Square from four congruent rectangles; find side lengths
A square is formed by four congruent rectangles and a smaller square in its interior, as shown in the figure. The rectangles, in gray, each have a perimeter of 24 cm.
a) How many centimeters is the side of the larger square?
b) Consider the cases in which the side of the inner square is a whole number of centimeters. How many such measurements are there?
Topic: Teoria dei Numeri, Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Fonte: apri PDF
Quadrato di quattro rettangoli congruenti; trovare lunghezze laterali
Un quadrato è formato da quattro rettangoli congruenti e da un quadrato più piccolo all’interno, come mostrato nella figura. I rettangoli, in grigio, hanno ciascuno un perimetro di 24 cm.
a) Quanti centimetri è il lato del quadrato più grande?
b) Considerare i casi in cui il lato del quadrato interno è un numero intero di centimetri. Quante misure di questo tipo ci sono?
Integer sequences: each term is remainder mod 9 of product of two previous
Consider sequences of integers that have the following two properties:
i) The first two terms are given.
ii) Each term from the third onward is the remainder of the division by 9 of the product of the two previous terms.
a) What is the 20th term of the sequence ?
b) What is the th term of the sequence ?
c) Present two sequences whose th term equals 1.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Ricorsione, Invarianti, skill_riconoscimento_pattern Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Sequenze interi: ogni termine è restante mod 9 del prodotto di due precedenti
Considerate sequenze di numeri interi che hanno le seguenti due proprietà:
i) I primi due termini sono indicati.
ii) Ogni termine a decorrere dal terzo è il resto della divisione per 9 del prodotto dei due termini precedenti.
a) Qual è il ventesimo termine della sequenza ?
b) Qual è il termine della sequenza ?
c) Presenta due sequenze il cui termine è uguale a 1.
Pablo pays innkeeper daily using chain of 7 gold links
Pablo was traveling to a distant mine and arrived at an inn where he wanted to stay for a week. He had no money with him, but had a chain with 7 gold links that he offered the innkeeper as payment for lodging and food. The innkeeper liked the offer and said he would charge 1 link per day. Pablo thought for a while and said that if he could cut some links of the chain, he would be able to make the daily payment and at the end of 7 days, the innkeeper would be able to reassemble the complete chain.
(Imagine a chain of gold rings as shown in the figure.)
a) Show that Pablo could make the payment of 1 link per day by cutting only 1 link of the chain. Note that he can give the innkeeper some links and the innkeeper can give him back change using previously received links.
Years later, Pablo returned to the same inn, now, however, he had no money. This time, instead of 7 links, he had a chain with 21 gold links. The negotiation with the innkeeper was made in the same way and Pablo had to pay 1 link per day; at the end of 3 weeks (21 days), the innkeeper could reassemble the complete chain.
b) What is the minimum number of links Pablo should cut to make the daily payment?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Backward Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
*Pablo paga l’albergo ogni giorno utilizzando una catena di 7 collegamenti d’oro *
Pablo era in viaggio per una mina lontana e arrivò in un ostello dove voleva rimanere per una settimana. Non aveva soldi con sé, ma aveva una catena con 7 anelli d’oro che offriva al padrone dell’ospedale come pagamento per alloggio e cibo. Al proprietario dell’ostella piaceva l’offerta e disse che avrebbe addebitato un collegamento al giorno. Pablo pensò per un po’ e disse che se riuscisse a tagliare alcuni anelli della catena, sarebbe stato in grado di effettuare il pagamento giornaliero e alla fine di 7 giorni, l’albergo sarebbe stato in grado di riassemblare l’intera catena.
(Immagina una catena di anelli d’oro come mostrato nella figura.)
a) dimostrare che Pablo poteva effettuare il pagamento di un collegamento al giorno tagliando solo un collegamento della catena. Si noti che può dare al proprietario degli alloggi alcuni link e il proprietario degli alloggi può restituirgli i cambi utilizzando i link precedentemente ricevuti.
