Car race: positions table after lap 17, recover starting grid, and determine the podium from lap times
In car races, it is common to show the position of the drivers in each lap of the race, relative to the starting order. For this, the symbols are used to indicate that the position is the same as at the start, next to a number indicating how many positions the driver moved up relative to the start, and next to a number indicating how many positions the driver fell relative to the start. In addition, an abbreviation of the drivers’ names is used. On lap of a -lap race, the positions of the first ten drivers were as follows:
a) Write the abbreviated names of the first five drivers in the starting order of the race and their respective positions.
b) From lap until the end of the race, the first three drivers manage to keep their per-lap durations: PRE does each lap in , SAP does each lap in , and BET does each lap in . At the end of lap , SAP was behind PRE and BET was behind PRE. Considering that these three drivers made up the podium and that the faster driver always managed to overtake a slower driver in front of him, explain who won the race and which drivers took second and third place.
Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Corse di auto: tabella di posizioni dopo il giro 17, recupero della griglia di partenza e determinazione del podio a partire dai tempi del giro
Nelle gare automobilistiche è comune mostrare la posizione dei piloti in ogni giro della gara, rispetto all’ordine di partenza. A tal fine, i simboli indicano che la posizione è la stessa di quando si inizia, accanto a un numero che indica quante posizioni il conducente si è spostato verso l’alto rispetto alla partenza e accanto a un numero che indica quante posizioni il conducente è caduto rispetto alla partenza. Inoltre, viene utilizzata un’abbreviazione dei nomi dei conducenti. Nel giro di una gara , le posizioni dei primi dieci piloti erano le seguenti:
a) Scrivere i nomi abbreviati dei primi cinque piloti nell’ordine di partenza della gara e le rispettive posizioni.
b) Dal giro fino alla fine della gara, i primi tre piloti riescono a mantenere la loro durata per giro: PRE fa ogni giro in , SAP fa ogni giro in e BET fa ogni giro in . Alla fine del giro , SAP era dietro PRE e BET era dietro PRE. Considerando che questi tre piloti compongono il podio e che il pilota più veloce riesce sempre a superare un pilota più lento davanti a lui, spiegate chi ha vinto la gara e quali piloti hanno preso il secondo e il terzo posto.
Count the ways to build a 27 cm^3 and a 64 cm^3 cube from cubes of side 1, 2, 3 cm
Jacira has many small cubes whose sides measure , , or . Thus, for example, she has two different ways to obtain a cube whose volume is : one of them is to build a cube with cubes of side and the other is simply to take a cube of side , as shown in the figure. Note that two cubes of the same volume are obtained in different ways if, and only if, they are assembled with different numbers of cubes.
a) In how many different ways can she obtain a cube with volume ?
b) In how many different ways can she obtain a cube with volume ?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri, Geometria solida Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Fonte: apri PDF
Contare i modi per costruire un cubo di 27 cm3 e un cubo di 64 cm3 da cubetti di lato 1, 2, 3 cm
Jacira ha molti piccoli cubetti i cui lati misurano , o . Quindi, ad esempio, ha due modi diversi per ottenere un cubo il cui volume è : uno di essi è quello di costruire un cubo con cubi di lato e l’altro è semplicemente quello di prendere un cubo di lato , come mostrato nella figura. Si noti che due cubes dello stesso volume vengono ottenuti in modi diversi se, e solo se, sono assemblati con diversi numeri di cubes.
a) In quanti modi diversi può ottenere un cubo con volume ?
b) In quanti modi diversi può ottenere un cubo di volume ?
Odd-digit-only ‘Impas’ number system: write 20 and 2017, and compute a multiplication
In the Land of the Impas, only odd digits are used to count and write numbers. Thus, instead of the numbers , the Impas have the corresponding numbers (note that the Impas’ numbers have only odd digits). For example, if a child is years old, the Impas would say that she is years old.
a) How do the Impas write our number ?
b) In a school in that land, the teacher wrote on the blackboard the little multiplication below. If you were an Impa student, what would you write as the result?
c) Write, in the language of the Impas, the number that in our usual decimal representation is written as .
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Biiezione, Casework, Conteggio Abilita: Lettura attenta, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Sistema di numeri “Impas” a soli cifre limitate: scrivere 20 e 2017, e calcolare una moltiplicazione
Nel Paese degli Impas, solo cifre rare vengono usate per contare e scrivere numeri. Pertanto, invece dei numeri , le Impas hanno i numeri corrispondenti (nota che i numeri delle Impas hanno solo cifre odd). Ad esempio, se un bambino ha anni, gli Impas direbbero che ha anni.
a) Come scrivono gli Impas il nostro numero ?
b) In una scuola di quel paese, l’insegnante scrisse sulla lavagna la piccola moltiplicazione qui sotto. Se fossi uno studente di Impa, cosa scriveresti come risultato?
c) Scrivi, nella lingua degli Impas, il numero che nella nostra normale rappresentazione decimale è scritto come .
