Olimpíada Brasileira de Matemática 2018 — Nível 3 — Fase x

Unit-cube coloring/numbering in n×n×n cube; count by day number

A cube $n\times n\times n$ is formed by $n^3$ unit cubes. Initially, one red unit cube is placed at one of the vertices. Each day the red region spreads to face-adjacent unit cubes, and each newly red cube is numbered with the day on which it turned red (the initial cube is numbered on day 1).

For example, in the $2\times 2\times 2$ cube: on day 1 there is one red cube (number 1); on day 2 there are four red cubes (one numbered 1, three numbered 2); on day 3 there are seven (one with 1, three with 2, three with 3); on day 4 all eight are red.

a) In the figure we have the four layers of the $4\times 4\times 4$ cube, with the unit cubes numbered 1 and 2 already filled in. Copy these four tables onto the answer sheet and fill in the number for each unit cube.

b) In a $10\times 10\times 10$ cube, how many unit cubes are numbered $7$? And how many are numbered $13$?

c) In the cube $n\times n\times n$ with $n=2018$, what number appears most often in the numbering of the unit cubes? (If there is more than one number that appears the maximum number of times, list all of them.)

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Colorazione/numerazione di cubo unitario in n×n×n cubo; conteggio per numero giornaliero

Un cubo $n\times n\times n$ è formato da cubi unitari $n^3$. Inizialmente, un cubo di unità rosso viene posizionato su uno dei vertici. Ogni giorno la regione rossa si estende a cubetti di unità adiacenti alla faccia, e ogni nuovo cubo rosso è numerato con il giorno in cui è diventato rosso (il cubo iniziale è numerato al giorno 1).

Ad esempio, nel cubo $2\times 2\times 2$: il giorno 1 c’è un cubo rosso (numero 1); il giorno 2 ci sono quattro cubi rossi (uno numerato 1, tre numerati 2); il giorno 3 ci sono sette (uno con 1, tre con 2, tre con 3); il giorno 4 tutti e otto sono rossi.

a) Nella figura abbiamo i quattro strati del cubo $4\times 4\times 4$, con i cubetti unitari numerati 1 e 2 già riempiti. Copia queste quattro tabelle sulla scheda delle risposte e compila il numero per ogni cubo unitario.

b) In un cubo $10\times 10\times 10$, quanti cubetti unitari sono numerati $7$? E quante sono numerate $13$?

c) Nel cubo $n\times n\times n$ con $n=2018$, quale numero appare più spesso nella numerazione dei cubetti unitari? (Se c’è più di un numero che appare il numero massimo di volte, elenca tutti.)

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Find all ‘dobralho’ quadruples (A,B,C,D) satisfying divisibility conditions

A quadruple $(A,B,C,D)$ is called a \emph{dobralho} when $A$, $B$, $C$ are non-zero digits and $D$ is a positive integer such that:

1. $A\le 8$;

2. $D>1$;

3. $D$ divides all six of the following numbers: $\overline{ABC}$, $\overline{BCA}$, $\overline{CAB}$, $\overline{(A+1)CB}$, $\overline{CB(A+1)}$, $\overline{B(A+1)C}$.

Determine all \emph{dobralho} quadruples.

\textbf{Note:} We use a bar to denote the number formed by concatenating the digits. For example, $\overline{ABC}=126$ means $A=1$, $B=2$, $C=6$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i quadrupli “dobralho” (A,B,C,D) che soddisfano le condizioni di divisibilità

Un quadruplo $(A,B,C,D)$ è chiamato \emph{dobralho} quando $A$, $B$, $C$ sono numeri non zero e $D$ è un intero positivo tale che:

1. $A\le 8$;

2. $D>1$;

3. $D$ divide tutti e sei dei seguenti numeri: $\overline{ABC}$, $\overline{BCA}$, $\overline{CAB}$, $\overline{(A+1)CB}$, $\overline{CB(A+1)}$, $\overline{B(A+1)C}$.

Determina tutti i quadrupli.

\textbf{Nota:} Utilizziamo una barra per indicare il numero formato dalla concatenatura dei numeri. Ad esempio, $\overline{ABC}=126$ significa $A=1$, $B=2$, $C=6$.

