Olimpíada Brasileira de Matemática 2019 — Nível 3 — Fase x

Q is incenter of triangle PAB via two intersecting circles

Let ${\omega }_1$ and ${\omega }_2$ be two circles with centres $C_1$ and $C_2$, respectively, that intersect at two points $P$ and $Q$. Suppose that the circumscribed circle of triangle $P{C}_1{C}_2$ meets ${\omega }_1$ again at $A\ne P$ and meets ${\omega }_2$ again at $B\ne P$. Suppose further that $Q$ lies in the interior of triangle $PAB$. Prove that $Q$ is the incentre of triangle $PAB$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Q è l’incentro del triangolo PAB attraverso due cerchi incrociati

Si tratta di due cerchi con centri $C_1$ e $C_2$, che si incrociano rispettivamente a due punti $P$ e $Q$. Supponiamo che il circolo circonscritto del triangolo $P{C}_1{C}_2$ incontri ${\omega }_1$ di nuovo a $A\ne P$ e incontri ${\omega }_2$ di nuovo a $B\ne P$. Supponiamo inoltre che $Q$ si trovi all’interno del triangolo $PAB$. Provare che $Q$ è il centro del triangolo $PAB$.

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Minimum operations to mark integer n on real line starting from 0 and 1

We are given the real line with only the points $0$ and $1$ marked. We may perform the following operation as many times as we wish: choose two already-marked points $a$ and $b$, and mark the reflection of $a$ across $b$. Let $f(n)$ be the minimum number of operations needed to mark the real number $n$ (which is the number at distance $|n|$ from $0$, to the right of $0$ if $n>0$ and to the left of $0$ if $n<0$). For example, $f(0)=f(1)=0$ and $f(-1)=f(2)=1$. Find $f(n)$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Ricorsione, Induzione, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Operazioni minime per segnalare un numero intero n su una linea reale a partire da 0 e 1

Ci viene data la linea reale con solo i punti $0$ e $1$ contrassegnati. Possiamo eseguire la seguente operazione quante volte vogliamo: scegliere due punti già segnalati $a$ e $b$ e segnalare il riflesso di $a$ su $b$. $f(n)$ sia il numero minimo di operazioni necessario per segnalare il numero reale $n$ (che è il numero a distanza $|n|$ da $0$, a destra di $0$ se $n>0$ e a sinistra di $0$ se $n<0$). Ad esempio, $f(0)=f(1)=0$ e $f(-1)=f(2)=1$. Trova $f(n)$.

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Find all functions on positive reals satisfying f(xy+f(x))=f(f(x)f(y))+x

Let ${\mathbb{R}}_{>0}$ be the set of positive real numbers. Determine all functions $f:{\mathbb{R}}_{>0}\to {\mathbb{R}}_{>0}$ such that $f(xy+f(x))=f(f(x)f(y))+x$ for all positive reals $x$ and $y$.

Topic: Equazioni funzionali Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le funzioni sui reali positivi che soddisfano f ((xy+f ((x))=f ((f ((x) f ((y))+x

Che ${\mathbb{R}}_{>0}$ sia l’insieme dei numeri reali positivi. Determinare tutte le funzioni $f:{\mathbb{R}}_{>0}\to {\mathbb{R}}_{>0}$ in modo tale che $f(xy+f(x))=f(f(x)f(y))+x$ per tutti i valori reali positivi $x$ e $y$.

