__Q20

Minimum number of merge operations to split piles 1,2,…,9,11 into equal piles

There are piles of stones containing $1,2,3,\dots ,9$ and $11$ stones (no pile of $10$), with total $1+2+3+\cdots +9+11=56$. For all piles to have the same amount $k$, $k$ must be a divisor of $56$. Analyzing the divisors, the possibilities are $14,28$ or $56$ stones per pile. Each merge of piles is one operation; to make piles of $28$ requires more operations, and to obtain $4$ piles of $14$ requires $6$ operations, realized explicitly as $(11+3),(9+5),(8+6),(7+4+2+1)$. What is the minimum number of operations? [Answer key value corresponds to option D.]

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

Numero minimo di operazioni di fusione per dividere le pile 1,2,…,9,11 in pile uguali

Esistono pile di pietre contenenti $1,2,3,\dots ,9$ e $11$ pietre (nessuna pila di $10$), con totale $1+2+3+\cdots +9+11=56$. Per che tutte le pile abbiano la stessa quantità $k$, $k$ deve essere un divisore di $56$. Analizzando i divisori, le possibilità sono $14,28$ o $56$ pietre per pile. Ogni fusione di pile è un’operazione; per creare pile di $28$ occorrono più operazioni, e per ottenere pile $4$ di $14$ occorrono operazioni $6$, realizzate esplicitamente come $(11+3),(9+5),(8+6),(7+4+2+1)$. Qual è il numero minimo di operazioni? [Il valore della chiave di risposta corrisponde all’opzione D.]

Risposta: D src_obm_2016_n3_f1__Q21

Ratio of areas [CHAM]/[AEFG] in a square of side 6 with similar triangles

In a square of side $6$ one has $DM=MC=CE=3$. The triangles $CEH$ and $DEA$ are similar, so $\frac{CH}{DA}=\frac{CE}{DE}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$. Hence $CH=6/3=2$ and $HB=CB-CH=4$. The area of quadrilateral $CHAM$ is $[CHAM]=[ACM]+[ACH]=\frac{9}{2}+\frac{6}{2}=\frac{15}{2}$. By the Pythagorean theorem in triangle $ADE$, $[AEFG]=A{E}^2=A{D}^2+D{E}^2=117$. Therefore $\frac{[CHAM]}{[AEFG]}=\frac{15/2}{117}=\frac{5}{39}$. Find the ratio $\frac{[CHAM]}{[AEFG]}$. [Answer key value: $\frac{5}{39}$.]

Topic: Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF

Ratio di aree [CHAM]/[AEFG] in un quadrato di lato 6 con triangoli simili

In un quadrato di lato $6$ si ha $DM=MC=CE=3$. I triangoli $CEH$ e $DEA$ sono simili, quindi $\frac{CH}{DA}=\frac{CE}{DE}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$. Di conseguenza $CH=6/3=2$ e $HB=CB-CH=4$. L’area del quadrilaterale $CHAM$ è $[CHAM]=[ACM]+[ACH]=\frac{9}{2}+\frac{6}{2}=\frac{15}{2}$. Per il teorema di Pitagore nel triangolo $ADE$, $[AEFG]=A{E}^2=A{D}^2+D{E}^2=117$. Pertanto $\frac{[CHAM]}{[AEFG]}=\frac{15/2}{117}=\frac{5}{39}$. Trova il rapporto $\frac{[CHAM]}{[AEFG]}$. [Valore della chiave di risposta: $\frac{5}{39}$.]

Risposta: A src_obm_2016_n3_f1__Q22

Function f summing prime exponents; comparing values and evaluating f(2016)

Consider the function $f$ such that if $n=p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}$ is the prime factorization of $n$, then $f(n)=a_1+\cdots +a_k$, with the convention used in the proof. The function satisfies: for $m>n$ with $m$ a multiple of $n$, $f(m)>f(n)$. By induction, if $\frac{n}{p}$ has $t$ prime factors then $f(\frac{n}{p})\ge t$ and $f(n)>f(\frac{n}{p})\ge t$, so $f(n)\ge t+1$. Using this, compute $f(2016)=f(2^5\cdot 3^2\cdot 7)=5+2+1+1=9$. Determine the required value (i.e. $f(2016)$ or the related bound). [Answer key value: $9$.]

