Olimpíada Brasileira de Matemática 2017 — Nível 2 — Fase 3

Trapezoids formed by midpoints and vertices of a triangle; area ratios

Points $X$, $Y$, $Z$ are the midpoints of sides $AB$, $BC$, and $AC$ of triangle $ABC$, respectively. Points $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ are on sides $XZ$, $XY$, and $YZ$ of triangle $XYZ$, respectively, such that $\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{AC}{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}=2$. The quadrilaterals $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$, and $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ are trapezoids in which the sides of triangle $ABC$ are the bases.

a) Determine the ratio of the area of trapezoid $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ to the area of triangle $A^{\prime }{B}^{\prime }X$.

b) Determine the ratio of the area of triangle $XYZ$ to the area of triangle $ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Trapeziosi formati da punti medi e vertici di un triangolo; rapporti di superficie

I punti $X$, $Y$, $Z$ sono rispettivamente i punti medi dei lati $AB$, $BC$ e $AC$ del triangolo $ABC$. I punti $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ sono sui lati $XZ$, $XY$ e $YZ$ del triangolo $XYZ$, rispettivamente, in modo tale che $\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{AC}{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}=2$. I quadrilaterali $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ e $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ sono trapezzi nei quali i lati del triangolo $ABC$ sono le basi.

a) Determinare il rapporto tra l’area del trapezzo $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ e l’area del triangolo $A^{\prime }{B}^{\prime }X$.

b) Determinare il rapporto tra la superficie del triangolo $XYZ$ e la superficie del triangolo $ABC$.

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Real equation in x,y,z; prove C=-1 and find solution

We know that $C$ is a real number and $x$, $y$, $z$ are distinct nonzero real numbers satisfying: $x+\frac{y}{z}=y+\frac{z}{x}=z+\frac{x}{y}=C.$

a) Show that $C=-1$.

b) Find at least one solution $(x,y,z)$ for the given equation.

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Equazione reale in x,y,z; prova C=-1 e trova la soluzione

Sappiamo che $C$ è un numero reale e $x$, $y$, $z$ sono diversi numeri reali non zero che soddisfano: $x+\frac{y}{z}=y+\frac{z}{x}=z+\frac{x}{y}=C.$

a) Indicare che $C=-1$.

b) Trova almeno una soluzione $(x,y,z)$ per l’equazione data.

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n×n table with black/white cells; row and column each contain different counts

Let $n>1$ be a positive integer. Consider an $n\times n$ table in which some of the $n^2$ cells are painted black and the remaining cells are painted white. Prove that it is possible to choose $(n-1{)}^2$ cells from the table such that, after removing the row and column containing each chosen cell, the number of black cells and white cells remaining is different.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

n×n tabella con celle bianche e nere; ogni riga e colonna contengono un numero diverso

$n>1$ sia un numero intero positivo. Si consideri una tabella $n\times n$ in cui alcune delle celle $n^2$ sono dipinte in nero e le altre in bianco. Prove che è possibile scegliere le celle $(n-1{)}^2$ dalla tabella in modo tale che, dopo aver rimosso la riga e la colonna contenenti ciascuna cellula scelta, il numero di celle nere e celle bianche rimanenti sia diverso.

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Imps’ number system (odd digits only); counting and multiplication in Imp language

In the Land of the Imps, only odd digits are used to write numbers. So instead of the digits $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,\dots$, the Imps use the corresponding numbers $1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,31,33,35,\dots$ (note that the Imp numbers use only the odd digits $1,3,5,7,9$). For example, if a child is $11$ years old, the Imps would say she is $31$ years old.

a) How do the Imps write the number $207$?

b) In a school, a teacher wrote on the board the multiplication table below. If you were an Imp student, what would you write as the result? $13\times 5$

c) Write, in the Imp language, the number whose standard decimal representation is $2017$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Biiezione, Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sistema di numeri Imps (solo cifre rare); conteggio e moltiplicazione in lingua Imp

Nel Paese degli Impi, solo cifre rare vengono usate per scrivere numeri. Quindi, invece dei numeri $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,\dots$, gli Imps usano i numeri corrispondenti $1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,31,33,35,\dots$ (nota che i numeri Imp usano solo i numeri odd $1,3,5,7,9$). Ad esempio, se un bambino ha $11$ anni, gli Imps direbbero che ha $31$ anni.

a) Come scrivono gli Imps il numero $207$?

b) In una scuola, un insegnante scrisse sulla lavagna la tabella di moltiplicazione qui sotto. Se tu fossi uno studente di Imp, cosa scriveresti come risultato? $13\times 5$

c) Scrivere, nella lingua Imp, il numero la cui rappresentazione decimale standard è $2017$.

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Incenter and circumcircle intersections; collinearity and concyclicity

In triangle $ABC$ with $AB\ne AC$, let $I$ be its incenter. Points $P$ and $Q$ are defined as the points where the circumcircle of triangle $BCI$ intersects lines $AB$ and $AC$ again, respectively. Let $D$ be the intersection of lines $AI$ and $BC$.

a) Prove that $P$, $Q$, and $D$ are collinear.

b) Let $T$ be the point of intersection of the circumcircles of triangles $PDB$ and $QDC$; prove that $T$ lies on the circumcircle of triangle $ABC$.

Observation: The incenter of a triangle is the intersection of its internal angle bisectors, and the circumcircle is the circle passing through all three vertices.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

intersezioni di centro e di circoncircolo; collinearità e conciclicità

Nel triangolo $ABC$ con $AB\ne AC$, il suo incentro deve essere $I$. I punti $P$ e $Q$ sono definiti come i punti in cui il circoncircolo del triangolo $BCI$ incrocia di nuovo rispettivamente le linee $AB$ e $AC$. Il $D$ deve essere l’intersezione delle linee $AI$ e $BC$.

a) dimostrare che $P$, $Q$ e $D$ sono collineari.

b) Che $T$ sia il punto di intersezione dei circoncircoli dei triangoli $PDB$ e $QDC$; dimostri che $T$ si trova sul circoncircolo del triangolo $ABC$.

Osservazione: L’incentro di un triangolo è l’intersezione dei suoi bisettici di angolo interno, e il circoncircolo è il cerchio che attraversa tutti e tre i vertici.

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For all positive integers n, a^n + 2017b^n has more distinct prime factors than n

Prove that for every positive integer $n$, there exist positive integers $a$ and $b$, with $\gcd (a,b)=1$, such that $a^n+2017b^n$ has more than $n$ distinct prime factors.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Induzione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Per tutti gli integri positivi n, a^n + 2017b^n ha fattori primi più distinti di n*

Prova che per ogni intero positivo $n$ esistono interi positivi $a$ e $b$, con $\gcd (a,b)=1$, in modo tale che $a^n+2017b^n$ abbia più di $n$ fattori primi distinti.

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