Olimpíada Brasileira de Matemática 2016 — Nível 3 — Fase 2

Position 10000 in sequence built by concatenating 1..2^k blocks

Consider the sequence of numbers $1,1,2,1,2,3,4,5,6,1,2,\dots$ in which we write the numbers from $1$ to $2^1$, then from $1$ to $2^2$, then from $1$ to $2^3$, and so on. Note that each position in this sequence is occupied by exactly one number. For example, the number $5$ appears for the first time at position $8$. Determine which number occupies position $10000$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Posizione 10000 in sequenza costruita con la concatenatura di blocchi di 1..2k

Considerate la sequenza di numeri $1,1,2,1,2,3,4,5,6,1,2,\dots$ in cui scriviamo i numeri da $1$ a $2^1$, poi da $1$ a $2^2$, poi da $1$ a $2^3$, e così via. Si noti che ogni posizione in questa sequenza è occupata da esattamente un numero. Ad esempio, il numero $5$ appare per la prima volta nella posizione $8$. Determinare quale numero occupa la posizione $10000$.

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Find a+b given a shared root of two polynomials

Let $r$ be a root of the equation $x^2-12x-12=0$. We know that $r$ is also a root of the equation $x^4-a{x}^2-b=0$, where $a$ and $b$ are real numbers. Find $a+b$.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova a+b data una radice condivisa di due polinomi

$r$ sia la radice dell’equazione $x^2-12x-12=0$. Sappiamo che $r$ è anche una radice dell’equazione $x^4-a{x}^2-b=0$, dove $a$ e $b$ sono numeri reali. Trova $a+b$.

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Find p^q in semicircle geometry with given chord lengths and coprime ratio

In the figure below, $AB=4$, $BD=8$, $CB=BE=2$, and $AGD$ is a semicircle of diameter $AD$. Given that $AG/GD=p/q$, where $p$ and $q$ are positive integers that are mutually prime, find $p^q$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca p^q in geometria semicircolare con lunghezze di accordi e rapporto di coprime dati

Nella figura seguente $AB=4$, $BD=8$, $CB=BE=2$ e $AGD$ è un semicircolo di diametro $AD$. Dato che $AG/GD=p/q$, dove $p$ e $q$ sono integri positivi che sono reciprocamente primi, trovare $p^q$.

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Smallest perimeter shared by two non-congruent integer-sided right triangles

Determine the smallest positive integer $n$ such that there exist two non-congruent right triangles with integer side lengths and perimeter $n$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Il perimetro più piccolo condiviso da due triangoli rettangolari a lato intero non congruenti

Determinare il numero intero positivo più piccolo $n$ in modo tale che esistano due triangoli rettangolari non congruenti con lunghezze laterali interi e perimetro $n$.

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Minimum number of positive divisors of P(n) for degree-10 integer-root polynomial

The roots of a polynomial $P$ of degree $10$, with integer coefficients, are all integers and distinct. Determine the minimum number of positive divisors that every non-zero value $P(n)$, for $n$ an integer, must have.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Minimum numero di divisori positivi di P(n) per il polinomio di radice integrale di grado-10

Le radici di un polinomio $P$ di grado $10$, con coefficienti interi, sono tutti interi e distinti. Determinare il numero minimo di divisori positivi che ogni valore non zero $P(n)$, per $n$ un numero intero, deve avere.

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Tiling m x n board with 4-square and 3-square pieces; minimize mn*

The figure below shows two types of pieces: Type 1, with $4$ squares, and Type 2, with $3$ squares. A board with $m$ rows and $n$ columns is tiled, without overlapping, by pieces of Type 1 with the exception of $3$ squares. The same board is also tiled, without overlapping, by pieces of Type 2 with the exception of $2$ squares. The pieces may be rotated but cannot extend outside the board. What is the smallest possible value of the product $m\times n$?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Tagliare la scheda m x n con pezzi quadrati e quadrati; ridurre al minimo la m *n *

La figura seguente mostra due tipi di pezzi: tipo 1, con $4$ quadrati, e tipo 2, con $3$ quadrati. Una tabella con righe $m$ e colonne $n$ è cartigliata, senza sovrapposizioni, da pezzi di tipo 1, ad eccezione dei quadrati $3$. La stessa lavagna è inoltre incollata, senza sovrapposizioni, con pezzi di tipo 2, ad eccezione dei quadrati $2$. I pezzi possono essere rotati ma non possono estendersi al di fuori della lavagna. Qual è il minimo valore possibile del prodotto $m\times n$?