Anni dopo Pablo tornò nella stessa locanda, ma ora non aveva più soldi. Questa volta, invece di sette legami, aveva una catena con 21 legami d’oro. La negoziazione con l’albergo si svolse nello stesso modo e Pablo dovette pagare 1 collegamento al giorno; al termine di 3 settimane (21 giorni), l’albergo poteva riassemblare l’intera catena.
b) Qual è il numero minimo di collegamenti che Pablo deve tagliare per effettuare il pagamento giornaliero?
Ball-passing game among four players; how many throws after n passes return to Ana
Ana, Bruno, Célia, and Dirce are in a park and decide to play with a ball. Each child who receives the ball passes it to another. The different ways Ana can pass the ball are:
a) 3 throws? For example, Ana throws to Bruno, who throws to Dirce, who throws back to Ana.
b) 4 throws? For example, Ana throws to Bruno, who throws back to Ana, who throws to Célia, who returns it to Ana.
c) 10 throws?
In how many distinct ways can the ball return to Ana after each of the following number of total throws?
Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione, Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Gioco di passaggio della palla tra quattro giocatori; quanti lanci dopo n passi ritornano a Ana
Ana, Bruno, Célia e Dirce sono in un parco e decidono di giocare con una palla. Ogni bambino che riceve la palla la passa ad un altro. I diversi modi in cui Ana può passare la palla sono:
a) Tre lanci? Ad esempio, Ana lancia a Bruno, che lancia a Dirce, che lancia di nuovo a Ana.
b) 4 lanci? Ad esempio, Ana lancia a Bruno, che lo rimette a Ana, che lo lancia a Célia, che lo riporta ad Ana.
c) 10 lanci?
In quanti modi distinti la palla può tornare a Ana dopo ciascuno dei seguenti lanci totali?
n×n×n cube of unit cubes: red spreading daily from vertex; numbering
An cube is formed by unit cubes and has, initially, one red unit cube at exactly one of its vertices. Each day starting from day 2, the unit cubes that are neighbors (sharing a face) of red cubes also become red and are numbered with the day number. For example, the cube: on day 1, it has one red cube (numbered 1); on day 2, it has four red cubes (numbered 1 and three numbered 2); on day 3, it has seven cubes (one numbered 1, three numbered 2, three numbered 3); on day 4, all eight cubes are red and numbered. To represent the final numbering we can use grids each representing a layer of the cube. For the cube above the layers are:
a) In the figure that follows, we have the four layers of the cube and the cubes numbered 1 and 2 are indicated. Copy these 4 grids into your answer booklet and fill in the number of each unit cube.
b) In a cube, how many unit cubes of side 1 are numbered 7? And how many are numbered 13?
c) In an cube, which number appears most often in the numbering of the unit cubes? (Your answer may depend on .)
Topic: Combinatoria, Geometria solida, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio, Induzione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
*n ×n ×n cubo di unità di cubetti: rosso che si diffonde quotidianamente dal vertice; numerazione *
Un cubo è formato da cubetti unitari e ha, inizialmente, un cubo unitario rosso ad esattamente uno dei suoi vertici. Ogni giorno a partire dal giorno 2, i cubetti unitari che sono vicini (comparta una faccia) dei cubetti rossi diventano anche rossi e sono numerati con il numero del giorno. Ad esempio, il cubo : il giorno 1, ha un cubo rosso (numerato 1); il giorno 2, ha quattro cubbi rossi (numerati 1 e tre numerati 2); il giorno 3, ha sette cubbi (uno numerato 1, tre numerati 2, tre numerati 3); il giorno 4, tutti e otto i cubbi sono rossi e numerati. Per rappresentare la numerazione finale possiamo usare le griglie ciascuna rappresentando uno strato del cubo. Per il cubo sopra gli strati sono:
a) Nella figura che segue, abbiamo i quattro strati del cubo e i cubi numerati 1 e 2 sono indicati. Copia queste 4 griglie nel tuo libretto di risposte e compila il numero di ciascun cubo unitario.
b) In un cubo , quanti cubetti unitari del lato 1 sono numerati 7? E quanti sono i 13?
c) In un cubo , quale numero appare più spesso nella numerazione dei cubetti unitari? (La risposta può dipendere da .)