Topic: Teoria dei Numeri, Insiemi e funzioni Metodo: Fattorizzazione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF

*Funzione f sommazione degli esponenti primi; confronto dei valori e valutazione di f(2016) *

Considera la funzione $f$ in modo tale che se $n=p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}$ è la fattorizzazione primaria di $n$, allora $f(n)=a_1+\cdots +a_k$, con la convenzione utilizzata nella prova. La funzione soddisfa: per $m>n$ con $m$ un multiple di $n$, $f(m)>f(n)$. Per induzione, se $\frac{n}{p}$ ha $t$ fattori primari $f(\frac{n}{p})\ge t$ e $f(n)>f(\frac{n}{p})\ge t$, quindi $f(n)\ge t+1$. Con questo calcolo $f(2016)=f(2^5\cdot 3^2\cdot 7)=5+2+1+1=9$. Determinare il valore richiesto (es. $f(2016)$ o il limite correlato). [Valore della chiave di risposta: $9$.]

Risposta: C src_obm_2016_n3_f1__Q23

Showing a sequence of 2016 positive integers with a sum/product property has at least 2006 ones

Consider $2016$ positive integers with $n=p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}$ (the factorization framework). A construction with $2006$ numbers equal to $1$ and ten numbers equal to $2$ gives sum $2006+10\cdot 2=2026$ and product $2^{10}=1024$, so sum exceeds product. One proves there must be at least $2006$ numbers equal to $1$: ordering $x_1\le x_2\le \cdots \le x_{2016}$, if fewer than $2006$ were equal to $1$ one obtains $k+(2016-k)x_{2016}\ge 2^{2016-k}{x}_{2016}$, leading to $2^{2015-k}+k-2016>0$ and then $2^{2016-k}+k\le 4032$; for $k\le 2004$, $2^{2016-k}\ge 2^{12}=4096$ is absurd, and for $k=2005$, $2^{11}=2048$ also gives a contradiction ($4043\le 4032$ false). Hence there are at least $2006$ numbers equal to $1$. Determine the answer. [Answer key value corresponds to option C.]

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF

Mostrare una sequenza di numeri interi positivi del 2016 con una proprietà somma/prodotto ha almeno quelli del 2006

Considerare $2016$ integri positivi con $n=p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}$ (il quadro di fattorizzazione). Una costruzione con i numeri $2006$ uguali a $1$ e dieci numeri uguali a $2$ dà la somma $2006+10\cdot 2=2026$ e il prodotto $2^{10}=1024$, quindi la somma supera il prodotto. Si prova che ci devono essere almeno $2006$ numeri uguali a $1$: ordinando $x_1\le x_2\le \cdots \le x_{2016}$, se meno di $2006$ erano uguali a $1$ si ottiene $k+(2016-k)x_{2016}\ge 2^{2016-k}{x}_{2016}$, portando a $2^{2015-k}+k-2016>0$ e poi $2^{2016-k}+k\le 4032$; per $k\le 2004$, $2^{2016-k}\ge 2^{12}=4096$ è assurdo, e per $k=2005$, $2^{11}=2048$ dà anche una contraddizione ($4043\le 4032$ falso). Quindi ci sono almeno $2006$ numeri uguali a $1$. Determina la risposta. [Il valore della chiave di risposta corrisponde all’opzione C.]

Risposta: C src_obm_2016_n3_f1__Q24

Ratio CO/CD where O is circumcenter of triangle ABD, with right angle at B and 60-degree angle at C

$O$ is the circumcenter of triangle $ABD$, with a right angle marked at $B$ and a $60^{\circ }$ angle at $C$ (figure). Since $O$ is the circumcenter of triangle $ABD$, $m(\widehat{BOD})=120^{\circ }$, so quadrilateral $BCDO$ is cyclic. Then $m(\widehat{COD})=m(\widehat{CBD})=90^{\circ }$ and $m(\widehat{OCD})=m(\widehat{OBD})=30^{\circ }$. In right triangle $DOC$, the required ratio is $\frac{CO}{CD}=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Find $\frac{CO}{CD}$. [Answer key value: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.]

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF

Ratio CO/CD dove O è il centro del triangolo ABD, con angolo retto a B e angolo di 60 gradi a C

$O$ è il centro circundante del triangolo $ABD$, con un angolo retto segnato a $B$ e un angolo $60^{\circ }$ a $C$ (figura). Dal momento che $O$ è il circoncentro del triangolo $ABD$, $m(\widehat{BOD})=120^{\circ }$, quindi il quadrilaterale $BCDO$ è ciclico. Poi $m(\widehat{COD})=m(\widehat{CBD})=90^{\circ }$ e $m(\widehat{OCD})=m(\widehat{OBD})=30^{\circ }$. Nel triangolo rettangolo $DOC$, il rapporto richiesto è $\frac{CO}{CD}=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Trova $\frac{CO}{CD}$. [Valore della chiave di risposta: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.]

Risposta: E src_obm_2016_n3_f1__Q25