Rectangle split into a square plus four equal smaller rectangles that reassemble into a new square
Some rectangles can be divided into one square and four smaller equal rectangles, in such a way that all these five parts can be reunited to compose a new square.
a) Make a drawing showing how a square and four equal rectangles can be reunited to form a new square.
b) Show a rectangle that can be divided according to the requirement of the statement and indicate the measures of its sides.
c) If the perimeter of your rectangle is , what can be the values of the perimeter of the square formed after the new arrangement of the parts?
Topic: Geometria piana, Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria, Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Rettangolo diviso in quadrato più quattro rettangoli uguali più piccoli che si riassemblano in un nuovo quadrato
Alcuni rettangoli possono essere divisi in un quadrato e quattro rettangoli uguali più piccoli, in modo tale che tutte queste cinque parti possano essere riunite per comporre un nuovo quadrato.
a) Fare un disegno che mostri come un quadrato e quattro rettangoli uguali possano essere riuniti per formare un nuovo quadrato.
b) Indicare un rettangolo che può essere diviso secondo le esigenze della dichiarazione e indicare le misure dei suoi lati.
c) Se il perimetro del tuo rettangolo è , quali possono essere i valori del perimetro del quadrato formato dopo la nuova disposizione delle parti?
Phone unlock patterns as digit sequences on a 3x3 grid: identify a password and count patterns
We see, in figures 1 and 2 below, examples of the screen lock of a cellphone that only works with a password that is not typed but drawn with line segments. These segments form a polygonal line with vertices on a grid. When drawing the pattern corresponding to the password, the finger must remain touching the screen the whole time. The entire polygonal line corresponds to a sequence of digits, and this sequence is, in fact, the password. The tracing of the polygonal lines obeys the following rules:
i. The tracing begins at one of the highlighted points, which correspond to the digits to (figure 3).
ii. Each segment of the pattern must have as one of its endpoints (the one at which we finish tracing the segment) a point that has not yet been used.
iii. If a segment joins two points and contains a third (its midpoint), then the digit corresponding to that third point is included in the password. This does not happen when that point/digit has already been used.
iv. Every password has at least four digits.
Thus, every polygonal line is associated with a sequence of four or more digits, which appear in the password in the same order in which they are visited. In figure 1 above, for example, the password is , in case the first point visited was the . Note that the segment joining the points associated with digits and includes the point associated with digit . If the first point visited were the , then the password would be . If the first point visited were the , then the password would be . Note that the would be skipped, since it could not repeat.
a) Why does the line in figure 2 correspond to a single password? What is that password?
b) How many passwords are associated with exactly three consecutive sides of a square?
c) How many different passwords of four digits have two collinear segments (segments that lie on the same line)?
Topic: Combinatoria, Geometria piana, Logica Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico, Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF
Modelli di sblocco del telefono come sequenze digitali su una griglia 3x3: identificare una password e modelli di conteggio
Vediamo, nelle figure 1 e 2 di seguito, esempi del blocco dello schermo di un cellulare che funziona solo con una password che non viene digitata ma disegnata con segmenti di linea. Questi segmenti formano una linea poligonale con vertici su una griglia. Quando si disegna il modello corrispondente alla password, il dito deve continuare a toccare lo schermo per tutto il tempo. L’intera linea poligonale corrisponde a una sequenza di cifre, e questa sequenza è, infatti, la password. Il tracciamento delle linee poligonali è conforme alle seguenti regole:
i. Il tracciamento inizia ad uno dei punti evidenziati, che corrispondono ai numeri a (figura 3).
ii. Ogni segmento del modello deve avere come uno dei suoi punti finali (quello al quale finiamo di tracciare il segmento) un punto che non è ancora stato utilizzato.
iii. Se un segmento unisce due punti e contiene un terzo (il suo punto medio), allora la cifra corrispondente a tale terzo punto è inclusa nella password. Questo non avviene quando tale punto/cifre è già stato utilizzato.
iv. Ogni password ha almeno quattro cifre.
Pertanto, ogni linea poligonale è associata a una sequenza di quattro o più cifre, che appaiono nella password nello stesso ordine in cui vengono visitate. Nella figura 1 sopra, ad esempio, la password è , nel caso in cui il primo punto visitato fosse il . Si noti che il segmento che unisce i punti associati ai numeri e include il punto associato al numero . Se il primo punto visitato fosse il , la password sarebbe . Se il primo punto visitato fosse il , la password sarebbe . Si noti che la sarebbe saltata, poiché non poteva ripetersi.
a) Perché la riga della figura 2 corrisponde a una singola password? Qual è la password?
b) Quante password sono associate esattamente a tre lati consecutivi di un quadrato?
c) Quante diverse password di quattro cifre hanno due segmenti collineari (segmenti che si trovano sulla stessa linea)?