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Count brown cells in 7x7 coloring with row-red and column-blue majority constraints

Janaína wants to paint the cells of a $7\times 7$ board red, blue, or brown in the following way: in each row, the number of red cells cannot be less than the number of cells of each of the other colors; in each column, the number of blue cells cannot be less than the number of cells of each of the other colors. How many cells will be painted brown?

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Doppio conteggio Abilita: Casework accurato, Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conta le celle marroni in colorazione 7x7 con restrizioni di maggioranza a fila rossa e a colonna blu

Janaína vuole dipingere le cellule di un pannello $7\times 7$ in rosso, blu o marrone nel modo seguente: in ogni riga, il numero di cellule rosse non può essere inferiore al numero di cellule di ciascuno degli altri colori; in ogni colonna, il numero di cellule blu non può essere inferiore al numero di cellule di ciascuno degli altri colori. Quante cellule saranno dipinte di marrone?

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Maximum angle BAC when G is centroid and two circles are tangent to a common line

Two circles $\Gamma$ and $\Omega$ intersect at points $A$ and $G$. A line $t$ is tangent to $\Gamma$ at $B$ and to $\Omega$ at $C$. The line $AG$ extended meets $t$ at $E$, with $C$ between $B$ and $E$. $G$ is the centroid of triangle $ABC$. What is the maximum possible value of the angle $\widehat{BAC}$?

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Coordinate, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF

Agglio massimo BAC quando G è centroid e due cerchi sono tangenti a una linea comune

Due cerchi $\Gamma$ e $\Omega$ si incrociano ai punti $A$ e $G$. Una linea $t$ è tangente a $\Gamma$ a $B$ e a $\Omega$ a $C$. La linea $AG$ estesa incontra $t$ a $E$, con $C$ tra $B$ e $E$. $G$ è il centroide del triangolo $ABC$. Qual è il valore massimo possibile dell’angolo $\widehat{BAC}$?

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Trailing zeros of the q-binomial coefficient C(2016,38)_q as a polynomial in q

In combinatorics, there exist $q$-analogs of combinatorial counts; basically, we replace $n$ by $[n{]}_q$, where $[n{]}_q=1+q+q^2+\cdots +q^{n-1}$. The $q$-factorial is $[n{]}_q!=[1{]}_q\cdot [2{]}_q\cdots [n{]}_q=1\cdot (1+q)\cdot (1+q+q^2)\cdots (1+q+q^2+\cdots +q^{n-1}).$ Given that ${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}_q=\frac{[n{]}_q!}{[k{]}_q![n-k{]}_q!}$, with how many zeros does the $q$-binomial ${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2016}{38}\right)}_q$ end (as a polynomial in $q$)?

Topic: Algebra, Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze, Conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Zero di seguito del coefficiente binomial q C(2016,38)_q come polinomio in q

In combinatorica, esistono $q$-analoghi di conti combinatori; fondamentalmente, sostituisco $n$ con $[n{]}_q$, dove $[n{]}_q=1+q+q^2+\cdots +q^{n-1}$. Il $q$-fattoriale è $[n{]}_q!=[1{]}_q\cdot [2{]}_q\cdots [n{]}_q=1\cdot (1+q)\cdot (1+q+q^2)\cdots (1+q+q^2+\cdots +q^{n-1}).$ Dato che ${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}_q=\frac{[n{]}_q!}{[k{]}_q![n-k{]}_q!}$, con quanti zeri termina il $q$-binomio ${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2016}{38}\right)}_q$ (come polinomio in $q$)?

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