Olimpíada Brasileira de Matemática 2017 — Nível 1 — Fase 1

Smallest rectangle area fitting two squares summing to 2017

Determine the smallest positive integer $A$ such that, given two squares whose areas sum to $2017$, it is always possible to fit these two squares, without overlap, inside a rectangle of area $A$, with the sides of the squares parallel to the sides of the rectangle.

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Modellizzazione, Stima, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

L’area rettangolare più piccola con due quadrati che sommano il 2017

Determinare il più piccolo intero positivo $A$ in modo tale che, dati due quadrati le cui aree sommano a $2017$, sia sempre possibile inserire questi due quadrati, senza sovrapposizione, all’interno di un rettangolo di superficie $A$, con i lati dei quadrati paralleli ai lati del rettangolo.

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Limits of a sequence defined by partial sums

Consider the sequence $a_n={\sum }_{k=1}^n\frac{k}{n^2}$ for $n\ge 1$.

a) Determine ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n$.

b) Determine ${\lim }_{n\to \infty }{\left(\frac{2^n(2-a_n)}{n+1}\right)}^{n+1}$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Telescoping, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Limiti di una sequenza definita da somme parziali

Considera la sequenza $a_n={\sum }_{k=1}^n\frac{k}{n^2}$ per $n\ge 1$.

a) Determinare ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n$.

b) Determinare ${\lim }_{n\to \infty }{\left(\frac{2^n(2-a_n)}{n+1}\right)}^{n+1}$.

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Ellipse semi-diameters at right angles: invariant and envelope

Consider the ellipse with equation $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$. A semi-diameter of the ellipse is a segment $OM$, where $O=(0,0)$ is the center of the ellipse. A right angle formed by two semi-diameters $OM$ and $ON$ of the ellipse rotates around the point $O$.

a) Show that $\frac{1}{|\overrightarrow{OM}{|}^2}+\frac{1}{|\overrightarrow{ON}{|}^2}$ is constant.

b) Find the envelope of the family of chords $MN$.

Obs.: The envelope of a family of curves is a closed curve that is tangent to every curve of the family.

Topic: Geometria analitica, Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria, Invarianti Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Semi-diametri dell’ellisse ad angolo retto: invariante e involucro

Considera l’ellisse con l’equazione $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$. Un semidiametro dell’ellisse è un segmento $OM$, dove $O=(0,0)$ è il centro dell’ellisse. Un angolo retto formato da due semidiametri $OM$ e $ON$ dell’ellisse ruota intorno al punto $O$.

a) Indicare che $\frac{1}{|\overrightarrow{OM}{|}^2}+\frac{1}{|\overrightarrow{ON}{|}^2}$ è costante.

b) Trova l’envelope della famiglia di accordi $MN$.

Obs.: L’envelope di una famiglia di curve è una curva chiusa che è tangente a ogni curva della famiglia.

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Asymptotic expansion of a series involving inverse squares

Define $f:(0,\infty )\to \mathbb{R}$ by $f(x)={\sum }_{k\ge 0}\frac{1}{(x+k{)}^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1{)}^2}+\frac{1}{(x+2{)}^2}+\cdots$ Find constants $a\ne 0$, $b$, $c$ such that $f(x)=x^{-2}(a+b{x}^{-1}+r(x)),$ with ${\lim }_{x\to \infty }x\cdot r(x)=0$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Telescoping, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Espansione asimptotica di una serie che coinvolge quadrati inversi

Definire $f:(0,\infty )\to \mathbb{R}$ con $f(x)={\sum }_{k\ge 0}\frac{1}{(x+k{)}^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1{)}^2}+\frac{1}{(x+2{)}^2}+\cdots$ Trovare costanti $a\ne 0$, $b$, $c$ tali da $f(x)=x^{-2}(a+b{x}^{-1}+r(x)),$ con ${\lim }_{x\to \infty }x\cdot r(x)=0$.

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Smallest n guaranteeing three integers from [-2017,2017] sum to zero

Determine the smallest integer $n$ such that for any choice of $m$ integers from $[-2017,2017]$, three of them always sum to zero.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Principio dei cassetti, Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Minimum n che garantisce tre enti da [-2017,2017] somma a zero

Determinare il numero intero più piccolo $n$ in modo tale che per qualsiasi scelta di numeri interi $m$ da $[-2017,2017]$, tre di essi siano sempre sommati a zero.

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Determinant of Wronskian-type matrix of monomials

Let $k_1,k_2,\dots ,k_n$ be non-negative integers. Let $M$ be the $n\times n$ matrix with entries $M_{i1}=t^{k_i},M_{i,j+1}=\frac{d}{dt}{M}_{ij}.$ Prove that there exist constants $C$ and $r$ such that $\det (M)=C{t}^r$. Find simple formulas for $C$ and $r$.

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Induzione, Fattorizzazione, Doppio conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Determinatore della matrice di monomi di tipo Wronskian

Lasciate che $k_1,k_2,\dots ,k_n$ siano integri non negativi. Provare che esistono costanti $C$ e $r$ tali da $\det (M)=C{t}^r$. Trovare formule semplici per $C$ e $r$.

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