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For every positive m there exists n_m so unit sum of n-th powers of reciprocals holds

Prove that for every positive integer $m$, there exists a positive integer $n_m$ such that for every positive integer $n\ge n_m$, there exist positive integers (not necessarily distinct) $a_1,a_2,\dots ,a_n$ such that $\frac{1}{a_1^n}+\frac{1}{a_2^n}+\cdots +\frac{1}{a_n^n}=1.$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Induzione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Per ogni m positivo c’è n_m così la somma unità di n-th potenze di reciprocità è *

Prova che per ogni intero positivo $m$, esiste un intero positivo $n_m$ tale che per ogni intero positivo $n\ge n_m$, esistono interi positivi (non necessariamente distinti) $a_1,a_2,\dots ,a_n$ tale che $\frac{1}{a_1^n}+\frac{1}{a_2^n}+\cdots +\frac{1}{a_n^n}=1.$

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Partition positive integers into two or three subsets with ratio bounds

(a) Prove that given constants $a,b$ with $1<a<2<b$, there is no partition of the set of positive integers into two subsets $A_0,A_1$ such that: if $j\in \{0,1\}$ and $m,n$ belong to $A_j$, then $n/m<a$ or $n/m>b$.

(b) Determine all pairs of reals $(a,b)$ with $1<a<2<b$ for which the following property holds: there exists a partition of the set of positive integers into three subsets $A_0,A_1,A_2$ such that: if $j\in \{0,1,2\}$ and $m,n$ belong to $A_j$, then $n/m<a$ or $n/m>b$.

Remark: A partition of a set means writing that set as a union of pairwise disjoint subsets.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Colorazione, Principio dei cassetti Abilita: Modellizzazione, Astrazione, Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Partire interi positivi in due o tre sottoinsiemi con limiti di rapporto

a) Prove che le costanti $a,b$ con $1<a<2<b$ non hanno una divisione del set di integri positivi in due sottoinsiemi $A_0,A_1$ in modo tale che: se $j\in \{0,1\}$ e $m,n$ appartengono a $A_j$, allora $n/m<a$ o $n/m>b$.

b) Determinare tutte le coppie di reali $(a,b)$ con $1<a<2<b$ per le quali si applica la seguente proprietà: esiste una divisione dell’insieme di integri positivi in tre sottoinsiemi $A_0,A_1,A_2$ in modo tale che: se $j\in \{0,1,2\}$ e $m,n$ appartengono a $A_j$, allora $n/m<a$ o $n/m>b$.

**Nota: ** Una partizione di un insieme significa scrivere che il set è un’unione di sottoinsiemi dissociati in coppia.

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Star pentagon circumcircle intersections yield five concurrent lines

Let $A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5$ be a convex pentagon inscribed in a circle such that $\angle A_i+\angle A_{i+1}>180^{\circ }$ for $i=1,2,3,4,5$ (indices mod 5 throughout the problem). Define $B_i$ as the intersection of lines $A_{i-1}{A}_i$ and $A_{i+1}{A}_{i+2}$, so that the five points $B_i$ form a star. The circumcircles of triangles $A_{i-1}{B}_{i-1}{A}_i$ and $A_i{B}_{i+1}{A}_{i+1}$ meet again at $C_i\ne A_i$, and the circumcircles of triangles $B_{i-1}{A}_i{B}_i$ meet again at $D_i\ne A_i$. Prove that the lines $A_i{C}_i$ and $B_i{D}_i$, for $i=1,2,3,4,5$, all pass through a common point.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Le intersezioni del circoncircolo del pentagono stellare producono cinque linee simultanee

Il $A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5$ deve essere un pentagono convexo inserito in un cerchio in modo tale che $\angle A_i+\angle A_{i+1}>180^{\circ }$ per $i=1,2,3,4,5$ (indici mod 5 in tutto il problema). Definire $B_i$ come l’intersezione delle linee $A_{i-1}{A}_i$ e $A_{i+1}{A}_{i+2}$, in modo che i cinque punti $B_i$ formino una stella. I circoncircoli dei triangoli $A_{i-1}{B}_{i-1}{A}_i$ e $A_i{B}_{i+1}{A}_{i+1}$ si riuniscono a $C_i\ne A_i$, e i circoncircoli dei triangoli $B_{i-1}{A}_i{B}_i$ si riuniscono a $D_i\ne A_i$. Provare che le linee $A_i{C}_i$ e $B_i{D}_i$, per $i=1,2,3,4,5$, passano tutte attraverso un punto comune.

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