Olimpíada Brasileira de Matemática 2019 — Nível 2 — Fase x

Count and characterize ‘robust’ and ‘super-robust’ 8-digit numbers

An eight-digit number is called robust if it satisfies both of the following conditions:

(i) None of its digits is $0$.

(ii) The difference between any two consecutive digits is $4$ or $5$.

Answer the following questions:

(a) How many robust numbers are there?

(b) A robust number is called super-robust if all its digits are distinct. Compute the sum of all super-robust numbers.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare e caratterizzare i numeri a 8 cifre “robusti” e “superrobusti”

Un numero di otto cifre è denominato robust se soddisfa entrambe le seguenti condizioni:

(i) Nessuna delle sue cifre è $0$.

(ii) La differenza tra due cifre consecutive è $4$ o $5$.

Rispondi alle seguenti domande:

(a) Quanti numeri solidi ci sono?

b) Un numero robusto è chiamato super robusto se tutti i suoi numeri sono distinti. Calcola la somma di tutti i numeri super-robusti.

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Prove inequality involving min and max of two positive integers

Let $a$, $b$, and $k$ be positive integers with $k>1$ such that $\min (a,b)+\text{mdc}(a,b)=k(a+b),$ where $\text{mdc}(a,b)$ denotes the greatest common divisor of $a$ and $b$.

Prove that $a+b\ge 4k$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Disuguaglianze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prove la disuguaglianza che coinvolge min e massimo di due integri positivi

Che $a$, $b$ e $k$ siano integri positivi con $k>1$ in modo tale che $\min (a,b)+\text{mdc}(a,b)=k(a+b),$ dove $\text{mdc}(a,b)$ denota il più grande divisore comune di $a$ e $b$.

Prove che $a+b\ge 4k$.

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Circumscribed circle intersection: show XD and AQ meet on circle

Let $ABC$ be a right triangle inscribed in a circle $\Gamma$ with center $O$. Let $D$ be the foot of the altitude from vertex $A$. Let $E$ and $F$ be points on $\Gamma$ such that $AE=AD=AF$. Let $P$ and $Q$ be the intersection points of line $EF$ with sides $AB$ and $AC$, respectively. Let $X$ be the second intersection point of line $EF$ with the circumscribed circle of triangle $APQ$. Show that the lines $XD$ and $AQ$ meet on $\Gamma$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Intersezione del cerchio circoscritto: mostrare che XD e AQ si incontrano sul cerchio

$ABC$ sia un triangolo rettangolo inciso in un cerchio $\Gamma$ con centro $O$. $D$ sia il piede dell’altitudine dal vertice $A$. $E$ e $F$ siano punti su $\Gamma$ in modo tale che $AE=AD=AF$. I punti di intersezione della linea $EF$ sono $P$ e $Q$ con i lati $AB$ e $AC$, rispettivamente. Il punto di intersezione $X$ è il secondo punto di intersezione della linea $EF$ con il circolo circonscritto del triangolo $APQ$. Indicare che le linee $XD$ e $AQ$ si incontrano su $\Gamma$.

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Five points on a circle: reflections of D over sides of acute triangle

Let $ABC$ be an acute triangle and $D$ a point on side $BC$. Let $E$ be the reflection of $D$ over line $AC$, and let $F$ be the reflection of $D$ over line $AB$. Line $ED$ intersects line $AB$ at $G$, while line $FD$ intersects line $AC$ at $H$. Prove that the points $A$, $E$, $F$, $G$, and $H$ all lie on a common circle.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

5 punti su un cerchio: riflessioni di D su lati di un triangolo acuto

Il $ABC$ deve essere un triangolo acuto e il $D$ un punto laterale $BC$. Il $E$ deve essere il riflesso di $D$ sulla linea $AC$, e il $F$ deve essere il riflesso di $D$ sulla linea $AB$. La linea $ED$ interseca la linea $AB$ a $G$, mentre la linea $FD$ interseca la linea $AC$ a $H$. Prova che i punti $A$, $E$, $F$, $G$ e $H$ si trovano tutti su un cerchio comune.

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Maximum white unit squares surrounded by exactly n black unit squares

In the figure below, one white unit square is surrounded by four black unit squares, and three white unit squares are surrounded by seven black unit squares.

What is the maximum number of white unit squares that can be surrounded by exactly $n$ black unit squares?

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Quadrati di unità bianche massimi circondati da esattamente n quadrati di unità nere

Nella figura di seguito, un quadrato di unità bianca è circondato da quattro quadrati di unità nera, e tre quadrati di unità bianca sono circondati da sette quadrati di unità nera.

Qual è il numero massimo di quadrati di unità bianca che possono essere circondati da quadrati di unità nera esattamente $n$?

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Prove 2019 mutually visible lattice points exist in the plane

In the Cartesian plane, all points with both integer coordinates are colored blue. Two blue points are said to be mutually visible if the line segment connecting them contains no other blue points. Prove that there exists a set of $2019$ blue points that are pairwise mutually visible.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, method_casework Abilita: Modellizzazione, Astrazione, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prove 2019 che esistono punti di reticolare reciprocamente visibili nel piano

Nel piano cartesiano, tutti i punti con entrambe le coordinate sono di colore blu. Si dice che due punti blu siano visibili reciprocamente se il segmento di linea che li collega non contiene altri punti blu. Prove che esiste un insieme di punti blu $2019$ che sono in coppia reciprocamente visibili.

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