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Acute triangle, circles through A and H tangent to circumcircle, reflections of O over sides; prove three lines concurrent

Let $ABC$ be an acute triangle with circumcenter $O$ and orthocenter $H$. The circle with center $X_A$ passes through points $A$ and $H$ and is tangent to the circumcircle of triangle $ABC$. Define points $X_B$ and $X_C$ analogously. Let $O_A$, $O_B$, $O_C$ be the reflections of $O$ over the sides $BC$, $CA$ and $AB$, respectively. Prove that the lines $O_A{X}_A$, $O_B{X}_B$ and $O_C{X}_C$ are concurrent.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo acuto, cerchi attraverso A e H tangenti a circolo, riflessi di O sui lati; dimostrare tre linee simultanee

Il $ABC$ deve essere un triangolo acuto con il circoncentro $O$ e l’ortocentro $H$. Il cerchio con centro $X_A$ passa attraverso i punti $A$ e $H$ ed è tangente al circoncircolo del triangolo $ABC$. Definire analogamente i punti $X_B$ e $X_C$. I riflessi $O_A$, $O_B$ e $O_C$ siano rispettivamente $O$ sui lati $BC$, $CA$ e $AB$. Prove che le linee $O_A{X}_A$, $O_B{X}_B$ e $O_C{X}_C$ sono simultanee.

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Incircle tangency in XYZ; then congruent triangles and cyclic quad for altitude/incenters

a) In triangle $XYZ$, the incircle is tangent to sides $XY$ and $XZ$ at points $T$ and $W$, respectively. Prove that $XT=XW=\frac{XY+XZ-YZ}{2}.$

Let $ABC$ be a triangle and $D$ the foot of the altitude from $A$. Let $I$ and $J$ be the incenters of triangles $ABD$ and $ACD$, respectively. The incircles of $ABD$ and $ACD$ are tangent to $AD$ at points $M$ and $N$, respectively. Let $P$ be the point of tangency of the incircle of $ABC$ with side $AB$. The circle with center $A$ and radius $AP$ intersects the altitude $AD$ at $K$.

b) Show that triangles $IMK$ and $KNJ$ are congruent.

c) Show that the quadrilateral $IDJK$ is cyclic.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Tangenza in cerchio in XYZ; quindi triangoli congruenti e quadri ciclici per altitudini/incentri

a) Nel triangolo $XYZ$, l’incircolo è tangente ai lati $XY$ e $XZ$ ai punti $T$ e $W$, rispettivamente. Provare che $XT=XW=\frac{XY+XZ-YZ}{2}.$

$ABC$ sia un triangolo e $D$ il piede dell’altitudine da $A$. I centri di incendio dei triangoli $ABD$ e $ACD$ siano rispettivamente $I$ e $J$. I circoli di $ABD$ e $ACD$ sono tangenti a $AD$ rispettivamente nei punti $M$ e $N$. Il $P$ deve essere il punto di tangenza dell’incircolo di $ABC$ con lato $AB$. Il cerchio con centro $A$ e raggio $AP$ interseca l’altitudine $AD$ a $K$.

b) Indicare che i triangoli $IMK$ e $KNJ$ sono congruenti.

c) Indicare che il quadrilaterale $IDJK$ è ciclico.

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Board with 1–10; erase a,b write a+b+ab/S; find operation count and max remaining value

On a board the numbers $1,2,\dots ,10$ are written. At each step we choose two numbers $a$ and $b$ on the board, erase them, and write the number $a+b+\frac{ab}{S_{a,b}}$ in their place, where $S_{a,b}$ is the sum of all numbers on the board other than $a$ and $b$. After performing this operation several times, only two numbers $x$ and $y$ remain on the board, with $x\ge y$.

a) How many operations were performed?

b) Determine the maximum possible value of $x$.

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Invarianti, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Tabella con 110; cancellare a,b scrivere a+b+ab/S; trovare il numero di operazioni e il valore massimo rimanente

Su una lavagna sono scritti i numeri $1,2,\dots ,10$. A ogni passo scegliamo due numeri $a$ e $b$ sulla lavagna, li cancellaamo e scriviamo il numero $a+b+\frac{ab}{S_{a,b}}$ al loro posto, dove $S_{a,b}$ è la somma di tutti i numeri sulla lavagna diversi da $a$ e $b$. Dopo aver eseguito questa operazione più volte, sulla lavagna rimangono solo due numeri $x$ e $y$, con $x\ge y$.

a) Quante operazioni sono state eseguite?

b) Determinare il valore massimo possibile di $x$.

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Digit sum s(n): find all positive integer pairs (a,b) making s(an+b)−s(n) finitely valued

For every positive integer $n$, define $s(n)$ as the sum of the digits of $n$. Determine all pairs $(a,b)$ of positive integers for which $s(an+b)-s(n)$ takes only finitely many values as $n$ ranges over all positive integers.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Induzione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Summa digitali s(n): trovare tutte le coppie di numeri interi positivi (a,b) che rendono s(an+b)−s(n) finitamente valutate

Per ogni numero intero positivo $n$, definire $s(n)$ come la somma delle cifre di $n$. Determinare tutte le coppie $(a,b)$ di integri positivi per le quali $s(an+b)-s(n)$ assume solo valori finiti in quanto $n$ si estende su tutti gli integri positivi.

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